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高三数学第一轮复习-空间几何体及其表面积和体积


空间几何体及其表面积和体积
【学习目标】 1.掌握空间几何体的有关概念. 2.掌握空间几何体的侧面积及体积的计算方法. 3.复杂的几何体都是由简单几何体组成的,要注意“割”与“补”等方法的应用,注意改变几何 体的观察角度,得到最佳求积法,注意等积变形的应用. 【知识梳理】 1.多面体和旋转体 (1)由若干个 平面多边形 围成的几何体,叫做多面体,围成多面体的 平面多边形 ,叫做多 面体的面,相邻两个面的 公共边 叫做多面体的棱,棱与棱的 公共点 叫做多面体的顶点. (2)有一个平面图形绕它所在平面内的一条定直线旋转所形成的 几何体 叫做旋转体,定直线 叫做旋转体的 旋转轴 . 2.棱柱 (1) 概念:由一个平面多边形沿某一个方向平移形成的空间几何体叫做棱柱.平移起止位置的两 个面叫做棱柱的底面,多边形的边平移所形成的面叫做棱柱的侧面. (2)特点:两个底面是全等的多边形,且对应边互相平行,侧面都是平行四边形. (3)分类:按底面多边形的边数分类为 三棱柱 ,四棱柱 ,五棱柱 ,? 3.棱锥 (1)概念:当棱柱的一个底面收缩为一个点时,得到的几何体叫做棱锥. (2)特点:底面是多边形,侧面是有一个公共顶点的三角形. 4.圆柱:以矩形的一边所在的直线为旋转轴,其余三边旋转形成的面所围成的旋转体叫做圆柱, _这条直线_叫做圆柱的轴; 垂直于轴的边 旋转而成的圆面叫做圆柱的底面; 不垂直于轴的边 旋 转而成的曲面叫做圆柱的侧面,无论旋转到什么位置,不垂直于轴的边都叫做圆柱的 母线 ,圆 柱和棱柱统称为 柱体 . 5.圆锥:以直角三角形的一条 直角边 所在直线为旋转轴,其余两边旋转形成的面所围成的几何 体叫做圆锥.棱锥与圆锥统称为 锥体 . 6.棱台与圆台: (1)用一个 平行于棱锥底面 的平面去截棱锥,底面与截面之间的部分叫做棱台._截面与原

棱锥底面_分别叫做棱台的下底面和上底面, 两底面间的距离叫做棱台的高. 棱台也有侧面, 侧棱, 顶点,棱台侧棱的延长线必相交于一点. (2) 用平行于圆锥底面的平面去截圆锥, 底面与截面之间的部分, 叫做圆台.与圆柱和圆锥一样, 圆台也有轴,底面、侧面、母线,棱台和圆台统称为台体. 7.球:以半圆的 直径 所在直线为旋转轴,半圆面旋转一周形成的旋转体叫做球体,简称球.半圆 的圆心叫做球的 球心 ,半圆的半径叫做球的 半径 ,半圆的直径叫做球的 直径 . 8.面积和体积: (1)柱体的体积= (2)锥体的体积= (3)球的表面积= 【基础训练】 1.一个直角三角形绕斜边旋转一周形成的空间几何体是 2.下列所有正确命题的标号是_____________________. (1) 棱柱的底面一定是平行四边形 (3)棱台的底面一定是两个相似的正方形 3.棱长都为 1 的正三棱锥的全面积为 棱都相等,侧面积为 36,则它的高为 . (2) 棱锥的底面一定是三角形 (4) 棱台的侧棱延长后必交于一点 ,体积为 ,直三棱柱的各 . ,直柱体侧面积 = ,圆锥的侧面积= ,体积= .

,正棱锥的侧面积=_________. .

4.若正三棱锥底面边长为 4,体积为 1,则侧面积等于_________. 5. 已知正三棱锥 S?ABC, D, E 分别是底面边 AB, AC 的中点, 则四棱锥 S?BCED 与三棱锥 S?ABC 的体积之比为 .

6.在棱长为 1 的正方体上,分别用过共顶点的三条棱的中点的平面截该正方体,则截去 8 个三棱 锥后,剩下的几何体的体积为 7.若一个球的体积为 4 3π,则它的表面积为 . .

8.已知一个凸多面体共有 9 个面,所有棱长均为 1,其平面展开图 如右图所示,则该凸多面体的体积 V ? .

9.已知球的半径为 2,相互垂直的两个平面分别截球面得两个圆,若两圆的公共弦长为 2,则两 圆的圆心距等于_________________.

10.两个相同的正四棱锥组成如图(1)所示的几何体,可放入如图(2)所示棱长为 1 的正方体内,使 正四棱锥的底面 ABCD 与正方体的某一个面平行,且各顶点均在正方体的面上,则这样的几 何体体积的可能值有 .

【典型例题】 例 1.长方体的底面积是 4,对角线长是 4,求长方体侧面积的最大值长方体的底面积是 4,对角 线长是 4,求长方体侧面积的最大值.

例 2.如图,一个倒圆锥形容器,它的轴截面是正三角形,在容器内放一个半径为 r 的铁球,并向 容器内注水,使水面恰好与铁球面相切,将球取出后,容器内的水深是多少?
O1 B O M A C

例 3.如图,已知三棱锥 A-BCD 的底面是等边三角形,三条侧棱长都等于 1,∠BAC = 30°,M, N 分别在棱 AC 和 AD 上,求 BM + MN + NB 的最小值.
A M N

B C

D

例 4. 在直四棱柱 ABCD-A1B1C1D1 中, 侧棱 AA1 = a, 底面 ABCD 是边长 AB = 2a, BC = a 的矩形, E 为 C1D1 的中点,求三棱锥 B1-BDE 的体积.
D1 A1 E B1 C1

D A B

C

第 1 课时

空间几何体及其表面积和体积课后作业

1.一个长方体的各顶点均在同一球的球面上,且一个顶点上的三条棱长分别为 2,2,3,则此球 的表面积为 .

2. 正四棱台的上、 下底面均为正方形, 它们的边长分别为 2cm 和 6cm, 两底面之间的距离为 2cm, 则该棱台的侧棱长为 cm.

3.体积为 52 的圆台,一个底面积是另一个底面积的 9 倍,那么截得这个圆台的圆锥的体积是 .

4.等体积的球与正方体,它们的表面积的大小关系是



5.正方体的棱长为 2 ,则以该正方体的各个面的中心为顶点的多面体体积为



6. 如图, 模块①~⑤均由 4 个棱长为 1 的小正方体构成, 模块⑥由 15 个棱长为 1 的小正方体构成. 现 从模块①~⑤中选出三个放到模块⑥上,使得模块⑥成为一个棱长为 3 的大正方体,则下列选择方 案中,能够完成任务的模块是 .

7.一个正四棱柱的各个顶点在一个直径为 2cm 的球面上,如果正四棱柱的底面边长为 1cm,求该 棱柱的表面积.

8.如图,圆柱内有一个内接长方体 AC1,长方体的对角线为 10 2,圆柱的侧面展开图为矩形,此 矩形面积为 100π,求圆柱的体积.

C1

A

9.一个六棱柱的底面是正六边形,其侧棱垂直底面.已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上,且 9 该六棱柱的体积为 ,底面周长为 3,求这个球的体积. 8

10.如图所示,四棱锥 P-ABCD 的底面 ABCD 是半径为 R 的圆的内接四边形,其中 BD 是圆的直 径,∠ABD = 60° ,∠BDC = 45° ,△ADP∽△BAD. (1)求线段 PD 的长; (2)若 PC = 11R,求三棱锥 P-ABC 的体积.



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