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(新课标)2015-2016学年高中数学 3.2.1一元二次不等式的概念和一元二次不等式解法教学设计 新人教A版必修5


3.2 3.2.1

一元二次不等式及其解法?

一元二次不等式的概念和一元二次不等式解法??
从容说课

本节课是人民教育出版社 A 版必修数学 5 第三章不等式第二大节 3.2 一元二次不等式及 其解法的第一节课.一元二次不等式及其解法教学分为三个学时,第一个学时先由师生共同 分析日常生活中的实际问题来引出一元二次不等式及其解法中的一些基本概念、 求解一元二 次不等式的步骤、求解一元二次不等式的程序框图.确定一元二次不等式的概念和解法,以 此激发学生对科学的探究精神和严肃认真的科学态度.通过具体例题的分析和求解,在这些 例题中设置思考项,让学生探究,层层铺设,以便让学生深刻理解一元二次不等式的概念, 有利于一元二次不等式的解法的教学.讲述完一元二次不等式的概念后,再回归到先前的具 体事例, 总结一元二次不等式解法与二次函数的关系和一元二次不等式解法的步骤, 由学生 用表格将一元二次不等式解法与二次函数的数形关系的对应关系用图表形式表示出来; 然后 用一个程序框图把求解一般一元二次不等式的过程表示出来, 根据这些图表, 得出一元二次 不等式解法与二次函数的关系两者之间的区别与联系, 再辅以新的例题巩固.整个教学过程, 探究一元二次不等式的概念, 揭示一元二次不等式解法与二次函数的关系本质, 引出一元二 次不等式解法的步骤和过程,并及时加以巩固,同时让学生体验数学的奥秘与数学美,激发 学生的学习兴趣.? 教学重点 1.从实际问题中抽象出一元二次不等式模型.? 2.围绕一元二次不等式的解法展开,突出体现数形结合的思想.? 教学难点 理解二次函数、一元二次方程与一元二次不等式的关系.? 教具准备 多媒体及课件,幻灯片三张?? 三维目标 一、知识与技能? 1.经历从实际情景中抽象出一元二次不等式模型的过程;? 2.通过函数图象了解一元二次不等式与二次函数、一元二次方程的联系;? 3.会解一次二次不等式,对给定的一元二次不等式,尝试设计求解的程序框图.?? 二、过程与方法? 1.采用探究法, 按照思考、 交流、 实验、 观察、 分析、 得出结论的方法进行启发式教学;? 2.发挥学生的主体作用,作好探究性实验;?
1

3.理论联系实际,激发学生的学习积极性.?? 三、情感态度与价值观? 1.通过利用二次函数的图象来求解一元二次不等式的解集, 培养学生的数形结合的数学 思想;? 2.通过研究函数、方程与不等式之间的内在联系,使学生认识到事物是相互联系、相互 转化的,树立辩证的世界观.?? 教学过程 导入新课 师 上网获取信息已经成为人们日常生活的重要组成部分,因特网服务公司( Internet Service Provider)的任务就是负责将用户的计算机接入因特网,同时收取一定的费用.? 某同学要把自己的计算机接入因特网,现有两家 ISP 公司可供选择,公司 A 每小时收费 1.5 元;公司 B 的收费原则是在用户上网的第一小时内收费 1.7 元,第二小时内收费 1.6 元,以 后每小时减少 0.1 元.(若用户一次上网时间超过 17 小时,按 17 小时计算)? 一般来说, 一次上网时间不会超过 17 小时, 所以, 不妨一次上网时间总小于 17 小时, 那么, 一次上网在多长时间以内能够保证选择公司 A 比选择公司 B 所需费用少?? 假设一次上网 x 小时,则 A 公司收取的费用为 1.5x,那么 B 公司收取的费用为多少?怎样 得来?? 生 结果是

x(35 ? x) 元,因为是等差数列,其首项为 1.7,公差为-0.1,项数为 x 的和,即 20 x( x ? 1) x(35 ? x) 1.7 x ? (?0.1) ? .? 2 20
x(35 ? x) 2 >1.5x(0<x<1 7),整理化简得不等式 x -5x<0.?? 20
2

