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江苏专用2018版高考数学大一轮复习第十章计数原理10.1分类计数原理与分步计数原理教师用书理


第十章 计数原理 10.1 分类计数原理与分步计数原理教师用书 理 苏教版

1.分类计数原理与分步计数原理 原理 分类计数原理 异同点 如果完成一件事,有 n 类方式,在第 如果完成一件事, 需要分成 n 个步骤, 1 类方式中有 m1 种不同的方法,在第 做第 1 步有 m1 种不同的方法,做第 2 2 类方式中有 m2 种不同的方法,?? 定义 在第 n 类方式中有 mn 种不同的方法, 有 mn 种不同的方法,那么完成这件事 那么完成这件事共有 N=m1+m2+? 共有 N=m1×m2×?×mn 种不同的方法 +mn 种不同的方法 各种方法相互独立,用其中任何一种 区别 方法都可以完成这件事 【思考辨析】 判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)在分类计数原理中,两类不同方案中的方法可以相同.( × ) 完成才能做完这件事 各个步骤相互依存,只有各个步骤都 步有 m2 种不同的方法,??做第 n 步 分步计数原理

(2)在分类计数原理中,每类方案中的方法都能直接完成这件事.( √ ) (3)在分步计数原理中,事情是分步完成的,其中任何一个单独的步骤都不能完成这件事, 只有每个步骤都完成后,这件事情才算完成.( √ ) (4)如果完成一件事情有 n 个不同步骤, 在每一步中都有若干种不同的方法 mi(i=1,2,3, ?,

n),那么完成这件事共有 m1m2m3?mn 种方法.( √ )
(5)在分步计数原理中,每个步骤中完成这个步骤的方法是各不相同的.( √ )

1.用 0,1,?,9 十个数字,可以组成有重复数字的三位数的个数为________.

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答案 252 解析 由分步计数原理知,用 0,1,?,9 十个数字组成三位数(可用重复数字)的个数为

9×10×10=900,组成没有重复数字的三位数的个数为 9×9×8=648,则组成有重复数字 的三位数的个数为 900-648=252. 2.(教材改编)已知集合 M={1,-2,3},N={-4,5,6,-7},从 M,N 这两个集合中各选 一个元素分别作为点的横坐标、纵坐标,则这样的坐标在直角坐标系中可表示第一、第二象 限内不同的点的个数是________. 答案 6 解析 分两步:第一步先确定横坐标,有 3 种情况,第二步再确定纵坐标,有 2 种情况,因 此第一、二象限内不同点的个数是 3×2=6. 3.满足 a,b∈{-1,0,1,2},且关于 x 的方程 ax +2x+b=0 有实数解的有序数对(a,b) 的个数为________. 答案 13 解析 当 a=0 时, 关于 x 的方程为 2x+b=0, 此时有序数对(0, -1), (0,0), (0,1), (0,2) 均满足要求;当 a≠0 时,Δ =4-4ab≥0,ab≤1,此时满足要求的有序数对为(-1,-1), (-1,0),(-1,1),(-1,2),(1,-1),(1,0),(1,1),(2,-1),(2,0).综上,满足要 求的有序数对共有 13 个. 4.从 0,2 中选一个数字,从 1,3,5 中选两个数字,组成无重复数字的三位数,其中奇数的 个数为________. 答案 18 解析 分两类情况讨论:第 1 类,奇偶奇,个位有 3 种选择,十位有 2 种选择,百位有 2 种选择,共有 3×2×2=12(个)奇数;第 2 类,偶奇奇,个位有 3 种选择,十位有 2 种选择, 百位有 1 种选择,共有 3×2×1=6(个)奇数.根据分类计数原理,知共有 12+6=18(个) 奇数. 5.(教材改编)5 位同学报名参加两个课外活动小组,每位同学限报其中一个小组,则不同 的报名方法有________种. 答案 32 解析 每位同学都有 2 种报名方法,因此,可分五步安排 5 名同学报名,由分步计数原理, 知总的报名方法共 2×2×2×2×2=32(种).
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题型一 分类计数原理的应用 例 1 高三一班有学生 50 人,其中男生 30 人,女生 20 人;高三二班有学生 60 人,其中男 生 30 人,女生 30 人;高三三班有学生 55 人,其中男生 35 人,女生 20 人. (1)从高三一班或二班或三班中选一名学生任学生会主席,有多少种不同的选法? (2)从高三一班、二班男生中或从高三三班女生中选一名学生任学生会体育部长,有多少种 不同的选法? 解 (1)完成这件事有三类方法: 第一类,从高三一班任选一名学生共有 50 种选法; 第二类,从高三二班任选一名学生共有 60 种选法; 第三类,从高三三班任选一名学生共有 55 种选法. 根据分类计数原理,任选一名学生任学生会主席共有 50+60+55=165(种)不同的选法. (2)完成这件事有三类方法: 第一类,从高三一班男生中任选一名共有 30 种选法; 第二类,从高三二班男生中任选一名共有 30 种选法; 第三类,从高三三班女生中任选一名共有 20 种选法. 根据分类计数原理,共有 30+30+20=80(种)不同的选法. 思维升华 分类标准是运用分类计数原理的难点所在, 重点在于抓住题目中的关键词或关键 元素、关键位置.首先根据题目特点恰当选择一个分类标准;其次分类时应注意完成这件事 情的任何一种方法必须属于某一类. (2016·全国丙卷改编)定义“规范 01 数列”{an}如下: {an}共有 2m 项, 其中 m 项为 0,m 项为 1,且对任意 k≤2m,a1,a2,?,ak 中 0 的个数不少于 1 的个数.若 m=4, 则不同的“规范 01 数列”共有________个. 答案 14 解析 第一位为 0,最后一位为 1,中间 3 个 0,3 个 1,3 个 1 在一起时为 000111,001110; 只有 2 个 1 相邻时,共 A4个,其中 110100,110010,110001,101100 不符合题意;三个 1 都不 在一起时有 C4个,共 2+8+4=14(个). 题型二 分步计数原理的应用
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3 2

