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求三角形面积的海伦公式


求三角形面积的海伦公式
若 ?ABC 的三边长分别为 a , b , c ,则
S?ABC ? (a ? b ? c)( ?a ? b ? c)(a ? b ? c )(a ? b ? c ) 4 ? p( p ? a )( p ? b)( p ? c),

其中 p 是 ?ABC 的半周长,即 p ? (a ? b ? c) 2 。 (证明一)设边 c 上的高为 h 。由于 AD ? DB ? c ,而在 ?ADC 和 ?DBC 中,根据勾股定理有
2 2 2 2 2 ? ? AD ? AC ? CD ? AD ? b ? h ; ? 2 2 2 2 2 ? ? DB ? CB ? CD ? DB ? a ? h .

C b h

a
B

A

c

D

于是有

b2 ? h2 ? a2 ? h2 ? c,


a2 ? h2 ? c ? b2 ? h2 .
两边平方,化简得

2c b2 ? h2 ? b2 ? c2 ? a2 .
两边平方,化简得

h ? b2 ?

( b2 ? c 2 ? a 2 ) 2 4c2

1 1 (b2 ? c 2 ? a 2 ) 2 S?ABC ? ch ? c b2 ? . 2 2 4c2
仔细化简一下,得

S?ABC ?

1 4 1 ? 4 1 ? 4 1 ? 4

4b 2 c 2 ? ( b 2 ? c 2 ? a 2 ) 2 4b2c 2 ? (a 4 ? 2a 2b2 ? 2a 2c 2 ? b 4 ? 2b 2c 2 ? c 4 ) ?a 4 ? 2a 2b2 ? 2a 2c 2 ? b 4 ? 2b 2c 2 ? c 4 ( a ? b ? c )( ?a ? b ? c )(a ? b ? c )(a ? b ? c) .

(证明二)
S?ABC ? 1 1 ab sin C ? ab 1 ? cos2 C 2 2

(1)

在 ?ABC 中,由余弦定理得
cos C ? a 2 ? b2 ? c 2 . 2ab

代入 (1) 式,化简得

S?ABC ? ?
化简得

1 1 1 ( a 2 ? b2 ? c 2 ) 2 ab sin C ? ab 1 ? cos2 C ? ab 1 ? 2 2 2 (2ab)2
2 1 1 4(ab)2 ? (a 2 ? b2 ? c 2 )2 ? 4(ab) 2 ? ? ( a 2 ? b2 ) ? c 2 ? . ? ? 4 4

S?ABC ?

1 (a ? b ? c )( ?a ? b ? c )(a ? b ? c )(a ? b ? c ) . 4


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