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河南省开封市2014届高三第一次模拟考试试题(数学理)


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高三数学试题(理科)

第I卷 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。 1.若集合 A ? ? x ? R | y ? lg(2 ? x)? , B ? y ? R | y ? 2 x ?1 , x ? A ,则 A .R B. ? ??,0? ? ? 2, ?? ? C. ? 2, ?? ?
5

?

?

D. ? ??,0?

2.复数 z ? ( 3 ? i )i ? i (i 为虚数单位) ,则复数 z 的共轭复数为 A.2- i B.2+i C.4- i D.4+i

3.直线 2 x ? my ? 2m ? 4 与直线 mx ? 2 y ? m ? 2 垂直的充要条件是 A.m=2 B.m=-2 C.m=0 D.m∈R

4.一个几何体的三视图如图所示,正视图和侧视图都 是等边三角形,该几何体的四个顶点在空间直角坐 标 系 O-xyz 中的坐标分别是(0,0,0),(2,0,0), (2,2,0),(0,2,0)则第五个顶点的坐标可能为 A.(1,1,1) B.(1,1, 2 ) C.(1,1, 3 ) D.(2,2, 3 ) 5.在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,若 a cos A ? b sin B ,则 sin A cos A ? cos 2 B ? A. ?

1 2

B.

1 2

C.-1

D.1

6.阅读如下程序框图,如果输出 i =4,那么空白的判断框中应填人的条件是
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A. S<10?

B. S<12?

C. S<14?

D. S<16?

7.把长为 1 的铁丝截成三段,则这三段恰好能围成三角形的概率是

1 8 ??? ? ???? ???? ???? 8.半径为 4 的球面上有 A、B、C、D 四个点,且满足 AB ? AC ? 0, AC ? AD ? 0 ,
A. B.1 C. D.

1 2

1 4

???? ??? ? AD ? AB ? 0 ,则 S?ABC ? S ?ACD ? S ?ADB 的最大值为
A. 64 B. 32 C.16 D.8

9.已知函数 f ( x) ? sin 2 x cos ? ? cos 2 x sin ? ,( x ? R) ,(z∈R)其中 ? 为实数,且 f ( x) ? f ( 意实数 R 恒成立,记 p ? f ( A .r<p<q 10.从双曲线

2? 5? 7? ), q ? f ( ), r ? f ( ) ,则 p、q、.r 的大小关系是 3 6 6
C. p<q<r D. q<p<r

2? ) 对任 9

B. q<r<p

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的左焦点 F 引圆 x 2 ? y 2 ? a 2 的切线,切点为 T,延长 FT 交双 a 2 b2

曲线右支于 P 点,若 M 为线段 FP 的中点,O 为坐标原点,则 MO ? MT 与 b-a 的关系为 A. MO ? MT ? b ? a C. MO ? MT ? b ? a B. MO ? MT ? b ? a D. MO ? MT 与 b-a 无关

11.等比数列 ?an ? 中, a1 ? 2, a8 ? 4 ,函数 f ( x) ? x( x ? a1 )( x ? a2 ) ? ? ? ( x ? a8 ) 则 f '(0) ? A. 2
12

B. 2

9

C. 2

8

D. 2

6

12.已知函数 f ( x) 定义在 R 上,对任意实数 x 有 f ( x ? 4) ? ? f ( x) ? 2 2 ,若函数 y ? f ( x ? 1) 的图 像关于直线 x=1 对称, f (?1) ? 2 ,则 f (2013) ? A. ?2 ? 2 2 B. 2 ? 2 2 C. 2 ? 2 2 第Ⅱ卷 本卷包括必考题和选考题两部分, 第(13)题~第(21)题为必考题, 每个试题考生都必须做答, 第(22)题~ 第(2/1)题为选考题,考生根据要求做答。 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分.
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13. 若 (1 ?

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,则 a+b=_______. 2)5 ? a ? b 2 (a,b 为有理数)

14.椭圆

x2 y 2 ? ? 1 的焦点为 F1 , F2 ,点 P 在椭圆上,若 PF1 ? 4 ,则 ?F1PF2 的大小为________. 9 2
到最小时 t 的

15.设直线 x ? t 与函数 f ( x) ? x 2 , g ( x) ? ln x 的图像分别交于点 M,N,则当 MN 达 值为_______. 1 6.已知 O 是锐角△ABC 的外接圆圆心, tan A ?

