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2015高考试题——文数(广东卷)word版含答案

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试卷类型:B

2015 年普通高等学校招生全国统一考试(广 东卷)

数学(文科)
一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分.在每小题给出的四 个选项中,只有一项是符合题目要求的. ) 1、若集合 M ? ??1,1? , N ? ??2,1, 0? ,则 ? A . ?0, ?1? D. ??1,1? 2、已知 i 是虚数单位,则复数 ?1 ? i ? ? (
2

? ?(

) C . ?1?

B . ?0?

) C . ?2i ) C . y ? 2x ?
1 2x

A . ?2 D. 2i

B. 2

3、下列函数中,既不是奇函数,也不是偶函数的是( A . y ? x 2 ? sin x D. y ? x ? sin 2 x B . y ? x 2 ? cos x

?x ? 2 y ? 2 ? 4、若变量 x , y 满足约束条件 ? x ? y ? 0 ,则 z ? 2 x ? 3 y 的最大值为( ?x ? 4 ?
A . 10 D. 2 B. 8

) C. 5

5、设 ???C 的内角 ? , ? , C 的对边分别为 a , b , c .若 a ? 2 , c ? 2 3 ,
cos ? ? 3 ,且 b ? c ,则 b ? ( 2

) C. 2 2 D. 3

A. 3

B. 2

6、若直线 l1 和 l2 是异面直线,l1 在平面 ? 内,l2 在平面 ? 内,l 是平面 ? 与平面 ? 的交线,则下列命题正确的是( )

A. l 至少与 l1 , l2 中的一条相交 C. l 至多与 l1 , l2 中的一条相交

B. l 与 l1 , l2 都相交 D. l 与 l1 , l2 都不相交

7、已知 5 件产品中有 2 件次品,其余为合格品.现从这 5 件产品中任取 2 件,恰 有一件次品的概率为( A . 0.4 D. 1 ) B . 0.6 C . 0.8

x2 y 2 8、已知椭圆 ? 2 ? 1 ( m ? 0 )的左焦点为 F1 ? ?4, 0 ? ,则 m ? ( 25 m
A. 9 D. 2 B. 4

) C. 3

9、在平面直角坐标系 x?y 中,已知四边形 ??CD 是平行四边形, ?? ? ?1, ?2 ? ,

?D ? ? 2,1? ,则 ?D ? ?C ? (
A. 2 D. 5

) B. 3 C. 4

10、若集合 ? ? ?? p, q, r , s ? 0 ? p ? s ? 4, 0 ? q ? s ? 4, 0 ? r ? s ? 4且p, q, r , s ? ?? ,
F ? ?? t , u , v, w ? 0 ? t ? u ? 4, 0 ? v ? w ? 4且t , u , v, w ? ?? ,用 card ? ? ? 表示集合 ? 中

的元素个数,则 card ? ? ? ? card ? F ? ? (



A . 50 B . 100 C . 150 D. 200 二、填空题(本大题共 5 小题,考生作答 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分. ) (一)必做题(11~13 题) 11、不等式 ? x 2 ? 3 x ? 4 ? 0 的解集为 . (用区间表示)

12、 已知样本数据 x1 ,x2 ,??? ,xn 的均值 x ? 5 , 则样本数据 2 x1 ? 1 ,2 x2 ? 1 ,??? ,

2 xn ? 1 的均值为



13 、若三 个正数 a , b , c 成等比数 列,其 中 a ? 5 ? 2 6 , c ? 5 ? 2 6 ,则

b? . (二)选做题(14、15 题,考生只能从中选作一题)
14、 (坐标系与参数方程选做题)在平面直角坐标系 x?y 中,以原点 ? 为极点,x 轴 的 正 半 轴 为 极 轴 建 立 极 坐 标 系 . 曲 线 C1 的 极 坐 标 方 程 为

?x ? t2 ? ? ? cos ? ? sin ? ? ? ?2 ,曲线 C2 的参数方程为 ? ( t 为参数) ,则 C1 与 C2 交 y ? 2 2 t ? ?

点的直角坐标为 . 15、 (几何证明选讲选做题)如图 1 , ?? 为圆 ? 的直径, ? 为 ?? 的延长线上一 点, 过 ? 作圆 ? 的切线, 切点为 C , 过 ? 作直线 ?C 的垂线, 垂足为 D . 若 ?? ? 4 ,

C? ? 2 3 ,则 ?D ?



三、解答题(本大题共 6 小题,满分 80 分.解答须写出文字说明、证明过程和 演算步骤. ) 16、 (本小题满分 12 分)已知 tan ? ? 2 . ?? ?1? 求 tan ? ? ? ? ? 的值; 4? ? sin 2? 的值. ? 2? 求 2 sin ? ? sin ? cos ? ? cos 2? ? 1 17、 (本小题满分 12 分)某城市 100 户居民的月平均用电量(单位:度) ,以 ?160,180 ? ,?180, 200 ? ,? 200, 220 ? ,? 220, 240 ? ,? 240, 260 ? ,? 260, 280 ? ,? 280,300? 分组的频率分布直方图如图 2 .