师 如果能够保证选择 A 公司比选择 B 公司所需费用少,则如何列式?? 生 由题设条件应列式为 推进新课 师 因此这个问题实际就是解不等式:x -5x<0 的问题.这样的 不等式就叫做一元二次不等 式,它的解法是我们下面要学习讨论的重点.? 什么叫做一元二次不等式?? 含有一个未知数并且未知数的最高次数是二次的不等式叫做一元二次不等式, 它的一般形式 是 ax +bx+c>0 或 ax +bx+c<0(a≠0).例如 2x -3x-2>0,3x -6x<-2,-2x +3<0 等都是 一元二次不等式.? 那么如何求解呢??
2
2 2 2 2 2

师 在初中,我们已经学习过一元一次方程和一元一次不等式的解法,以及一次函数的有关 知识,那么一元一次方程、一元一次不等式以及一次函数三者之间有什么关系呢?? 思考:对一次函数 y=2x-7,当 x 为何值时,? y=0?当 x 为何值时,y<0?当 x 为何值时,y>0?? 它的对应值表与图象如下:?

x y

2 -3

2.5 -2

3 -1

3.5 0

4 1

4.5 2

5 3

由对应值表与图象(如上图)可知:? 当 x=3.5 时,y=0,即 2x-7=0;? 当 x<3.5 时,y<0, 即 2x-7<0;? 当 x>3.5 时,y>0,即 2x-7>0.? 师 一般地,设直线 y=ax+b 与 x 轴的交点是(x0,0),则有如下结果:? (1)一元一次方程 ax+b=0 的解是 x0;? (2)①当 a>0 时,一元一次不等式 ax+b>0 的解集是{x|x>x0};一元一次不等式 ax+b<0 的解集是{x|x<x0}.? ②当 a<0 时,一元一次不等式 ax+b>0 的解集是{x|x<x0};一元一次不等式 ax+b<0 的解 集是{x|x>x0}.? 师 在解决上述问题的基础上分析,一次函数、一元一次方程、一元一次不等式之间的关系. 能通过观察一次函数的图象求得一元一次不等式的解集吗?? 生 函数图象与 x 轴的交点横坐标为方程的根, 不等式的解集为函数图象落在 x 轴上方(下方) 部分对应的横坐标.

a>0
一次函数? y=ax+b(a≠0)? 的图象

a<0

3

一元一次方程 ax+b=0 的解集 一元一次不等式 ax+b>0 的解集 一元一次不等式 ax+b<0 的解集

b } a b {x|x> ? } a b {x|x< ? } a
{x|x= ?

b } a b {x|x< ? } a b {x|x> ? } a
{x|x= ?

师 在这里我们发现一元一次方程、一元一次不等式与一次函数三者之间有着密切的联系 . 利用这种联系 (集中反映在相应一次函数的图象上) 我们可以快速准确地求出一元一次不等 式的解集, 类似地, 我们能不能将现在要求解的一元二次不等式与二次函数联系起来讨论找 到其求解方法呢?? 在初中学习二次函数时,我们曾解决过这样的问题:对二次函数 y=x -5x,当 x 为何值时, y=0?当 x 为何值时,y<0?当 x 为何值时,y>0?当时我们又是怎样解决的呢?? 生 当时我们是通过作出函数的图象,找出图象与 x 轴的交点,通过观察来解决的.? 二次函数 y=x -5x 的对应值表与图象如下: x y -1 6 0 0 1 -4 2 -6 3 -6 4 -4 5 0 6 6
2 2

由对应值表与图象(如上图)可知:? 当 x=0 或 x=5 时,y=0,即 x -5x=0;? 当 0<x<5 时,y<0,即 x -5x<0;? 当 x<0 或 x>5 时,y>0,即 x -5x>0.? 这就是说,若抛物线 y=x -5x 与 x 轴的交点是(0,0)与(5,0),? 则一元二次方程 x -5x=0 的解就是 x1=0,x2=5.? 一元二次不等式 x -5x<0 的解集是{x|0<x<5};一元二次不等式 x -5x>0 的解集是{x |x< 0 或 x>5}. ? [教师精讲]? 由一元二次不等式的一般形式知,任何一个一元二次不等式,最后都可以化为 ax +bx+c>0 或 ax +bx+c<0(a>0)的形式,而且我们已经知道,一元二次不等式的解与其相应的一元 二次方程的根及二次函数图象有关,即由抛物线与 x 轴的交点可以确定对 应的一元二次方
2 2 2 2 2 2 2 2 2