例2

(1)(2016·全国甲卷改编)如图,小明从街道的 E 处出发,先到 F 处与小红会合,再

一起到位于 G 处的老年公寓参加志愿者活动, 则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为 ________.

(2) 有六名同学报名参加三个智力项目,每项限报一人,且每人至多参加一项,则共有 ________种不同的报名方法. 答案 (1)18 (2)120 解析 (1)从 E 点到 F 点的最短路径有 6 种,从 F 点到 G 点的最短路径有 3 种,所以从 E 点 到 G 点的最短路径为 6×3=18(种). (2)每项限报一人,且每人至多参加一项,因此可由项目选人,第一个项目有 6 种选法,第 二个项目有 5 种选法,第三个项目有 4 种选法,根据分步计数原理,可得不同的报名方法共 有 6×5×4=120(种). 引申探究 1. 本例(2)中, 若将条件“每项限报一人, 且每人至多参加一项”改为“每人恰好参加一项, 每项人数不限”,则有多少种不同的报名方法? 解 每人都可以从这三个比赛项目中选报一项, 各有 3 种不同的报名方法, 根据分步计数原 理,可得不同的报名方法共有 3 =729(种). 2.本例(2)中,若将条件“每项限报一人,且每人至多参加一项”改为“每项限报一人,但 每人参加的项目不限”,则有多少种不同的报名方法? 解 每人参加的项目不限, 因此每一个项目都可以从这六人中选出一人参赛, 根据分步计数 原理,可得不同的报名方法共有 6 =216(种). 思维升华 (1)利用分步计数原理解决问题要按事件发生的过程合理分步,即分步是有先后 顺序的, 并且分步必须满足: 完成一件事的各个步骤是相互依存的, 只有各个步骤都完成了, 才算完成这件事. (2)分步必须满足两个条件:一是步骤互相独立,互不干扰;二是步与步确保连续,逐步完 成. (1)(2016·无锡模拟)用 0,1,2,3,4,5 可组成无重复数字的三位数的个数为 ________.
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(2)(2017·徐州质检)五名学生报名参加四项体育比赛,每人限报一项,则不同的报名方法 的种数为________.五名学生争夺四项比赛的冠军(冠军不并列),则获得冠军的可能性有 ________种. 答案 (1)100 (2)4
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解析 (1)可分三步给百、十、个位放数字,第一步:百位数字有 5 种放法;第二步:十位 数字有 5 种放法; 第三步: 个位数字有 4 种放法, 根据分步计数原理, 三位数的个数为 5×5×4 =100. (2)五名学生参加四项体育比赛,每人限报一项,可逐个学生落实,每个学生有 4 种报名方 法,共有 4 种不同的报名方法.五名学生争夺四项比赛的冠军,可对 4 个冠军逐一落实, 每个冠军有 5 种获得的可能性,共有 5 种获得冠军的可能性. 题型三 两个计数原理的综合应用 例 3 (1)如图,矩形的对角线把矩形分成 A,B,C,D 四部分,现用 5 种不同颜色给四部分 涂色, 每部分涂 1 种颜色, 要求共边的两部分颜色互异, 则共有________种不同的涂色方法.
