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(衡水万卷)2016年普通高等学校招生全国统一考试高考置换卷数学(理)试题(二)(含答案解析)


2016 高考置换卷 2
数学(理科)
本试卷分第 I 卷(选择题)和第 II 卷(非选择题)两部分。满分 150 分,考试时间 120 分钟。

A.在区 间 [

? 7?
12 12 ,

] 上单调递减

B.在区间 [

C.在区间 [ ?

, ] 上单调递 6 3 9.执行右面的程序框图,如果输入的 N ? 10 ,那么输出的 S ?

? ?

, ] 上单调递增 12 12

? 7?

, ] 上单调递减 6 3

D.在区间 [ ?

? ?


开始
输入N

[来源:Zxxk.Com]

第 I 卷(选择题
1.已知复数 z 满足 | 2 z ? i |? 2 ,则 | z ? 2i | 的最小值是
1 A. 2 3 B. 2

共 60 分)

一.选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。 ( )

1 1 1 A 1 ? ? ? ……+ 2 3 10
B 1? C 1?

k ? 1, S ? 0, T ? 1
T? T k

1 1 1 ? ? ……+ 2 ! 3 ! 10 !

[来源:学科网 ZXXK]

C.1

D.2 ) D?
3 2

2. cos15? ? sin 75? ? sin15? ? cos 75? 的值是( A
1 2

B

3 2
x0

C ?

1 2

1 1 1 ? ? ……+ 2 3 11 1 1 1 D 1 ? ? ? ……+ 2 ! 3 ! 11 !
1 ( x ? 2 y )5 的展开式中 x 2 y 3 的系数是 10. 2
A.-20 B.-5 C.5 D.20 11.如图 1 是一个空间几何体的三视图,则该空间几何体的体积是( A. )

S ? S ?T k ? k ?1
k ? N?




输出S

3.命题“存在 x0 ? R,2x0 ? 0 ”的否定是.( A.不存在 x0 ? R, 2 ? 0
x0

) C.对任意的 x ? R, 2 ? 0
x

B.存在 x0 ? R,2 ? 0

D.对任意的 x ? R, 2 ? 0
x

结束

4.甲.乙两名同学参加一项射击比赛游 戏,其中任何一人每射击一次击中目标得 2 分,未击中目标得 0 分。若甲.乙两人
3 9 射击的命中率分别为 和 P ,且甲.乙两人各射击一次得分之和为 2 的概率为 。假设甲.乙两人射击互不影响,则 P 值 5 20

为( A.
3 5

) B.
4 5

C.

3 4

D.

1 4

? 3

B. 4?

C. 6?

D. 12?

5.设 F1 , F2 分别是双曲线 心率为( A.
5 2

???? ???? ? ???? ???? ? x2 y 2 ? 2 ? 1 的左.右焦点,若双曲线上存在点 A ,使 AF1 ? AF2 ? 0 ,且 AF1 ? 3 AF2 ,则双曲线的离 2 a b

) B.
10 2

C.

15 2

D. 5

6. 我国古代数学名著《九章算术》中“开立圆术”曰:置积尺数,以十六乘之,九而一,所得开立方除之,即立圆径. “开立圆术”
3

相当于给出了已知球的体积 V ,求其直径 d 的一个近似公式 d ≈ 判断,下列近似公式中最精确的一个是( )

16 V . 人们还用过一些类似的近似公式. 根据 9

12.设函数 f ( x) ? ex ? x ? a ( a ? R , e 为自然对数的底数).若曲线 y ? sin x 上存在 ( x0 , y0 ) 使得 f ( f ( y0 )) ? y0 , 则 a 的取值范围是( A [1, e]
?1

) C [1, e ? 1] D [e -1, e ? 1]
?1

B [e -11] ,

第 II 卷(非选择题 共 90 分)
3

3

A. d ≈

16 V 9

3

B d≈

3

2V

C

d≈

300 V 157

D d≈

21 V 11

本卷包括必考题和选考题两部分。第 13~21 题为必考题,每个试题考生都必须作答。第 22~24 题为选考题,考生 根据要求作答。 二.填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分。把答案填在题中的横线上。 13.已知 f ( x) 是 R 上的奇函数,且 x ? (??,0) 时, f ( x) ? ? x lg(2 ? x) ,则 f ( x) ? 。 14.设 F1 , F2 分别是椭圆 E : x ?
2