4

程的解和对应的一元二次不等式的解集.? 如何讨论一元二次不等式的解集呢?? 我们知道,对于一元二次方程 ax +bx+c=0(a>0),设其判别式为 Δ =b -4ac,它的解按照 Δ >0,Δ =0,Δ <0 分为三种情况,相应地,抛物线 y=ax +bx+c(a>0)与 x 轴的相关位置也分 为三种情况(如下图) ,因此,对相应的一元二次不等式 ax +bx+c>0 或 ax +bx+c<0(a>0) 的解集我们也分这三种情况进行讨论.?
2 2 2 2 2

(1)若 Δ >0,此时抛物线 y=ax +bx+c(a>0 )与 x 轴有两个交点〔图(1) 〕 ,即方程 ax
2

2

+bx+c=0(a>0)有两个不相等的实根 x1,x2(x1<x2),则不等式 ax +bx+c>0(a>0)的解
2

2

集是{x|x<x1,或 x>x2};不等式 ax +bx+c<0(a>0)的解集是{x|x1<x<x2}.? ( 2 )若 Δ =0 ,此时抛物线 y=ax +bx+c(a > 0) 与 x 轴只有一个交点〔图( 2 ) 〕 ,即方程
2

ax2+bx+c=0(a>0)有两个相等的实根 x1=x2= ?
{x|x≠ ?

b 2 ,则不等式 ax +bx+c>0(a>0)的解集是 2a

b 2 };不等式 ax +bx+c<0(a>0)的解集是.? 2a
2 2 2 2

(3)若 Δ <0, 此时抛物线 y=ax +bx+c(a>0)与 x 轴没有交点 〔图(3)〕 , 即方程 ax +bx+c=0(a >0)无实根,则不等式 ax +bx+c>0(a>0)的解集是 R;不等式 ax +bx+c<0(a>0)的解 集是. Δ =b -4ac 二次函数 y=ax +bx+c(a>0)的 图象
2 2

Δ >0

Δ =0

Δ <0

ax2+bx+c=0 的根

x1.2
ax2+bx+c>0 的解集 ax2+bx+c<0 的解集

?b? ? ? ? 2a

x1=x2= ?

b 2a b } 2a

?

{x|x<x1 或 x>x2} {x|x1<x<x2}

{x|x≠ ?

R

?

?

对于二次项系数是负数(即 a<0)的不等式,可以先把二次项系数化成正数,再求解.?

5

[知识拓展]? 【例 1】 解不等式 2x -5x-3>0.? 生 解:因为 Δ >0,2x -5x-3=0 的解是 x1=x>3}.? 【例 2】 解不等式-3x +15x>12.? 生 解:整理化简得 3x -15x+12<0.因为 Δ >0,方程 3x -15x+12=0 的解是 x 1=1,x2 =4,所 以不等式的解集是{x|1<x<4}.? 【例 3】 解不等式 4x +4x+1>0.? 生 解: 因为 Δ =0, 方程 4x +4x+1=0 的解是 x1=x 2= ?
2 2 2 2 2 2 2

1 1 ,x 2=3.所以不等式的解集是{x|x< ? ,或 2 2

1 1 .所以不等式的解集是{x|x≠ ? }.? 2 2
2

【例 4】 解不等式-x

2?

+2x-3>0. ?

生 解:整理化简,得 x -2x+3<0.因为 Δ <0,方程 x -2x+3=0 无实数解,所以不等式的解 集是 ? .? 师 由上述讨论及例题,可归纳出解一元二次不等式的程序吗?? 生 归纳如下:? (1)将二次项系数化为“+”:y=ax +bx+c>0(或<0)(a>0).? (2)计算判别式 Δ ,分析不等式的解的情况:? ①Δ >0 时,求根 x1<x2, ?
2

2

?若y>0, 则x ? x1或x>x2 ; ?若y<0, 则x1<x<x2 .

; ?若y>0, 则x ? x0的一切实数 ? ②Δ =0 时,求根 x 1=x 2=x 0, ?若y<0, 则x ? ?; ?若y ? 0, 则x ? x . 0 ?
③Δ <0 时,方程无解, ? (3)写出解集.? 师 说的很好.下面我们用一个程序框图把求解一元二次不等式的过程表示出来, 请同学们将 判断框和处理框中的空格填充完整.? [学生活动过程]?