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(2)如果一条直线与一个平面垂直,那么称此直线与平面构成一个“正交线面对”.在一个 正方体中,由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“正交线面对”的个数是 ________. 答案 (1)260 (2)36 解析 (1)区域 A 有 5 处涂色方法;区域 B 有 4 种涂色方法;区域 C 的涂色方法可分 2 类: 若 C 与 A 涂同色, 区域 D 有 4 种涂色方法; 若 C 与 A 涂不同色, 此时区域 C 有 3 种涂色方法, 区域 D 也有 3 种涂色方法.所以共有 5×4×4+5×4×3×3=260(种)涂色方法. (2)第 1 类, 对于每一条棱, 都可以与两个侧面均成“正交线面对”, 这样的“正交线面对” 有 2×12=24(个); 第 2 类, 对于每一条面对角线, 都可以与一个对角面构成“正交线面对”, 这样的“正交线面对”有 12 个.所以正方体中“正交线面对”共有 24+12=36(个). 思维升华 利用两个计数原理解决应用问题的一般思路 (1)弄清完成一件事是做什么. (2)确定是先分类后分步,还是先分步后分类. (3)弄清分步、分类的标准是什么.
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(4)利用两个计数原理求解. 如图,用 4 种不同的颜色对图中 5 个区域涂色(4 种颜色全部使用),要求每个 区域涂一种颜色,相邻的区域不能涂相同的颜色,则不同的涂色种数为________.

答案 96 解析 按区域 1 与 3 是否同色分类: (1)区域 1 与 3 同色:先涂区域 1 与 3 有 4 种方法,再涂区域 2,4,5(还有 3 种颜色)有 A3种 方法.∴区域 1 与 3 涂同色,共有 4A3=24(种)方法. (2)区域 1 与 3 不同色:先涂区域 1 与 3 有 A4种方法,第二步涂区域 2 有 2 种涂色方法,第 三步涂区域 4 只有一种方法, 第四步涂区域 5 有 3 种方法. ∴这时共有 A4×2×1×3=72(种) 方法. 故由分类计数原理,不同的涂色种数为 24+72=96.
2 2 3 3

11.利用两个基本原理解决计数问题

典例 (1)把 3 封信投到 4 个信箱,所有可能的投法共有________种. (2)某人从甲地到乙地,可以乘火车,也可以坐轮船,在这一天的不同时间里,火车有 4 次, 轮船有 3 次,问此人的走法可有________种. 错解展示 解析 (1)因为每个信箱有三种投信方法,共 4 个信箱, 所以共有 3×3×3×3=3 (种)投法. (2)乘火车有 4 种方法,坐轮船有 3 种方法, 共有 3×4=12(种)方法. 答案 (1)3 现场纠错 解析 (1)第 1 封信投到信箱中有 4 种投法;第 2 封信投到信箱中也有 4 种投法;第 3 封信 投到信箱中也有 4 种投法.只要把这 3 封信投完,就做完了这件事情,由分步乘法计数原理
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4 4

(2)12

可得共有 4 种方法. (2)因为某人从甲地到乙地,乘火车的走法有 4 种,坐轮船的走法有 3 种,每一种方法都能 从甲地到乙地,根据分类加法计数原理,可得此人的走法共有 4+3=7(种). 答案 (1)4
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3

(2)7

纠错心得 (1)应用计数原理解题首先要搞清是分类还是分步. (2)把握完成一件事情的标准,如典例(1)没有考虑每封信只能投在一个信箱中,导致错误.