? cos C ???? ???? 2 cos B ??? ,若 AB ? AC ? 2m AO , 2 sin C sin B



m ? ________.
三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程和演算步骤 17.(本小题满分 12 分) 设数列 ?an ? 满足: a1 ? 2a2 ? 3a3 ? ? ? ? ? nan ? 2n (n ? N ? ) . (I)求数列 ?an ? 的通项公式; (Ⅱ)设 bn ? n 2 an ,求数列 ?bn ? 的前 n 项和 S n 。 18.(本小题满分 12 分) 为了解甲、乙两厂的产品质量,采用分层抽样的方法,从甲、乙两厂生产的产品中分别抽取 14 件和 5 件,测量产品中微量元素 x、y 的含量(单位:mg) ,下表是乙厂的 5 件产品测量数据

(Ⅰ)已知甲厂生产的产品共有 98 件,求乙厂生产的产品数量; (Ⅱ)当产品中微量元素 x、y 满足 x ? 175, y ? 75 时,该产品为优质品,试估计乙厂生 数量; (Ⅲ)从乙厂抽出的上述 5 件产品中任取 3 件,求抽取的 3 件产品中优质品数 ? 的分布列及数学期望. 19.(本小题满分 12 分) 如图:三棱柱 A1B1C1 ? ABC , A1 A ? AC , A1 A ? AB, ,E 是 A1B 的中点. AB ? AC ? 1, A1B ? 2 , 产的优质品的

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(Ⅰ)若 BC ?

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2 ,求证:平面 ACE ? 平面 A1 AB ;

(Ⅱ)若 ?CAB ? 120? ,求二面角 A1 ? AE ? C 的余弦值; 20.(本小题满分 12 分) 已知圆 ( x ? a ) 2 ? ( y ? 1 ? r ) 2 ? r 2 (r ? 0) 过点 F(0,1),圆心 M 的轨迹为 C. (Ⅰ)求轨迹 C 的方程; (Ⅱ)设 P 为直线 l : x ? y ? 2 ? 0 上的点,过点 P 做曲线 C 的两条切线 PA,PB,当点 P ( x0 , y0 ) 为直线 l 上的定点时,求直线 AB 的方程; (Ⅲ)当点 P 在直线 l 上移动时,求 AF ? BF 的最小值. 21.(本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? x ln x
2 (Ⅰ)函数 g ( x) ? ? ax ? f ( x) 在区间 ? ?1, e ? ? 上不单调,求 a 的取值范围;

(Ⅱ)若 k∈Z,且 f ( x) ? x ? k ( x ? 1) ? 0 对任意 x>1 恒成立,求 k 的最大值. 22. (本小题满分 10 分)选修 4- 1:几何证明选讲 如图: AB 是 ? O 的直径, G 是 AB 延长线上的一点, GCD 是 ? O 的割线, 过点 G 作 AG 的垂线,交直线 AC 于点 E,交直线 AD 于点 F,过点 G 作 ? O 的切线,切点为 H。 (Ⅰ)求证 C、D、E、F 四点共圆; (Ⅱ)若 GH=6,GE=4,求 EF 的长. 23. (本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 极坐标系中,圆 C 方程 ? ? 2 3 cos ? ? 2sin ? , A( 3, 2? ) ,以极点作为直角坐标系的原点,极轴作为 x 轴的正半轴,建立直角坐标系,并在两种坐标系中取相同的长度单位. (Ⅰ)求圆 C 在直角坐标系中的标准方程; (Ⅱ)设 P 为圆 C 上的任意一点,圆心 C 为线段 AB 中点,求 PA ? PB 的最大值. 24.(本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 已知函数 f ( x) ? 2 x ? 1 ? x ? 2a . (Ⅰ)当 a ? 1 时,求 f ( x) ? 3 的解集;
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(Ⅱ)当 x ? ?1, 2? 时, f ( x) ? 3 恒成立,求实数 a 的取值范围.

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