7.已知 A, B, C 三点不共线,对平面 ABC 外的任一点 O,下列条件中能确保点 M 与点 A, B, C 共面的是( ) ???? ? ??? ? ??? ? ???? ???? ? ??? ? ??? ? ???? ???? ? ??? ? 1 ??? ? 1 ???? ???? ? 1 ??? ? 1 ??? ? 1 ???? A. OM ? OA ? OB ? OC B. OM ? 2OA ? OB ? OC C. OM ? OA ? OB ? OC D. OM ? OA ? OB ? OC 6 3 2 2 3 8.将函数 y ? 3sin(2 x ?

y2 ? 1(0 ? b ? 1) 的左、右焦点,过点 F1 的直线交椭圆 E 于 A, B 两点,若 b2


?
3

) 的图象向右平移

? 个单位长度,所得图象对应的函数( 2

AF 1 ? 3 BF 1 , AF 2 ? x 轴,则椭圆 E 的方程为



om

? x ? y ? ?1 y ? 15.设变量 x,y 满足约束条件 ? x ? y ? 1 ,则目标函数 z ? 的最大值为 x?2 ?2 x ? y ? 1 ?

.

①证明:∠AFM=∠BFN; ②求△ABF 面积的最大值。

16.在平面直角坐标系 xOy 中,四边形 ABC D 的边 AB∥DC,AD∥BC。已知点 A ? ?2,0? , B ? 6,8? , C ?8,6 ? ,则 D 点的坐标 为 . 三.解答题:本大题共 6 小题,前 5 题每题 12 分,选考题 10 分,共 70 分,解答应写出必要的文字说明、证明过程或 演算步骤。
n 17.设数列 ?an ? 满足 a1 ? 3a2 ? 32 a3 ? … ?3n ?1 an ? , n ? N? 3

21.已知函数 f ( x) ? x ,函数 g ( x) ? ?f ( x) ? sin x 是区间[-1,1]上的减函数. (1)求 ? 的最大值; (2)若 g ( x) ? t 2 ? ?t ? 1在x ? [?1,1] 上恒成立,求 t 的取值范围; (3)讨论关于 x 的方程

(1)求数列 ?an ? 的通项;
n (2)设 bn ? ,求数列 ?bn ? 的前 n 项和 S n . an

18. 如 图 , 在 四 棱 锥 P ? ABCD 中 , 已 知 PA ? 平 面 A B C D , 且 四 边 形 ABCD 为 直 角 梯 形 , P

ln x ? x 2 ? 2ex ? m 的根的个数. f ( x)

Q A D C

?A B C? ? B A D ? , PA ? AD ? 2, AB ? BC ? 1 2 (1)求平面 PAB 与平面 PCD 所成二面角的余弦值;
(2)点 Q 是线段 BP 上的动点,当直线 CQ 与 DP 所成角最小时,求线段 BQ 的长 19.某工厂对某产品的产量与单位成本的资料分析后有如下数据: 月 份 1 2 73 2 3 72 3 4 71 4 3 73 5 4 69 产量 x 千件 单位成本 y 元/件
[来源:学_科_网 Z_X_X_K]

?

B

请考生在 22~24 三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分。 22.选修 4 — 1 :几何证明选讲. 如图,AB 是圆 O 的直径,C 是半径 OB 的中点,D 是 OB 延长线上一点,且 BD=OB,直线 MD 与圆 O 相交于点 M、 T(不与 A、B 重合) ,DN 与圆 O 相切于点 N,连结 MC,MB,OT. (1)求证: DT ? DM ? DO ? DC ; (2)若 ?DOT ? 60 ? ,试求 ?BMC 的大小.

6 5 68 23.选修 4 - 4:坐标系与参数方程

(1) 画出散点图,并判断产量与单位成本是否线性相关。 (2) 求单位成本 y 与月产量 x 之间的线性回归方程。 (其中结果保留两位小数) 参考公式:
b?
^

x2 y 2 ? ? 1 与 x 正半轴、 y 正半轴的交点分别为 A, B ,动点 P 是椭圆上任一点,求 ?PAB 面积的最大 已知椭圆 C : 16 9
值。 24.选修 4—5:不等式选讲 已知函数 f ( x) ?| x ? 1| ? | x ? a | . (1)若 a ? ?1 ,解不等式 (2)如果

用最小二乘法求线性回归方程系数公式:

?x y
i ?1 n i

n

i

?nx y ?nx
?2

? ?