?若y>0, 则x ? R; ?若y ? 0, 则x ? ?.

6

[方法引导]? 上述过程以学生自主探究为主, 教师起引导作用, 充分体现学生的主体作用与新课程的理念. 该过程中的思考、观察、探究起到层层铺设的作用,激起学生学习的兴趣与勇于探索的精 神.?? 课堂小结 1.一元二次不等式: 含有一个未知数并且未知数的最高次数是二次的不等式叫做一元二次不 等式,它的一般形式是 ax +bx+c>0 或 ax +bx+c<0(a≠0).? 2.求解一元二次不等式的步骤和解一元二次不等式的程序.?? 布置作业 1.完成第 90 页的练习.? 2.完成第 90 页习题 3.2 第 1 题.?? 板书设计 一元二次不等式的概念和一元二次不等式解法 多媒体演示区 一元二次不等式概念 一元二次不等式解题步骤 习题详解 (课本第 90 页练习)? 1.(1)解:整理化简得 3x -7x-10≤0.因为 Δ >0,方程 3x -7x-10=0 的解是 x1=-1,x2=
2 2 2 2

例题

10 , 3
7

所以不等式的解集是{x|-1≤x≤
2

10 }.? 3
2

(2)解:整理化简得 2x -x+5>0.因为 Δ <0,所以不等式的解集是 R.? (3)解:整理化简得 x -4x+4>0.因为 Δ =0,方程 x -4x+4=0 的解是 x1=x 2=2,所以不等式的 解集是{x|x≠2}.? (4)解:整理化简得 x -4x+1[]4>0.因为 Δ =0,方程 x -4x+1[]4=0 的解是 x 1=x2= 等式的解集是{x|x≠
2 2 2

1 所以不 2

1 }.? 2
2 2

(5)解:整理化简得 2x -x-3>0.因为 Δ >0,方程 2x -x-3=0 的解是 x1= 式的解集是{x|x<-1 或 x>
2

3 ,x2=-1,所以不等 2

3 }.? 2
2

(6)解: 整理化简得 12x -31x+20>0.因为 Δ >0, 方程 12x -31x+20=0 的解是 x1?= 所以不等式的解集是{x|x<5[]4 或 x>4[]3}.? (7)解:整理化简得 3x +5x<0.因为 Δ >0,方程 3x +5x=0 的解是 x1=0,x 2=式的解集是{x|2 2

5 4 ,x2= , 4 3

5 ,所以不等 3

5 <x<0}.? 3

2.(1)解:当 x ?

3? 3 3? 3 3? 3 3? 3 或x ? 时,y 的值等于 0;当 x< 或 x> 时y 3 3 3 3

的值大于 0;当 3-3[]3<x<3+3[]3 时 y 的值小于 0.? (2)解:当 x=-5 或 x=5 时,y 的值等于 0;当-5<x<5 时 y 的值大于 0;当 x<-5 或 x>5 时 y 的值小于 0.? (3)解:因为 Δ <0,所以对一切实数 x 都有 y 大于零.? (4)解:当 x=2 时,y 的值等于 0;当 x∈ ? 时 y 的值大于 0;当 x∈R 且 x≠2 时 y 的值小于 0. 备课资料 一、备用习题? 1.解不等式 x+2>3x .? 解:原不等式等价于 3x
2? 2

-x-2<0,?

2 解方程 3x -x-2=0 得两根: x1 ? ?

2 2 ,x 2=1.∴原不等式的解集为( ? ,1).? 3 3
2

2.解下列不等式:? (1)2+3x-2x <0; (2)-x +2x-3x>0; (3)x -4x+4>0.?
8
2 2

解:(1)原 不等式等价于 2x -3x-2>0.?