?1? 求直方图中 x 的值; ? 2 ? 求月平均用电量的众数和中位数; ? 3? 在月平均用电量为 ? 220, 240 ? , ? 240, 260 ? , ? 260, 280 ? , ? 280,300? 的四组用户 中,用分层抽样的方法抽取 11 户居民,则月平均用电量在 ? 220, 240 ? 的用户中应
抽取多少户? 18、 (本小题满分 14 分)如图 3 ,三角形 ?DC 所在的平面与长方形 ??CD 所在的 平面垂直, ?D ? ?C ? 4 , ?? ? 6 , ?C ? 3 . ?1? 证明: ?C// 平面 ?D? ;

? 2 ? 证明: ?C ? ?D ; ? 3? 求点 C 到平面 ?D? 的距离.
19、 (本小题满分 14 分) 设数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n , 已知 a1 ? 1 , n ? ?? . a2 ?
a3 ? 5 ,且当 n ? 2 时, 4 S n ? 2 ? 5S n ? 8S n ?1 ? S n ?1 . 4

3 , 2

?1? 求 a4 的值;
? 2 ? 证明: ? ?an ?1 ?
1 ? an ? 为等比数列; 2 ? ? ? 3? 求数列 ?an ? 的通项公式.

20、 (本小题满分 14 分) 已知过原点的动直线 l 与圆 C1 : x 2 ? y 2 ? 6 x ? 5 ? 0 相交于 不同的两点 ? , ? . ?1? 求圆 C1 的圆心坐标;

? 2 ? 求线段 ?? 的中点 ? 的轨迹 C 的方程; ? 3? 是否存在实数 k ,使得直线 L: y ? k ? x ? 4 ? 与曲线 C 只有一个交点?若存在,
求出 k 的取值范围;若不存在,说明理由. 21、 (本小题满分 14 分)设 a 为实数,函数 f ? x ? ? ? x ? a ? ? x ? a ? a ? a ? 1? .
2

?1? 若 f ? 0 ? ? 1 ,求 a 的取值范围; ? 2 ? 讨论 f ? x ? 的单调性; ? 3? 当 a ? 2 时,讨论 f ? x ? ?
4 在区间 ? 0, ?? ? 内的零点个数. x

2015 年普通高等学校招生全国统一考试(广 东卷)

数学(文科)参考答案
一、 选择题 1.C 6.A 二、填空题 11. 【答案】 2.D 7.B 3.A 8.C 4.C 9.D 5.B 10.D

? ?4,1?

12. 【答案】 11 13. 【答案】 1

14. 【答案】

? 2, ?4 ?

15. 【答案】 3 16. 【答案】 (1) ?3 ; (2) 1 . 17. 【答案】 (1) 0.0075 ; (2) 230 , 224 ; (3) 5 .

3 7 18. 【答案】 (1)证明见解析; (2)证明见解析; (3) 2 .
(1)因为四边形 ??CD 是长方形,所以 ?C//?D ,因为 ?C ? 平面 ?D? , ?D ? 平面

?D? ,所以 ?C// 平面 ?D?
(2)因为四边形 ??CD 是长方形,所以 ?C ? CD ,因为平面 ?DC ? 平面 ??CD ,平面

?DC 平面 ??CD ? CD , ?C ? 平面 ??CD ,所以 ?C ? 平面 ?DC ,因为 ?D ? 平面

?DC ,所以 ?C ? ?D
(3)取 CD 的中点 ? ,连结 ?? 和 ?? ,因为 ?D ? ?C ,所以 ?? ? CD ,在 Rt???D 中,

?? ? ?D 2 ? D? 2

? 42 ? 32 ? 7 , 因为平面 ?DC ? 平面 ??CD , 平面 ?DC 平面 ??CD ? CD ,?? ?
平面 ?DC ,所以 ?? ? 平面 ??CD ,由(2)知:?C ? 平面 ?DC ,由(1)知:?C//?D , 所以 ?D ? 平面 ?DC ,因为 ?D ? 平面 ?DC ,所以 ?D ? ?D ,设点 C 到平面 ?D? 的距

离 为 h , 因 为

V三棱锥C??D? ? V三棱锥???CD

1 1 S ??D? ? h ? S ??CD ? ?? 3 , 所 以 3 , 即

1 S ??CD ? ?? 2 ? 3 ? 6 ? 7 3 7 h? ? ? 3 7 1 S ??D? 2 ? 3? 4 2 ,所以点 C 到平面 ?D? 的距离是 2
?1? 7 an ? ? 2n ? 1? ? ? ? ?2? 19. 【答案】 (1) 8 ; (2)证明见解析; (3)
n ?1



? 3 5 ? ? 3? ? 3 5? S 4 ? 5S 2 ? 8S3 ? S1 , 即4 ?1 ? ? ? a4 ? ? 5 ?1 ? ? ? 8 ?1 ? ? ? ? 1 ? 2 4 ? ? 2? ? 2 4? (1)当 n=2 时,4

解得: (

a4 ?

