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高中数学第一章导数及其应用1.4.2微积分基本定理一学案新人教B版选修2

1.4.2 明目标、 知重点 数的积分. 微积分基本定理(一) 1.直观了解并掌握微积分基本定理的含义.2.会利用微积分基本定理求函 1.微积分基本定理 如果 F′(x)=f(x), 且 f(x)在[a, b]上可积, 则? 其中 F(x)叫做 f(x) af(x)dx=F(b)-F(a), 的一个原函数. 2.定积分和曲边梯形面积的关系 b 设曲边梯形在 x 轴上方的面积为 S 上,x 轴下方的面积为 S 下,则 (1)当曲边梯形的面积在 x 轴上方时,如图(1),则 ? af(x)dx=S 上. (2)当曲边梯形的面积在 x 轴下方时,如图(2),则 ? af(x)dx=-S 下. b b (3)当曲边梯形的面积在 x 轴上方、x 轴下方均存在时,如图(3),则 ? af(x)dx=S 上-S 下,若 b S 上=S 下,则 ? af(x)dx=0. b [情境导学] 从前面的学习中可以发现,虽然被积函数 f(x)=x 非常简单,但直接用定积分的定义计算 ? 0x dx 的值却比较麻烦.有没有更加简便、有效的方法求定积分?另外,我们已经学习了两 个重要的概念——导数和定积分, 这两个概念之间有没有内在的联系?我们能否利用这种联 系求定积分? 探究点一 微积分基本定理 思考 1 如下图,一个做变速直线运动的物体的运动规律是 y=y(t),并且 y(t)有连续的导 数,由导数的概念可知,它在任意时刻 t 的速度 v(t)=y′(t).设这个物体在时间段[a, 1 3 3 1 b]内的位移为 s,你能分别用 y(t),v(t)表示 s 吗? 答 由物体的运动规律是 y=y(t)知:s=y(b)-y(a), 通过求定积分的几何意义,可得 s=? av(t)dt=? ay′(t)dt, 所以 ? av(t)dt=? ay′(t)dt=y(b)-y(a).其中 v(t)=y′(t). 小结 (1)如果 f(x)在区间[a,b]上可积,且 F′(x)=f(x),则 ? af(x)dx=F(b)-F(a).这 个结论叫做微积分基本定理. (2)运用微积分基本定理求定积分 ? af(x)dx 很方便,其关键是准确写出满足 F′(x)=f(x)的 b b b b b b F(x). 思考 2 对一个连续函数 f(x)来说,是否存在唯一的 F(x),使 F′(x)=f(x)?若不唯一, 会影响微积分基本定理的唯一性吗? 答 不唯一,根据导数的性质,若 F′(x)=f(x),则对任意实数 c,[F(x)+c]′=F′(x) +c′=f(x). 不影响,因为 ? af(x)dx=[F(b)+c]-[F(a)+c]=F(b)-F(a). 例 1 计算下列定积分: 1 21 3 0 x (1)? 1 dx;(2)? 1(2x- 2)dx;(3)? -π (cos x-e )dx. b x x 1 解 (1)因为(ln x)′= , x 21 2 所以 ? 1 dx=ln x|1=ln 2-ln 1=ln 2. x 1 1 2 (2)因为(x )′=2x,( )′=- 2, x x 1 3 3 31 所以 ? 1(2x- 2)dx=? 12xdx-? 1 2dx x x 1 3 1 22 2 3 =x |1+ |1=(9-1)+( -1)= . x 3 3 (3)? -π (cos x-e )dx=? -π cos xdx-? -π e dx 0 x 0 0 x 2 1 0 x 0 =sin x|-π -e |-π = π -1. e 反思与感悟 求简单的定积分关键注意两点: (1)掌握基本函数的导数以及导数的运算法则,正确求解被积函数的原函数,当原函数不易 求时,可将被积函数适当变形后再求解; (2)精确定位积分区间,分清积分下限与积分上限. 跟踪训练 1 计算下列定积分: (1)?2(x-1) dx; 5 ?1 ? 2 ? ?02 ? sin 3 xcosx ? dx; (3)?2 1 ? 1 ? x x+ dx. 解 (1)因为? ? 1 x- ?6 5 6 ?′=(x-1)5, ? ? 6 所以?2(x-1) dx= ?1 1 x- 6 ?2 ?1 ? 1 1 1 6 6 = ×(2-1) - ×(1-1) = . 6 6 6 ?1 4 ? 3 (2)因为? sin x?′=sin xcos x, ?4 ? 所以 ? ? sin xcosx ? dx = 3 ? 2 0 ? 2 ?1sin4x?? 0 ? ?? ?4 ?? 1 1 1 4π 4 = sin - sin 0= . 4 2 4 4 (3)令 f(x)= 1 x x+ 1 1 = - , x x+1 取 F(x)=ln x-ln(x+1)=ln 1 1 则 F′(x)= - . x x+1 所以?2 x x+1 , ?1 x ln 1 x+ 1 1 dx=?2( - )dx ? x x+1 1 = x ?2 4 . 1=ln x+1? 3 ? 探究点二 分段函数的定积分 3 例 2 sin x,0≤x≤ , 2 ? ? 已知函数 f(x)=? π 1, ≤x≤2, 2 ? ?x-1,2≤x≤4. π 先画出函数图象,再求这个函数在 [0,4]上的定积分. 解 图象如图. ? 4 0 f ( x)dx ?? 2 sin dx ? ?? 1dx ? ? ( x ? 1)dx 0 2 2 ? 2 4 ? (? cos x) ? 2 0 1 2 ?x 2 ? ? ( x ? x) 2 2 4 2 π π =1+(2- )+(4-0)=7- . 2 2 反思与感悟 求分段函数的定积分, 分段标准是使每一段上的函数表达式确定, 按照原分段 函数的分段情况即可;对于含绝对值的函数,可转化为分段函数. 跟踪训练 2

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