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浙江专版2018高考数学一轮复习第8章平面解析几何热点探究训练5平面解析几何中的高考热点问题


热点探究训练(五)

平面解析几何中的高考热点问题

1.设 F1,F2 分别是椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0)的左、右焦点,M 是 C 上一点且 MF2 与 x 轴垂直,直线 MF1 与 C 的另一个交点为 N. 3 (1)若直线 MN 的斜率为 ,求 C 的离心率; 4 (2)若直线 MN 在 y 轴上的截距为 2,且|MN|=5|F1N|,求 a,b.

x2 y2 a b

b2 2 ? b? a 3 2 2 2 [解] (1)根据 c= a -b 及题设知 M?c, ?, = ,2b =3ac.2 分 ? a ? 2c 4
将 b =a -c 代入 2b =3ac,
2 2 2 2

c 1 c 解得 = , =-2(舍去). a 2 a
1 故 C 的离心率为 .5 分 2 (2)由题意,原点 O 为 F1F2 的中点,MF2∥y 轴, 所以直线 MF1 与 y 轴的交点 D(0,2)是线段 MF1 的中点, 故 =4,即 b =4a.① 由|MN|=5|F1N|得|DF1|=2|F1N|.8 分 设 N(x1,y1),由题意知 y1<0,则
? ?2?-c-x1?=c, ? ?-2y1=2, ?
2

b2 a

2

3 ? ?x1=- c, 2 即? ? ?y1=-1.

12 分

9c 1 代入 C 的方程,得 2+ 2=1.② 4a b 9?a -4a? 1 2 2 将①及 c= a -b 代入②得 + =1. 2 4a 4a 解得 a=7,b =4a=28,故 a=7,b=2 7.15 分 2.如图 5,已知椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0)的右焦点为 F(1,0),右顶点为 A,且|AF|= 1.
2 2

x2 y2 a b

1

图5 (1)求椭圆 C 的标准方程; (2)若动直线 l:y=kx+m 与椭圆 C 有且只有一个交点 P,且与直线 x=4 交于点 Q,问: → → 是否存在一个定点 M(t,0),使得MP·MQ=0.若存在,求出点 M 的坐标;若不存在,说明理 由. 【导学号:51062320】 [解] (1)由 c=1,a-c=1,得 a=2,∴b= 3, 故椭圆 C 的标准方程为 + =1.5 分 4 3 (2)由?
? ?y=kx+m, ?3x +4y =12, ?
2 2 2 2 2

x2 y2

消去 y 得(3+4k )x +8kmx+4m -12=0, ∴Δ =64k m -4(3+4k )(4m -12)=0, 即 m =3+4k .8 分 4km 4k 设 P(xP,yP),则 xP=- , 2=- 3+4k m
2 4k 3 ? 4k 3? yP=kxP+m=- +m= ,即 P?- , ?. 2 2 2 2 2 2

m

m

?

m

m?

∵M(t,0),Q(4,4k+m), → ? 4k 3? → ∴MP=?- -t, ?,MQ=(4-t,4k+m),12 分

?

m

m?

→ → ? 4k ? 3 4k 2 ∴MP·MQ =?- -t?·(4- t)+ ·(4k+ m)= t -4t+3+ (t- 1)= 0 恒成立,故

?

m

?

m

m

?t-1=0, ? ? 2 ?t -4t+3=0, ?

即 t=1.

∴存在点 M(1,0)符合题意.15 分 3.如图 7,已知抛物线 C:x =4y,过点 M(0,2)任作一直线与 C 相交于 A,B 两点,过 点 B 作 y 轴的平行线与直线 AO 相交于点 D(O 为坐标原点).
2

图7 (1)证明:动点 D 在定直线上; (2)作 C 的任意一条切线 l(不含 x 轴),与直线 y=2 相交于点 N1,与(1)中的定直线相
2

交于点 N2,证明:|MN2| -|MN1| 为定值,并求此定值. [解] (1)证明:依题意可设 AB 方程为 y=kx+2,代入 x =4y,得 x =4(kx+2),即
2 2

2

2

x2-4kx-8=0.
设 A(x1,y1),B(x2,y2),则有 x1x2=-8. 直线 AO 的方程为 y= x;BD 的方程为 x=x2.2 分

y1 x1

x=x2, ? ? 解得交点 D 的坐标为? y1x2 y= , ? x1 ?
注意到 x1x2=-8 及 x1=4y1, 则有 y=
2

y1x1x2 -8y1 = =-2. x2 4y1 1

因此 D 点在定直线 y=-2 上(x≠0).5 分 (2)依题设,切线 l 的斜率存在且不等于 0,设切线 l 的方程为 y=ax+b(a≠0),代入

x2=4y 得 x2=4(ax+b),
即 x -4ax-4b=0.8 分 由 Δ =0 得(4a) +16b=0,化简整理得 b=-a . 故切线 l 的方程可写为 y=ax-a .
2 2 2 2