7 8
2 ) 因 为 即 ×

4 S n ? 2 ? 5Sn ? 8S n ?1 ? S n ?1 ? n ? 2 ? , 所以4 S n ? 2 ? 4 S n ?1 ? S n ? S n ?1 ? 4S n ?1 ? 4S n ? n ? 2 ? ,

4an ? 2 ? an ? 4an ?1 ? n ? 2 ? ,因为4a3 ? a1 ? 4

1 an ? 2 ? an ?1 4a ? 2a 2an ?1 ? an 5 1 n ?1 2 ? 1 ? 6 ? 4a2 , 所以4an ? 2 ? an ? 4an ?1 ,因为 ? n?2 ? ? 1 4 4an ?1 ? 2an 2 ? 2an ?1 ? an ? 2 an ?1 ? an 2
1 ? 1 1 ? ?an ?1 ? an ? 是以a2 ? a1 ? 1为首项,公比为 的等比数列 2 ? 2 2 ,所以数列 ? 1 ? ? 1 1 an ?1 ? an ? a2 ? a1 ? 1 ? 2? ? 2 ? 是以 2 (3)由 知:数列 ? 为首项,公比为 2 的等比数列,所以

1 ?1? an ?1 ? an ? ? ? 2 ?2?

n ?1

an ?1 ?1? ? ? 即?2? an ?1? ? ? ?2?
n

n ?1

? ? ? ? ? an ? an a1 ? ?4 ? n ? n ?2 1 ?1? ?? ? ? 1 ? ? ?? 2 ? ? ?2? ,所以数列 ? ? ? ? 是以 2 为首项,公差为 4 的等差数列,所以
?1? ?1? an ? ? 4n ? 2 ? ? ? ? ? ? 2n ? 1? ? ? ? ?2? ?2? ,即
n n ?1

? 2 ? ? n ? 1? ? 4 ? 4n ? 2

,所以数列

?an ? 的通项公式是
?1? an ? ? 2n ? 1? ? ? ? ?2?
n ?1

3? 9 ?5 ? ? 2 5 2 5 2 ? x ? ? ? y ? ? ? x ? 3? ? ?k? 3, 0 ? ? 2? 4 ?3 ? ?; 7 20. 【答案】 (1) ; (2) (3) 存在, 7
k??


2

4 3.

(1) 圆

C1 : x 2 ? y 2 ? 6 x ? 5 ? 0化为 ? x ? 3? ? y 2 ? 4, 所以圆C1的圆心坐标为 ? 3, 0 ?
2

(2) 设线段 AB 的中点 M 设 直

? xo , yo ? , 由圆的性质可得 C1M 垂直于直线 l
线 l 的 方 程 为

y ? mx(已知直线l的斜率存在),所以k cm m ? ?1, y0 ? mx0 , 所以
y0 y0 3? 9 ? ? ?1, x0 2 ? 3 x0 ? y0 2 ? 0即 ? x0 ? ? ? y0 2 ? x0 ? 3 x0 2? 4 ? 所以
2

4 2 2 C 因为动直线 l 与圆 1 相交,所以 m ? 1 <2,所以 m < 5 ;
4 2 4 2 5 x0 , 所以3x0 ? x0 2 x0 , 解得x 0 2 2 2 x x ? 3, 所以 y ? m x 0 <5 所以 0 <5 > 3 或 0 <0,又因为 0< 0

3m

5 3 < x0 ? 3 .
3? 9 ?5 ? ? x0 ? ? ? y0 2 ? ? ? x ? 3? . ? M ? x0 , y0 ? 2? 4 ?3 ? 即 所以 满足 ? 3? 9 ?5 ? ? 2 ? x ? ? ? y ? ? ? x ? 3? . 2? 4 ?3 ? ?
(3) 由题意知直线 l 表示过定点 T 结合图形,
2 ? 3? 9 ?5 ?5 2 5 ? ? ? ? 2 x ? ? ? 0 ? ? y0 ? ? ? x0 ? 3? 表示的是一段关于x轴对称,起点为 ? , ? 2? 4 ?3 3 ? ? ? ? ?3 ?
2 2

? 4, 0 ? , 斜率为 k 的直线

? ?5 2 5 ? ? ? , ? ?3 3 ? ? 的圆弧,根据对称性,只需讨论在 x 轴对称下方的 按逆时针方向运动到 ?
圆弧。设

k PT ?5 2 5 ? ? ? ? ? , ?, 3 ? ?3 ? 则 P?
解得

2 5 3k 2 5 ? 4k ? 3 ? , 3 2 5 7 ? 4? 2 2, 3 而当直线 L 与轨迹 C 相切时, k ? 1

k ??