1.(2016·镇江模拟)甲、乙、丙三位志愿者安排在周一至周五参加某项志愿者活动,要求 每人参加一天且每天至多安排一人, 并要求甲安排在另外两位前面, 则不同的安排方案共有 ________种. 答案 20 解析 可将安排方案分为三类:①甲排在周一,共有 A4种排法;②甲排在周二,共有 A3种排 法;③甲排在周三,共有 A2种排法,故不同的安排方案共有 A4+A3+A2=20(种). 2.小明有 4 枚完全相同的硬币,每个硬币都分正反两面.他想把 4 个硬币摆成一摞,且满 足相邻两枚硬币的正面与正面不相对,则不同的摆法有________种. 答案 5 解析 记反面为 1,正面为 2,则正反依次相对有 12121212,21212121 两种;有两枚反面相 对有 21121212,21211212,21212112 三种,共 5 种摆法. 3.将 2 名教师,4 名学生分成 2 个小组,分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动,每个 小组由 1 名教师和 2 名学生组成,则不同的安排方案共有________种. 答案 12 解析 第一步,选派一名教师到甲地,另一名到乙地,共有 C2=2(种)选派方法; 第二步,选派两名学生到甲地,另外两名到乙地,有 C4=6(种)选派方法. 由分步计数原理,不同的选派方案共有 2×6=12(种). 4.(2015·四川改编)用数字 0,1,2,3,4,5 组成没有重复数字的五位数,其中比 40 000 大的 偶数共有________个. 答案 120 解析 由题意知,首位数字只能是 4,5,若万位是 5,则有 3×A4=72(个);若万位是 4,则
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3 2 1 2 2 2 2 2 2

有 2×A4=48(个),故比 40 000 大的偶数共有 72+48=120(个). 5.(2016·盐城模拟)在高校自主招生中,某学校获得 5 个推荐名额,其中清华大学 2 名, 北京大学 2 名,复旦大学 1 名,并且北京大学和清华大学都要求必须有男生参加,学校通过 选拔定下 3 男 2 女共 5 个推荐对象,则不同的推荐方法共有________种. 答案 24 解析 根据题意,分 2 种情况讨论: ①第一类三个男生每个大学各推荐一人,两名女生分别推荐北京大学和清华大学,共有 A3A2 =12(种)推荐方法; ②将三个男生分成两组分别推荐北京大学和清华大学, 其余 2 个女生从剩下的 2 个大学中选, 共有 C2C3A2=12(种)推荐方法. 故共有 12+12=24(种)推荐方法. 6.将字母 a,a,b,b,c,c 排成三行两列,要求每行的字母互不相同,每列的字母也互不 相同,则不同的排列方法共有________种. 答案 12 解析 先排第一列,由于每列的字母互不相同,因此共有 A3种不同排法.再排第二列,其中 第二列第一行的字母共有 2 种不同的排法,第二列第二、三行的字母只有 1 种排法.因此共 有 A3·2·1=12(种)不同的排列方法. 7.(2016·泰州模拟)在学校运动会百米决赛上,8 名男运动员参加 100 米决赛.其中甲、 乙、 丙三人必须在 1,2,3,4,5,6,7,8 八条跑道的奇数号跑道上, 则安排这 8 名运动员比赛的 方式共有________种. 答案 2 880 解析 分两步安排这 8 名运动员. 第一步:安排甲、乙、丙三人,共有 1,3,5,7 四条跑道可安排, ∴安排方式有 A4种. 第二步:安排另外 5 人,可在 2,4,6,8 及余下的一条奇数号跑道安排,∴安排方式有 A5= 120(种). ∴安排这 8 人的方式有 24×120=2 880(种). 8.如图所示,在 A,B 间有四个焊接点,若焊接点脱落,则可能导致电路不通,今发现 A,
5 3 3 3 1 2 2 3 2

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B 之间线路不通,则焊接点脱落的不同情况有________种.