?x
i ?1

, a ? y? b x

^

?

^ ?

2 1

f ? x? ? 3



?x ? R, f ? x ? ? 2

,求 a 的取值范围.

20.如图,设 F(-c, 0)是椭圆

x2 a2

?

y2 b2

? 1(a ? b ? 0) 的左焦点,直线 l:x=-

a2 与 x 轴交于 P 点,MN 为椭圆的长轴, c

已知|MN|=8,且|PM|=2|MF|。 (1 )求椭圆的标准方程; (2)过点 P 的直线 m 与椭圆相交于不同的两点 A, B。

om

【解析】 ? 0, 2 ? 由条件中的四边形 ABCD 的对边分别平行,可以判断该四边形 ABCD 是平行四边形,设

2016 高考置换卷 2 答案解析
1. 【答案】B 2.【答案】B 3.【答案】D 4.【答案】C 5.【答案】B 6.【答案】D 【解析】根据球的体积公式求出直径,然后选项中的常数为 a:b,表示出 π,将四个选项逐一代入,求出最接近真实值

??? ? ???? D ? x, y ? , 则有 AB ? DC ,即 ? 6,8? ? ? ?2,0? ? ?8,6? ? ? x, y ? , 解得 ? x, y ? ? ? 0, ?2? , 故填 ? 0, ?2 ? .

17.【答案】 (1) an ?

1 (n ? N? ). 3n

(2) Sn ?

(2n ? 1)3n ?1 3 ? 4 4

【解析】 (1)? a1 ? 3a2 ? 32 a3 ? … ?3n ?1 an ?
1 1 ①-②得 3n ?1,an ? , an ? n 3 3

n ?1 n ① ? 当 n ≥2 时, a1 ? 3a2 ? 32 a3 ? … ?3n ? 2 an ?1 ? ,② 3 3
1 3

在①中,令 n ? 1 ,得 a1 ? ,? an ?

1 (n ? N? ). 3n

(2)? bn ?

n ,? b n ? n ? 3n ,? S n ? 1 ? 3 ? 2 ? 32 ? 3 ? 33 ? … ? n ? 3n ③ an

…? ? 3Sn ? 1 ? 2 3 ? 2 ?33 ? 3 4? 3 ? n ? 3n ?1 ④

④--③得 2Sn ? n ? 3n ?1 ? (3 ? 32 ? 33 ? 3n ) 的那一个即可. 由 设选项中的常数为 , 则可知 , 选项 A 代入得 , 18. 18.【答案】 (1) 选项 B 代入得 π= 真实的值,故选 D. 7.【答案】D 8.【答案】B 9.【 答案】B 10.【答案】A 11.【答案】A 12.【答案】A
[来源:学科网]

即 2Sn ? n ? 3n ?1 ?

3(1 ? 3n ) (2n ?1)3n ?1 3 ,? Sn ? ? . 1? 3 4 4

3 2 5 (2) 3 5

=3,选项 C 代入可知

,选项 D 代入可知

,故 D 的值接近

13.【答案】 ?

?? x lg(2 ? x)( x ? 0) ?? x lg(2 ? x)( x ? 0)

2 14.【答案】 x ?

3 2 y ?1 2 5c 1 2 ,? b ) 3 3

【解析】 ,由题意得通径 AF2 ? b2 ,∴点 B 坐标为 B (?

? 2 2 1 b ? (? b 2 ) 2 ? 5c 2 ? 3 2 2 3 将点 B 坐标带入椭圆方程得 (? ) ? ? 1 ,又 b ? 1 ? c ,解得 ? 1 3 b2 ?c2 ? ? 3 ?

2 ∴椭圆方程为 x ?