2 5 3 3 3 k? 4 ,在这里暂取 4 ,因为 7 < 4 ,所以 k PT <k

2 5 4 ?k?0 k ? 7 3 时,直线 L 与 X 轴 结合图形,可得对于 X 轴对称下方的圆弧,当 或 ? 2 5 2 5 4 ?k? k?? 7 7 或 3. 对称下方的圆弧有且只有一个交点,根据对称性可知 ? 2 5 2 5 4 ?k? k?? 7 7 或 3 时,直线 L: y ? k ? x ? 4 ? 与曲线 C 只有一交点. 综上所述:当 ?

21. 【答案】

a?
(1)

1 2; f ? x? ? 4 x

(2) f ( x) 在 (a,??) 上单调递增,在 (??, a ) 上单调递减; (3)当 a ? 2 时,

有一个零点 x=2;当 a ? 2 , y ? f ( x) 与

y??

4 x 有两个零点.

(1)

f ? 0 ? ? a 2 ? a ? a 2 ? a ? a ? a,

因为

f ? 0 ? ? 1,

所以

a ? a ?1

1 当 a ? 0时,0 ? 1,显然成立;当 a >0时,则有2 a ≤1,所以 a ≤ 2 ,所以

1 1 0< a ≤ 2 综上所述, a 的取值范围 a ≤ 2

(2)

f ? x? ?

?

x 2 ?? 2 a ?1? x . x ? a

x 2 ?? 2 a ?1? x ? 2 a , x ? 2

对于 所以

v1 ? x 2 ? ? 2a ? 1? x, f ? x?


x?
其对称轴为

2a ? 1 1 ?a? 2 2 < a ,开口向上

? a, ?? ? 上单调递增
x?
其对称轴为

对于 所以

v1 ? x 2 ? ? 2a ? 1? x ? 2a, f ? x?


2a ? 1 1 ?a? 2 2 > a ,开口向上

? ??, a ? 上单调递减

综上所述: f ( x) 在 (a,??) 上单调递增,在 (??, a ) 上单调递减;

( 3 ) 由 ( 2 ) 得 f ( x) 在 (a,??) 上 单 调 递 增 , 在 (0, a ) 上 单 调 递 减 , 所 以

f ( x) min ? f (a ) ? a ? a 2 .
(i)当 a ? 2 时, f ( x) min ? f (2) ? ?2 ,
2 ? ? x ? 3 x, x ? 2 f ( x) ? ? 2 ? ? x ? 5 x ? 4, x ? 2



f ? x? ?

4 4 f ( x) ? ? x =0,即 x (x>0).

因为 f ( x) 在 (0,2) 上单调递减,所以 f ( x) ? f (2) ? ?2

y??


4 4 y?? ( 0 , 2 ) y ? f ( 2 ) ? ? 2 y ? f ( x ) x在 x 在 (0,2) 无交点. 上单调递增, , 所以 与 f ( x) ? x 2 ? 3x ? ? 4 x ,即 x 3 ? 3 x 2 ? 4 ? 0 ,所以 x 3 ? 2 x 2 ? x 2 ? 4 ? 0 , f ? x? ? 4 x 有一个零点

当 x ? 2 时,

所以 ? x ? 2 ? ( x ? 1) ? 0 ,因为 x ? 2 ,所以 x ? 2 ,即当 a ? 2 时,
2

x=2.

(ii)当 a ? 2 时, f ( x) min ? f (a ) ? a ? a ,
2 2 当 x ? (0, a ) 时, f (0) ? 2a ? 4 , f (a ) ? a ? a ,而

y??

4 x 在 x ? (0, a ) 上单调递增,

当 x ? a 时,

y??

4 4 ? 2 a .下面比较 f (a ) ? a ? a 与 a 的大小

4 ? (a 3 ? a 2 ? 4) ? (a ? 2)(a 2 ? a ? 2) a ? a 2 ? (? ) ? ? ?0 a a a 因为
f (a) ? a ? a 2 ? ?
所以

4 a

结合图像不难得当 a ? 2 , y ? f ( x) 与

y??

4 x 有两个交点.

综上,当 a ? 2 时, 点.

f ? x? ?

4 4 y?? y ? f ( x ) x 有一个零点 x=2;当 a ? 2 , x 有两个零 与


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