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1.2.1函数的概念(1)教学设计


【课 题】 函数的概念 【教材分析】 本节内容选自新课程标准教材人教版《数学》必修① . 函数是高中数学的重要内容,学生在初中时已经会把函数看成是变量之间的依赖关 系,在高中学习了集合后安排此内容,是让学生学习用集合与对应的语言来刻画函数。函 数的概念虽然抽象,但是函数的现象在生活中大量存在,所以,教科书采用了从实际例子 中抽象出用集合与对应语言定义函数的方式介绍函数概念。这样的教学安排有利于学生承 前启后地学习函数,符合学生的认知规律。 课时安排:1.2 函数及其表示共安排 4 课时, 1.2.1 函数的概念 2 课时 1.2.2 函数的表示法 2 课时 这里给出的是函数概念第一课时的教学设计。 【学情分析】 学生在初中所讲的函数概念就是“一个变量随着另一个变量变化” ,且已经明确了怎 样判断一个变量是另一个变量的函数问题,主要是用解析式表示函数。这对函数的理解是 不全面的,因此需要在这种认识基础上再来进一步地学习函数。内容安排在集合之后,在 对初中函数的认识基础上作新的伸展:首先,联系实际培养学生用集合与对应的语言来刻 画函数概念;其次,让学生理解函数的不同表示法,丰富学生对函数的认识;第三,认识 到函数是客观世界中变量与变量间的依赖关系的重要数学模型。 【教学策略】 1、利用几何画板对变量与变量的对应关系用图形刻画出来,在增强学生感官认识的 基础上理解函数的集合定义; 2、从生活中的实例引出函数的概念,并让学生列举自己身边的函数实例,增强学生 的应用意识和启发学生运用函数模型表述生活中的某些事实; 3、运用“问题化”的教学设计理念进行教学设计,旨在培养学生思考、解决、提出 问题的习惯。 【教学任务分析】 1、正确理解函数的概念. 通过丰富的实例,使学生建立函数概念的丰富的现实背景;在体会函数是变量之间的 依赖关系的基础上,体会用集合与对应的语言来刻画函数;以实际问题为载体,通过学生 的思考、探究、练习、拓展等理解函数的概念及其三要素。 2、通过从实际例子中抽象、概括出用集合与对应语言定义函数方式,培养学生的抽 象概括能力,启发学生运用函数模型表述实际问题,逐步学会数学表达和交流。 【重点难点】 重点:函数概念的理解 难点:函数及其符号 f ( x) 的理解

1

【教学流程】 回顾旧知, 引出课题 分析实例, 重新认识 函数 通过实例分析,体 会用集合与对应语 言描述函数的定义 利用集合与对 应的语言解释 已学的函数

回顾教学, 了解函数 的三要素

列举函数 实例, 加深 概念理解

拓展研究,在理解 函数概念的基础上 体会数学的应用

【教学过程设计】 一、回顾旧知,引出课题 初中时我们已经学习了有关函数的知识, 回忆一下当初是怎样描述函数这个概念的? (学会上想到什么就说什么,如某个具体函数或解析式,或某个图象、表格等)总之,它 们的共同特点是“一个变量随着另一个变量变化” ,今天,我们在学习集合之后继续来学 习函数。 二、分析实例,重新认识函数 引例 1 一枚炮弹发射后,经过 26 s 秒落到地面击中目标,炮弹的射高为 845 m,且炮 弹距地面的高度 h (单位:m) 随时间 t (单位:s) 变化的规律是 h = 130t -5 t 2. (*) 设计: (1) 用几何画板演示炮弹的射高(h)与时间(t)的关系,同时让学生观察其变量 ——射高(h)与时间(t)的变化范围。 (学生叙述,教师板演:A={t|0≤t≤26} B={h|0≤h≤845}) (2)问题:我们可以怎样描述这两个变量之间的关系? 让学生亲身体 (3)师:我们也可以从集合的角度来解释这两个变量之间 验, 在感受直观 的关系:对于数集 A 中的任意一个时间 t,按照对应关系(*) , 背景下体会用 在数集 B 中都有惟一确定的高度 h 和它对应。 解析式和图象 (4)学生在集合 A 中任取 t 值,并计算出对应的 h 值,与 刻画变量间的 教师应几何画板演示的结果作比较。确认是有惟一的高度 h 和 对应关系。 它对应。 (几何画板演示:炮弹运行轨迹) 引例 2 当前各地市的房地产业是老百姓关心得比较多的,那么对于它的具体情况我 们怎样了解得更清楚呢?以下是 “全国房地产开发景气指数趋势图” 。 其中 2006 年 4 月份, “国房景气指数”为 101.61(注) ,比 3 月份上升 0.15 点,比去年同月回落 0.65 点。