3 2 y ? 1。 2

15.【答案】

3 4

16.【答案】 ? 0, ?2 ? .

om

【解析】 (1)∵|MN|=8, ∴a=4, 又∵|PM|=2|MF|,∴e=
x2 y2 ? ?1 16 12

1 2

∴c=2, b2=a2-c2=12,

∴椭圆的标准方程为

(2)①证明:当 AB 的斜率为 0 时,显然∠AFM=∠BFN=0,满足题意 当 AB 的斜率不为 0 时,设 AB 的方程为 x=my-8, 代入椭圆方程整理得(3m2+4)y-48my+144=0 48m 144 △=576(m?-4), yA+yB= , yAyB= . 3m 2 ? 4 3m 2 ? 4 yA yB yA yB y (myB ? 6) ? y B (my A ? 6) 2my A y B ? 6( y A ? y B ) ? ? ? ? A ? 则 k AF ? k BF ? , x A ? 2 x B ? 2 my A ? 6 myB ? 6 (my A ? 6)(myB ? 6) (my A ? 6)(myB ? 6)
144 48m 而 2myAyB-6(yA+yB)=2m· -6· =0 ∴kAF+kBF=0,从而∠AFM=∠BFN. 2 3m ? 4 3m 2 ? 4 综合可知:对于任意的割线 PAB,恒有∠AFM=∠BFN.

②方法一:S△ABF=S△PBF-S△PAF ?

1 72 m 2 ? 4 | PF | ? | y B ? y A |? , 2 3m 2 ? 4

即 S△ABF=

72 m 2 ? 4 3(m ? 4) ? 16
2

?

72 3 m2 ? 4 ? 16 m2 ? 4

?

72 2 3 ? 16

?3 3,

当且仅当 3 m 2 ? 4 ?

16 m2 ? 4

,即 m=±

2 21 时(此时适合于△>0 的条件)取到等号。 3

∴△ABF 面积的最大值是 3 3 . 方法二: | AB |? 1 ? m 2 | y1 ? y2 |? 1 ? m 2 ( y1 ? y2 ) 2 ? 4 y1 y2 ?
| 2?8| 1? m
S?
2

24 1 ? m2 ? m2 ? 4 3m2 ? 4

点 F 到直线 AB 的距离 d ? 19. 【答案】 (1)见解析 【解析】(1) 略 (2) y ? 77.37 ? 1.82x
6 6

?

6 1 ? m2

21 (2) 已计算得: x1 y1 ? x2 y2 ? ? ? x6 y6 ? 1481, x ? , y ? 71, ? xi2 ? 79, ? xi yi ? 1481 , 6 i ?1 i ?1

72 1 1 24 1 ? m 2 m 2 ? 4 6 72 m 2 ? 4 ? | AB | ?d ? ? ? ? 2 2 3m 2 ? 4 3m 2 ? 4 1 ? m2 3 m2 ? 4 ?

16 m2 ? 4

?

72 2 ? 3 ? 16

?3 3

21 ? 71 21 6 代入公式得: b ? ? ?1.82, a ? 71 ? ?? 1.82? ? ? 77.37 2 6 ? 21? 79 ? 6 ? ? ? ? 6? 1481? 6 ?
故线性回归方程为: y ? 77.37 ? 1.82x .
x2 y2 ? ?1 16 12

当且仅当 3 m 2 ? 4 ? 21.【答案】 (1)-1

16 m2 ? 4

,即 m=±

2 21 时取等号。 3

(2) t < - 1

(3)见解析

【解析】 (1) f ( x) ? x,? g ( x) ? ?x ? sin x ,? g ( x)在[?1,1] 上单调递减,? g ' ( x) ? ? ? cos x ? 0

? ? ? ? cos x 在[-1,1]上恒成立,? ? ? ?1 ,故 ? 的最大值为 ? 1 .
(2)由题意 [ g ( x)]max ? g (?1) ? ?? ? sin 1, ?只需 ? ? ? sin 1 ? t ? ?t ? 1,
2

20.【答案】 (1)

(2)①见解析 ② 3 3

,恒成立, ? (t ? 1)? ? t 2 ? sin ? 1 ? 0 (其中 ? ? ?1 )

om

令 h(? ) ? (t ? 1)? ? t 2 ? sin 1 ? 1 ? 0(? ? ?1) ,则 ?

?t ? 1 ? 0 ??t ? 1 ? t ? sin1 ? 1 ? 0
2



3? ? ??, ? ? ? 2? . ① 当 x ? ?1 时,不等式化为 1 ? x ? 1 ? x ? 3, 即 ?2 x ? 3 ,其解集为 ?
② 当 ?1 ? x ? 1 时,不等式化为 1 ? x ? x ? 1 ? 3 ,不可能成立.其解集为 ? .

