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2017年春季学期新人教A版高中数学必修5学案 3.4 基本不等式(第2课时)


3.4 学习目标 基本不等式:(第 2 课时) 1.进一步掌握基本不等式(a>0,b>0). 2.会用基本不等式解决简单最大(小)值问题. 3.会应用基本不等式解决一些简单的实际问题. 合作学习 一、设计问题,创设情境 问题 1:用篱笆围成一个面积为 100m 的矩形菜园,问这个矩形的长、 宽各为多少时,所用篱 笆最短.最短的篱笆是多少? 2 问题 2:用长为 4a 的篱笆围成一个矩形菜园 ABCD,怎样设计矩形菜园的长和宽,才能使所 围成的菜园面积最大? 二、信息交流,揭示规律 师生交流 1:解答这两道题使用的是什么数学工具? 你是怎样想到的?这个式子使用时应该注意什么问题?你是直接使用的基本不等式吗? 我们前面学习了函数、数列等知识时,也用来解决过实际问题,用基本不等式解决实际问 题的步骤是什么呢? 三、运用规律,解决问题 【例题】用长为 4a 的篱笆围成一个“日”字形菜地,一块种萝卜,另一块种茄子,如何设 计才能使总面积最大? 师生交流 2:“日”字形菜地的总面积的表达式是什么? 可以设几个变量? 师生交流 3:为什么写不下去了呢? 那是不是不能用基本不等式求最值了呢? 那怎么求最值呢? 等号右边为什么不是定值呢? 有没有办法解决这个问题呢? 师生交流 4:应用基本不等式求最值时,应满足什么条件? 具体情形是怎样的?不满足定值时可采取什么办法?除取定值外,还必须满足什么条件? 四、变式训练,深化提高 变式训练 1:某工厂要建造一个长方体无盖贮水池,其容积为 4800m ,深为 3m.如果池底每 平方米的造价为 150 元,池壁每平方米的造价为 120 元,怎样设计水池能使总造价最低,最低总 造价是多少? 3 师生交流 5:这个水池总造价的表达式是什么?水深为 3m,容积为 4800m ,池底面积为多少? 池壁面积怎样用数学表达式表达? 3 变式训练 2:已知函数 f(x)=x+. (1)当 x<1 时,f(x)的最大值为 (2)当 x≥3 时,f(x)的最小值为 五、反思小结,观点提炼 1.应用题解题的基本步骤是什么? ; . 2.使用基本不等式时,应注意满足什么条件? 3.用基本不等式求最值有几种类型? 参 考 答 案 一、设计问题,创设情境 问题 1:解:设矩形菜园的长为 x m,宽为 y m,则 xy=100, 所以矩形的周长 l=2x+2y≥2=40. 当且仅当 x=y 时,等号成立. 又 xy=100,所以当 x=y=10 时,lmin=40m. 答:当矩形长、宽都为 10m 的正方形时,所用篱笆最短.最短的篱笆是 40m. 问题 2:方法一:设矩形一边 AB=x,则 BC=2a-x,且 x>0,2a-x>0, 所以矩形的面积为 S=x(2a-x)=-x +2ax=-(x-a) +a . 由此知当 x=a 时,S 最大为 a . 答:将菜地围成正方形时,面积最大为 a . 方法二:由方法一得出 S=x(2a-x), 因为=a, 所以 S≤a ,当且仅当 x=2a-x,即 x=a 时,Smax=a . 答:将菜地围成正方形时,面积最大为 a . 2 2 2 2 2 2 2 2 方法三:由方法一得出 S=x(2a-x)≤=a . 下同方法二. 方法四:设矩形的长为 x,宽为 y(x>0,y>0), 则 2x+2y=4a,即 x+y=2a. 面积 S=xy≤=a , 当且仅当 x=y,又 x+y=2a,即 x=y=a 时,等号成立,Smax=a . 答:将菜地围成正方形时,面积最大为 a

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