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2018北师大版高中数学必修二学案:第一章 4.1 空间图形基本关系的认识 4.2 空间图形的公理(一)

数学 4. 1 空间图形基本关系的认识 空间图形的公理(一) 4. 2 学习目标 1.通过长方体这一常见的空间图形,体会点、直线、平面之间的位置关系.2.会 用符号表达点、线、面的位置关系.3.掌握空间图形的三个公理及其推论. 知识点一 空间图形的基本位置关系 对于长方体有 12 条棱和 6 个面. 思考 1 12 条棱中,棱与棱有几种位置关系? 思考 2 棱所在直线与面之间有几种位置关系? 思考 3 六个面之间有哪几种位置关系. 梳理 位置关系 点与直线的位 置关系 点与平面的位 点 A 在直线 a 外 点 B 在直线 a 上 点 A 在平面 α 内 图形表示 符号表示 A?a B∈a A∈α 数学 置关系 点 B 在平面 α 外 平行 B?α a∥b 直线与直线的 位置关系 相交 异面 线在面内 a 与 b 异面 直线与平面的 位置关系 线面相交 线面平行 平面与平面的 位置关系 异面直线 面面平行 面面相交 不同在____________________的两条直线,叫作异面直线 知识点二 空间图形的公理 思考 1 照相机支架只有三个脚支撑说明什么? 思考 2 一把直尺两端放在桌面上,直尺在桌面上吗? 思考 3 教室的墙面与地面有公共点,这些公共点有什么规律? 梳理 (1)空间图形的公理 内容 如果一条直线上的 ______在一个平面 内,那么这条直线上 __________都在这个 ________,________, 且______,________ ?l α 用来证明直 线在平面内 图形 符号 作用 公理 公理 1 数学 平面内(即直线在 ______内) 过______________ ________的三点,有 且只有一个平面(即 可以确定一个平面) 如果两个不重合的平 公理 3 面有一个公共点,那 么它们有且只有一条 __________________ ________,________ ?α∩β=l,且 P∈l A,B,C 三点不共线 ?存在唯一的 α 使 A, B,C∈α 公理 2 用来确定一 个平面 用来证明空 间的点共线 和线共点 (2)公理 2 的推论 推论 1:一条直线和直线外一点确定一个平面(图①). 推论 2:两条相交直线确定一个平面(图②). 推论 3:两条平行直线确定一个平面(图③). 类型一 文字语言、图形语言、符号语言的相互转化 例 1 根据图形用符号表示下列点、直线、平面之间的关系. (1)点 P 与直线 AB; (2)点 C 与直线 AB; (3)点 M 与平面 AC; (4)点 A1 与平面 AC; (5)直线 AB 与直线 BC; 数学 (6)直线 AB 与平面 AC; (7)平面 A1B 与平面 AC. 反思与感悟 (1)用文字语言、符号语言表示一个图形时,首先仔细观察图形有几个平面、 几条直线且相互之间的位置关系如何,试着用文字语言表示,再用符号语言表示. (2)根据符号语言或文字语言画相应的图形时,要注意实线和虚线的区别. 跟踪训练 1 用符号语言表示下列语句,并画成图形. (1)直线 l 经过平面 α 内两点 A,B; (2)直线 l 在平面 α 外,且过平面 α 内一点 P; (3)直线 l 既在平面 α 内,又在平面 β 内; (4)直线 l 是平面 α 与 β 的交线,平面 α 内有一条直线 m 与 l 平行. 类型二 平面的基本性质的应用 命题角度1 点线共面问题 例 2 如图,已知:a α,b α,a∩b=A,P∈b,PQ∥a,求证:PQ α. 引申探究 将本例中的两条平行线改为三条, 即求证: 和同一条直线相交的三条平行直线一定在同一平 面内. 数学 反思与感悟 在证明多线共面时,可用下面的两种方法来证明: (1)纳入法:先由部分直线确定一个平面,再证明其他直线在这个平面内. (2)重合法:先说明一些直线在一个平面内,另一些直线也在另一个平面内,再证明两个平 面重合. 跟踪训练 2 已知:如图所示,l1∩l2=A,l2∩l3=B,l1∩l3=C.求证:直线 l1,l2,l3 在同一 平面内. 命题角度2 点共线、线共点问题 例 3 如图所示, 在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中, E 为 AB 的中点, F 为 AA1 的中点. 求证: CE、D1F,DA 三线交于一点. 反思与感悟 (1)点共线:证明多点共线通常利用公理 3,即两相交平面交线的唯一性,通 过证明点分别在两个平面内,证明点在相交平面的交线上,也可选择其中两点确定一条直 线,然后证明其他点也在其上. (2)三线共点: 证明三线共点问题可把其中一条作为分别过其余两条直线的两个平面的交线, 然后再证两条直线的交点在此直线上,此外还可先将其中一条直线看作某两个平面的交线, 证明该交线与另两条直线分别交于两点,再证点重合,从而得三线共点. 数学 跟踪训练 3 已知△ABC 在平面 α 外, 其三边所在的直线满足 AB∩α=P, BC∩α=Q, AC∩α =R,如图所示,求证:P,Q,R 三点共线. 1.用符号表示“点 A 在直线 l 上,l 在平面 α 外”,正确的是( A.A∈l,l?α C.A l,l?α B.A∈l,l D.A l,l α α ) 2.满足下列条件,平面 α∩平面 β=AB,直线 a α,直线 b β 且 a∥AB,b∥AB 的图形 是( ) 3.下列推理错误的是( ) A.A∈l,A∈α,B∈l,B∈α?l α B.A∈α,A∈β,B∈α,B∈β?α∩β=AB C.l α,A∈l?A?α D.A,B,C∈α,A,B,C∈β,且 A,B,C 不共线?α 与 β 重合 4.如图,α∩β=l,A,B∈α,C∈β,且 C?l,直线 AB∩l=M,过 A,B,C 三点的平面记 作 γ,则 γ 与 β 的交线必通过( ) 数学 A.点

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