2

指数:s

(资料来源:中国统计信息网 2006-05-19 16:41:59) 时间:t/月 设计: 以当前的现实问题 (1)投影显示其曲线图,并让学生观察其变量——景气 为载体,更好地吸 指数(s)与时间(t)的变化范围。 引学生的注意力。 (学生叙述,教师板演:A={2004 年 1 月至 2006 年 4 月} 体会用图象刻画变 B={s|97≤s≤108}) 量间的对应关系。 (2)试用两种方式描述上述两个变量间的关系。 同时加深学生对数 方式一(一个变量随另一个变量变化) :我国的房产景气指 学应用的认识。 数随时间的变化而变化。 方式二(集合定义) :对于集合 A 中的每一个月 t,按照曲线,在集合 B 中都有惟一 确定的房产景气指数 s 和它对应。 (3)师小结: 从以上的图表中大家能很清楚地看到我国的房地产开发的景气指数,了解到我国目前 的房产开发的一些状况,大家还可以通过这个图表对 2004 年 1 月以来到 2006 年 4 月各月 的房产开发状况作个比较,当然还可以将搜集其他时间的房产开发景气指数图表搜集到, 进行更进一步的比较, 有兴趣的同学课后可以作进一步的探讨。 当然别忘了从数学的角度、 函数的角度来加以解释。 引例 3 见教材第 16 页的引例(2)近几十年来,大气层中 的臭氧迅速减少,因而出现了臭氧层空洞问题,教材中图 1.2-1 中的曲线显示了南极上空臭氧层空洞的面积从 1979~2001 年的 变化情况。 指导学生阅读教材内 容,培养学生的阅读 能力,并让学生意识 到不能忽视教材。并 让学生体会用表格刻 画变量间的对应关系

引例 4 见教材第 17 页的引例(3)国际上常用恩格尔系数反 映一个国家人民的生活质量的高低。恩格尔系数越低,生活质量越高。下表中的恩格尔系 数随时间(年)变化情况表明, “八五”计划以来我过城镇居民的生活质量发生了显著变
3

化。

时间(年) 1991
城镇居民家 庭恩格尔系 数(%)

1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001 52.9 50.1 49.9 49.9 48.6 46.4 44.5 41.9 39.2 37.9

53.8

设计: (1)阅读教材内容,加深对两个变量间的对应关系的理解. (2)在学生阅读引例(4)时,辅以与表格对应的柱状图,更直观地看到其变化规律。 (用 Eccel 文件显示。)
八五计划以来我国城镇居民的恩格尔系数 60 40 20 0 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001

(3)请你仿照引例(1) (2) (3)描述上述表格或柱状 图中恩格尔系数和时间(年)的关系。 (4)学生活动:通过以上 4 个实际例子的分析,尝试 归纳它们有什么共同点? 小结:三个实例中变量之间的关系都可以描述为:对于 数集 A 中的每一个 x,按照某种对应关系 f,在数集 B 中都 有惟一确定的 y 和它对应,记作: f : A ? B . 通过大脑的思考 活动,经历概念 的概括、内化过 程。

师总结归纳函数的集合定义: 一般地,我们有:设 A,B 是非空数集,如果按照某种对应关系 f,使对于集合 A 中 的任意一个数 x,在集合 B 中都有惟一确定的数 f(x)和它对应,那么就称 f : A ? B 为从 y ? f ( x), x ? A . 集合 A 到 B 的一个函数(function),记作 通过前面的抽象 其中,x 叫做自变量,x 的取值范围 A 叫做函数的定义域 认识到函数的本 (domain) ;与 x 的值对应的 y 值叫做函数值,函数值的集合 质,并赋予形式 { f ( x) | x ? A} 叫做函数的值域(range). 化的符号,使之 成为学生思维中 三、应用定义,解释具体函数 的具体对象 设计: 1、请大家回忆一下,以前我们还学习了哪些具体函数?
4

一次函数、二次函数、反比例函数等。 学生回忆,并填写下表: 一次函数 解析式
y ? ax ? b(a ? 0)

二次函数

反比例函数

y ? ax 2 ? bx ? c(a ? 0)
a?0 a?0

y?

k (k ? 0) x
y O

y 图象 O 定义域 (A) 值域(C) 试用集合 语言描述 以上函数 x

y O x

y O R
{y | y ? 4ac ? b 2 } 4a

x
{x | x ? 0}

x

R R
{y | y ?

R
4ac ? b 2 } 4a

{ y | y ? 0}

对于数集 A 中的每一个 x, 按照某种对应关系 f, 在值域 C 中都有惟一确定的 y 和它对应.

利用大家熟悉的函数, 从更多的方面对它们 加以认识, 让学生对函数概念有更全面的认 识,而不是仅仅停留在它的某种形式上。 2、在下列图象中不能作为函数 f ( x) 的图象的是( y y y ) y

O (A)

x

O (B)

x

O (C)

x

O (D) 对于符号 f ( x) 的 理 解是学生的 一个难点, 在此加以强 化说明。

x

3、在上述练习的基础上思考、理解函数概念: (1)在函数概念中,提到了几个变量?构成函数的要素有哪些? (2)对符号 f ( x) 的理解:

举例:f (t) = 130t -5 t 2. 则 f (2)=?, f (4)=? f (a)=? f (2), f (4), f (a)与 f (t)有舍命关系?与值域有什么关系? (3)定义中值域与集合 B 有什么关系? 四、回顾教学,巩固概念理解 设计: 以问题引导学生回顾课堂学习。 启发学生对本
5

节课进行思考, 巩固对函数概 念的理解。

(1)体会函数的两种定义,说说自己的感想。 (2)构成函数的三个要素是什么?试举例说明。 (3)你能否举几个自己身边的函数实例?并用 集合与对应的语言加以叙述。 五、拓展研究,应用体会概念 课后, 请大家尝试对以下实际问题进行资料的搜集, 并从数学的角度对它们加以解释。 1、寄信时的邮资与信重的关系。试作出(或搜集)它们的图象,并用函数的概念加 以解释。 2、到银行存款时本金与所存的月数之间的变化关系(单利) 。作出(或搜集)它们的 图象,用函数的概念加以解释。 3、举出自己生活中的其他函数的例子,并用集合与对应的语言来描述函数,同时说 出函数的定义域、值域的对应关系。 到现实中找素材,增强学 生的数学应用意识,培养 学生信息搜集的能力。

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