?t ? ?1 ?? 2 , 而t 2 ? t ? sin 1 ? 0 恒成立,? t ? ?1 ?t ? t ? sin 1 ? 0
(3)由

ln x ln x 1 ? ln x ln x , , f 2 ( x) ? x 2 ? 2ex ? m, ? f1' ( x) ? ? ? x 2 ? 2ex ? m. 令 f1 ( x) ? x x2 f ( x) x
' 1



3 [ , ??) 当 x ? 1 时, 不等式化为 x ? 1 ? x ? 1 ? 3, 即 2 x ? 3 .其解集为 2

当 x ? (0, e)时, f ( x) ? 0, ? f1 ( x)在?0, e? 上为增函数; 当 x ? ?e,??? 时, f1' ( x) ? 0, ? f1 ( x)在?e,??? 为减函数;

3? ?3 ? ? ??, ? ? ? ? , ?? ? ? f ? x? ? 3 2? ?2 ?. 综上得 的解集为 ?
? ?2 x ? a ? 1, x ? a ? a ? 1, f ? x ? ? ? 1 ? a, a ? x ?1 ?2 x ? ? a ? 1? , x ? 1 ? 若 ? ?2 x ? a ? 1, x ? 1 ? a ? 1, f ? x ? ? ?a ? 1, 1? x ? a ? 2 x ? ? a ? 1? , x ? a ? f ? x?



a ? 1, f ? x ? ? 2 x ?1 ,

不满足题设条件.

[来源:学科网]

1 当 x ? e时, [ f 1 ( x)] max ? f 1 (e) ? , 而 f 2 ( x) ? ( x ? e) 2 ? m ? e 2 , e 1 1 ?当m ? e 2 ? ,即m ? e 2 ? 时, 方程无解; e e 1 1 2 2 当 m ? e ? , 即m ? e ? 时,方程有一个根; e e 1 1 2 2 当 m ? e ? 时, m ? e ? 时,方程有两个根. e e
22.【答案】 (1)略(2)30° 【解析】 ( 1 ) 证 明 : 因 MD 与 圆 O 相 交 于 点 T , 由 切 割 线 定 理 DN 2 ? DT ? DM , DN 2 ? DB ? DA , 得

的最小值为 1 ? a .

f ? x?
的最小值为 a ? 1



所以

?x ? R, f ? x ? ? 2 a ? ??, ?1? ? ?3, ???. . 的取值范围是

DT ? DM ? DB ? DA ,设半径 OB= r (r ? 0) ,因 BD=OB,且 BC=OC=
则 DB ? DA ? r ? 3r ? 3r 2 , DO ? DC ? 2r ?

r , 2

3r ? 3r 2 ,所以 DT ? DM ? DO ? DC. 2 (2)由(1) 可知, DT ? DM ? DO ? DC ,且 ?TDO ? ?CDM , 故 ?DTO ∽ ?DCM ,所以 ?DOT ? ?DMC ; 根据圆周角定理得, ?DOT ? 2?DMB ,则 ?BMC ? 30 ?.
23.【答案】6( 2 +1) 【解析】依题意 A(4, 0) , B(0,3) , AB ? 5 ,直线 AB :

x y ? ? 1 ,即 3x ? 4 y ? 12 ? 0 4 3

设点 P 的坐标为 (4cos ? ,3sin ? ) ,则点 P 到直线 AB 的距离是

d?

| 3 ? 4 cos ? ? 4 ? 3sin ? ? 12 | 12 ? ? | 2 sin(? ? ) ? 1| , 5 5 4

当 sin(? ?

?
4

) ? ?1 时, d max ?

12( 2 ? 1) , 5

∴ ?PAB 面积的最大值是 S ?

1 AB ? d max ? 6( 2 ? 1) 2

3? ?3 ? ? ? ??, ? ? ? ? , ?? ? 2? ?2 ? 24.【答案】 (1) ?
【解析】 (1)当 a ? ?1 时,

f ? x ? ? x ?1 ? x ? 1

。由

f ? x? ? 3



x ?1 ? x ?1 ? 3.

om

om


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