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福建省漳州市芗城中学高中数学 1.3.2“杨辉三角”与二项式系数的性质(2)教案 新人教A版选修2-3

福建省漳州市芗城中学高中数学 1.3.2“杨辉三角”与二项式系数 的性质(2)教案 新人教 A 版选修 2-3
课题: 第 课型: 新授课 编写时时间: 课时 年 月 日 总序第 个教案 年 月 日
王新敞
奎屯 新疆

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教学目标: 知识与技能:掌握二项式系数的四个性质。 过程与方法:培养观察发现,抽象概括及分析解决问题的能力。 情感、态度与价值观:要启发学生认真分 析书本图 1-5-1 提供的信息,从特殊 到一般,归纳猜想,合情推理得到二项式系数的性质再给出严格的证明。 教学重点:如何灵活运用展开式、通项公式、二项式系数的性质解题 教学用具:多媒体、实物投影仪 教学方法:培养观察发现,抽象概括及分析解决问题的能力。 教学过程: 2 5 例 4.在(x +3x+2) 的展开式中,求 x 的系数 解:∵ (x 2 ? 3x ? 2) 5 ? (x ? 1) 5 (x ? 2) 5 ∴在(x+1) 展开式中,常数项为 1,含 x 的项为 C1 5 ? 5x ,
5
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教学难点:如何灵活运 用展开式、通项公式、二项式系数的性质解题

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4 在(2+x) 展开式中,常数项为 2 =32,含 x 的项为 C1 5 2 x ? 80x
5 5

∴展开式中含 x 的项为 1 ? (80x ) ? 5x (32) ? 240x , ∴此 展开式中 x 的系数为 240 例 5.已知 ( x ?
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2 n ) 的展开式中,第五项与第三项的二项式系数之比为 14; x2
2 4 2

3,求展开式的常数项 解:依题意 Cn : Cn ? 14 : 3 ? 3Cn ? 14Cn
4

∴3n(n-1)(n-2)(n-3)/4!=4n(n-1)/2! ? n=10 设第 r+1 项为常数项,又 Tr ?1 ? C10 ( x )
r 10 ? r

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(?

2 r r ) ? (?2) r C10 x 2 x

10 ?5 r 2



10 ? 5r 2 ? 0 ? r ? 2 ,? T2?1 ? C10 (?2) 2 ? 180. 此所求常数项为 180 2
2 3 n

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例 6. 设 ?1 ? x ? ? ?1 ? x ? ? ?1 ? x ? ? ? ? ?1 ? x ? ? a0 ? a1x ? a2 x2 ? ?? an xn , 当 a0 ? a1 ? a2 ? ? ? an ? 254 时,求 n 的值 解:令 x ? 1 得:
1
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2(2n ? 1) ? 254 , a0 ? a1 ? a2 ??? an ? 2 ? 2 ? 2 ? ?? 2 ? 2 ?1
2 3 n

∴ 2n ? 128, n ? 7 ,
1 2 3 n 例 7.求证: Cn ? 2Cn ? 3Cn ? ?? nCn ? n ? 2n?1 . 1 2 3 n 证(法一)倒序相加:设 S ? Cn ? 2Cn ? 3Cn ? ?? nCn n n?1 n ?2 2 1 又∵ S ? nCn ? (n ?1)Cn ? (n ? 2)Cn ? ?? 2Cn ? Cn r n ?r 0 n 1 n?1 ∵ Cn ,∴ Cn ? Cn ? Cn , Cn ? Cn ,? ,
0 1 2 n 由 ①+②得: 2 S ? n Cn ? Cn ? Cn ? ? ? Cn ,

① ②

?

?

∴S ?

1 1 2 3 n ? n ? 2n ? n ? 2n ?1 ,即 Cn ? 2Cn ? 3Cn ? ?? nCn ? n ? 2n?1 . 2

(法二) :左边各组合数的通项为
r ? r? rCn

n! n ? (n ? 1)! r ?1 ? ? nCn ?1 , r !(n ? r )! (r ? 1)!(n ? r )!


1 2 3 n 0 1 2 n ?1 n ?1 Cn ? 2Cn ? 3Cn ? ? ? nCn ? n ? Cn . ?1 ? Cn ?1 ? Cn ? 2 ? ? ? Cn ?1 ? ? n ? 2

例 8.在 (2 x ? 3 y)10 的展开式中,求: ①二项式系数的和; ②各项系数的和; ③奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和; ④奇数项系数和与偶数项系数和; ⑤ x 的奇次项系数和与 x 的偶次项系数和.
r 分析:因为二项式系数特指组合数 C n ,故在①,③中只需求组合数的和 ,而与

二项式 2 x ? 3 y 中的系数无关. 解:设 (2x ? 3 y)10 ? a0 x10 ? a1 x 9 y ? a2 x 8 y 2 ? ? ? a10 y10 (*), 各项系数和即为 a 0 ? a1 ? ? ? a10 ,奇数项系数和为 a0 ? a2 ? ? ? a10 ,偶数项 系数和为 a1 ? a3 ? a5 ? ? ? a9 , x 的奇次项系数和为 a1 ? a3 ? a5 ? ? ? a9 , x 的 偶次项系数和 a0 ? a 2 ? a 4 ? ? ? a10 .

2

由于(*)是恒等式,故可用“赋值法”求出相关的系数和.
0 1 10 ①二项式系数和为 C10 ? C10 ? ? ? C10 ? 210 .

②令 x ? y ? 1 ,各项系 数和为 (2 ? 3)10 ? (?1)10 ? 1 .
0 2 10 ③奇数项的二项式系数和为 C10 ? C10 ? ? ? C10 ? 29 , 1 3 9 偶数项的二项式系数和为 C10 ? C10 ? ? ? C10 ? 29 .

④设 (2x ? 3 y)10 ? a0 x10 ? a1 x 9 y ? a2 x 8 y 2 ? ? ? a10 y10 , 令 x ? y ? 1 ,得到 a0 ? a1 ? a 2 ? ? ? a10 ? 1 ?(1), 令 x ? 1 , y ? ?1 (或 x ? ?1 , y ? 1 )得 a0 ? a1 ? a2 ? a3 ? ? ? a10 ? 510 ?(2) (1)+(2)得 2(a0 ? a2 ? ? ? a10 ) ? 1 ? 510 , ∴奇数项的系数和为 1 ? 5 ;
10

2

(1 )-(2)得 2(a1 ? a3 ? ? ? a9 ) ? 1 ? 510 , ∴偶数项的系数和为 1 ? 5 .
10

2

⑤ x 的奇次项系数和为 a1 ? a3 ? a5 ? ? ? a9 ? 1 ? 5 ;
10

2

10 x 的偶次项系数和为 a 0 ? a 2 ? a 4 ? ? ? a10 ? 1 ? 5 .

2

点评:要把 “二项式系数的和” 与 “各项系数和” , “奇(偶)数项系数和与奇(偶) 次项系数和”严格地区别开来,“赋值法”是求系数和的常规方法之一.

教学后记:

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