2

1 ,x2=2.? 2 1 ∴原不等式的解集是(-∞, ? )∪(2,+∞).? 2
由 2x -3x-2=0 得 x1 ? ?
2

(2)原不等式等价于:x -2x+3<0.? 由 Δ =(-2) -4×1×3<0,知原不等式解集为 ? .?
2

2

(3)Δ =(-4) -4×4=0,方程 x -4x+4=0 有等根 x1=x2=2,? ∴原不等式的解集为{x|x∈R,且 x≠2}.? 点评:1.要严格按“解法步骤”求解.? 2.最后要用集合表示法表出解集.如本例(1)用区间表 示出解集;本例(3)用大括号表示 解集, 该题的解集也可用区间表为(-∞,2)∪(2,+∞), 但有的同学把第 (3) 题的解集表示为 x≠2, 这是错误的.?? 二、阅读材料? 法国数学家韦达? 韦达,1540 年出生在法国东部的普瓦图的韦特奈.他早年学习法律,曾以律师身份在法 国议会里工作, 韦达不是专职数学家, 但他非常喜欢在政治生涯的间隙和工作余暇研究数学, 并作出了很多重要贡献,成为那个时代最伟大的数学家.? 在对西班牙的战争中曾为政府破译敌军的密码.韦达还致力于数学研究,第一个有意识 地和系统地使用字母来表示已知数、未知数及其乘幂,带来了代数学理论研究的重大进步. 韦达讨论了方程根的各种有理变换, 发现了方程根与系数之间的关系 (所以人们把叙述一元 二次方程根与系数关系的结论称为“韦达定理”).? 韦达是第一个有意识地和系统地使用字母表示数的人, 并且对数学符号进行了很多改进. 他在 1591 年所写的 《分析术引论》 是最早的符号代数著作.是他确定了符号代数的原理与方 法, 使当时的代数学系统化并且把代数学作为解析的方法使用.他还写下了 《数学典则》 , 1579 年,韦达出版《应用于三角形的数学定律》.这是欧洲第一本使用六种三角函数的系统的平 面、球面三角学.主要著作还有《论方程的识别与修正》 《分析五章》等.韦达的著作以独特 形式包含了文艺复兴时期的全部数学内容.只可惜韦达著作的文字比较晦涩难懂,在当时不 能得到广泛传播.在他逝世后,才由别人汇集整理并编成《韦达文集》于 1646 年出版.?? 韦达 1603 年卒于巴黎, 享年 63 岁.由于韦达作出了许多重要贡献, 成为 16 世纪法国最
9

2

2

杰出的数学家,在欧洲被尊称为“代数学之父”.? 中国在一元二次方程方面的成就? 从“九章算术”卷八说明方程以后,在数值代数的领域内中国一直保持了光辉的 ?成 就.?? “九章算术”方程章首先解释正负术是确切不移的, 正像我们现在学习初等代数时从正 负数的四则运算学起一样,负数的出现更丰富了数的内容.我们古代的方程在公元前 1 世纪 的时候已有多元方程组、一元二次方程及不定方程几种.一元二次方程是借用几何图形而得 到证明.不定方程的出现在二千多年前的中国是一个值得重视的课题,这比我们现在所熟知 的希腊丢番图方程要早三百多年.具有 x +px +qx=A 和 x +px =A 形式的三次方程, 中国在公元 七世纪的唐代王孝通“缉古算经”已有记载,用“从开立方除之”而求出数字解答(可惜原 解法失传了),不难想象王孝通得到这种解法时的愉快程度,他说谁能改动他著作内的一个 字可酬以千金.11 世纪的贾宪已发明了和霍纳(1786~1837)方法相同的数字方程解法,我们 也不能忘记 13 世纪中国数学家秦九韶在这方面的伟大贡献.在世界数学史上对方程的原始 记载有着不同的形式,但比较起来不得不推中国天元术的简洁明了.四元术是天元术发展的 必然产物.级数是古老的东西,二千多年前的“周髀算经”和“九章算术”都谈到算术级数 和几何级数.14 世纪初中国元代朱世杰的级数计算应给予很高的评价,他的有些工作欧洲在 十八九世纪的著作内才有记录.11 世纪时代,中国已有完备的二项式系数表,并且还有这表 的编制方法.历史文献揭示出在计算中有名的盈不足术是由中国传往欧洲的.内插法的计算, 中国可上溯到 6 世纪的刘焯,并且 7 世纪末的僧一行有不等间距的内插法计算.? 14 世纪以前,属于代数方面许多问题的研究,中国是先进国家之一.就是到十八九世纪 由李锐(1773~1817),汪莱(1768~1813)到李善兰(1811~1882),他们在这一方面的研究上 也都发表了很多的名著.?
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