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答案 13 解析 四个焊点共有 2 种情况,其中使线路通的情况有:1,4 都通,2 和 3 至少有一个通时 线路才通,共 3 种可能.故不通的情况有 2 -3=13(种)可能. 9.从 1,2,3,4,7,9 六个数中,任取两个数作为对数的底数和真数,则所有不同对数值的个 数为________. 答案 17 解析 当所取两个数中含有 1 时,1 只能作真数,对数值为 0,当所取两个数不含有 1 时, 可得到 A5=20(个)对数,但 log23=log49,log32=log94,log24=log39,log42=log93,综 上可知,共有 20+1-4=17(个)不同的对数值. 10.回文数是指从左到右与从右到左读都一样的正整数,如 22,121,3 443,94 249 等.显然 2 位回文数有 9 个: 11,22,33, ?, 99.3 位回文数有 90 个: 101,111,121, ?, 191,202, ?, 999.则 (1)4 位回文数有________个; (2)2n+1(n∈N )位回文数有________个. 答案 (1)90 (2)9×10
n
* 2 4 4

解析 (1)4 位回文数相当于填 4 个方格, 首尾相同, 且不为 0, 共 9 种填法, 中间两位一样, 有 10 种填法,共计 9×10=90(种)填法,即 4 位回文数有 90 个. (2)根据回文数的定义,此问题也可以转化成填方格.结合分步计数原理,知有 9×10 种填 法. 11.有一项活动需在 3 名老师,6 名男同学和 8 名女同学中选人参加. (1)若只需一人参加,有多少种不同选法? (2)若需一名老师,一名学生参加,有多少种不同选法? (3)若需老师,男同学,女同学各一人参加,有多少种不同选法? 解 (1)只需一人参加,可按老师,男同学,女同学分三类各自有 3,6,8 种方法,总方法数 为 3+6+8=17. (2)分两步,先选教师共 3 种选法,再选学生共 6+8=14(种)选法,由分步计数原理知,总 方法数为 3×14=42.
9
n

(3)教师,男同学,女同学各一人可分三步,每步方法依次为 3,6,8 种.由分步计数原理知, 总方法数为 3×6×8=144(种). 12.如图所示,将一个四棱锥的每一个顶点染上一种颜色,并使同一条棱上的两端异色,如 果只有 5 种颜色可供使用,求不同的染色方法种数.

解 方法一 设染色按 S-A-B-C-D 的顺序进行,对 S,A,B 染色,有 5×4×3=60(种) 染色方法. 由于 C 点的颜色可能与 A 同色或不同色,这影响到 D 点颜色的选取方法数,故分类讨论:

C 与 A 同色时(此时 C 对颜色的选取方法唯一),D 应与 A(C),S 不同色,有 3 种选择;C 与 A
不同色时, C 有 2 种可选择的颜色, D 也有 2 种颜色可供选择. 从而对 C、 D 染色有 1×3+2×2 =7(种)染色方法. 由分步计数原理,不同的染色方法种数为 60×7=420. 方法二 根据所用颜色种数分类,可分三类. 第一类:用 3 种颜色,此时 A 与 C,B 与 D 分别同色,问题相当于从 5 种颜色中选 3 种涂三 个点,共 A5=60(种)涂法; 第二类:用 4 种颜色,此时 A 与 C,B 与 D 中有且只有一组同色,涂法种数为 2A5=240; 第三类:用 5 种颜色,涂法种数共 A5=120(种). 综上可知,满足题意的染色方法种数为 60+240+120=420. *13.已知集合 M={-3,-2,-1,0,1,2},若 a,b,c∈M,则: (1)y=ax +bx+c 可以表示多少个不同的二次函数?其中偶函数有多少个? (2)y=ax +bx+c 可以表示多少个图象开口向上的二次函数? 解 (1)a 的取值有 5 种情况,b 的取值 6 种情况,c 的取值有 6 种情况,因此 y=ax +bx+
2 2 2 5 4 3

c 可以表示 5×6×6=180(个)不同的二次函数.若二次函数为偶函数,则 b=0,故有 5×6
=30(个). (2)y=ax +bx+c 的图象开口向上时,a 的取值有 2 种情况,b、c 的取值均有 6 种情况,因 此 y=ax +bx+c 可以表示 2×6×6=72(个)图象开口向上的二次函数.
2 2

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