?2 ? ? 2 ? 分别令 y=2,y=-2 得 N1,N2 的坐标为 N1? +a,2?,N2?- +a,-2?,10 分 ?a ? ? a ? ?2 ?2 2 ?2 ?2 2 2 则|MN2| -|MN1| =? -a? +4 -? +a? =8, ?a ? ?a ?
即|MN2| -|MN1| 为定值 8.15 分 4.已知椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0)的一个焦点与抛物线 y =-4x 的焦点相同,且椭圆 C 上一点与椭圆 C 的左、右焦点 F1,F2 构成的三角形的周长为 2 2+2. (1)求椭圆 C 的方程; (2)若直线 l:y=kx+m(k,m∈R)与椭圆 C 交于 A,B 两点,O 为坐标原点,△AOB 的重 → → 5 心 G 满足:F1G·F2G=- ,求实数 m 的取值范围. 9
2 2

x2 y2 a b

2

[解]

?c=1, (1)依题意得?2a+2c=2 2+2, ?a =b +c ,
2 2 2

? ?a =2, 即? 2 ?b =1, ?

2

∴椭圆 C 的方程为 +y =1.4 分 2 (2)设 A(x1,y1),B(x2,y2).
3

x2

2

联立得方程组?

?y=kx+m, ? ?x +2y -2=0, ?
2 2 2 2

消去 y 并整理,得(1+2k )x +4kmx+2m -2=0,则

2

2

2

? 4km ?x +x =1- , +2k ? 2m -2 ? ?x x =1+2k ,
1 2 2 2 1 2 2

Δ >0? 1+2k >m ?*?, ①6 分

设△AOB 的重心为 G(x,y), → → 5 4 2 2 由F1G·F2G=- ,可得 x +y = . 9 9 由重心公式可得 G?
2



?x1+x2,y1+y2?,代入②式, 3 ? ? 3 ?
2 2 2 2 2

整理可得(x1+x2) +(y1+y2) =4? (x1+x2) +[k(x1+x2)+2m] =4, ③8 分 ?1+2k ? 将①式代入③式并整理,得 m = ,代入(*)得 k≠0, 2 1+4k
2

?1+2k ? 4k 4 2 则m= =1+ .12 分 2 2=1+ 1+4k 1+4k 4 1 2+ 4

2

2

4

k

k

1 ∵k≠0,∴t= 2>0,

k

∴t +4t>0, ∴m >1, ∴m∈(-∞,-1)∪(1,+∞).15 分 5.已知椭圆 C:9x +y =m (m>0),直线 l 不过原点 O 且不平行于坐标轴,l 与 C 有两 个交点 A,B,线段 AB 的中点为 M. (1)证明:直线 OM 的斜率与 l 的斜率的乘积为定值;
2 2 2 2

2

? ? (2)若 l 过点? ,m?,延长线段 OM 与 C 交于点 P,四边形 OAPB 能否为平行四边形?若 ?3 ?
m
能,求此时 l 的斜率;若不能,说明理由. 【导学号:51062321】 [解] (1)证明:设直线 l:y=kx+b(k≠0,b≠0),A(x1,y1),B(x2,y2),M(xM,yM).1 分 将 y=kx+b 代入 9x +y =m ,得(k +9)x +2kbx+b -m =0,故 xM= 9b yM=kxM+b= 2 . k +9
2 2 2 2 2 2 2

x1+x2
2



-kb , k2+9

yM 9 于是直线 OM 的斜率 kOM= =- ,即 kOM·k=-9. xM k

4

所以直线 OM 的斜率与 l 的斜率的乘积为定值.6 分 (2)四边形 OAPB 能为平行四边形.

? ? 因为直线 l 过点? ,m?,所以 l 不过原点且与 C 有两个交点的充要条件是 k>0,k≠3. ?3 ?
m
9 由(1)得 OM 的方程为 y=- x.8 分

k

设点 P 的横坐标为 xP. 9 ? ?y=- x, k 由? ? ?9x2+y2=m2, ±km 即 xP= . 2 3 k +9

得 xP= 2 , 9k +81

2

k2m2

? ? 将点? ,m?的坐标代入直线 l 的方程得 b= ?3 ?
m
因此 xM=

m?3-k?
3



k?k-3?m .11 分 2 3?k +9?

四边形 OAPB 为平行四边形,当且仅当线段 AB 与线段 OP 互相平分,即 xP=2xM. ±km k?k-3?m 于是 =2× ,解得 k1=4- 7,k2=4+ 7. 2 2 3?k +9? 3 k +9 因为 ki>0,ki≠3,i=1,2,所以当直线 l 的斜率为 4- 7或 4+ 7时,四边形 OAPB 为 平行四边形.15 分 6.已知 A 是椭圆 E: + =1 的左顶点,斜率为 k(k>0)的直线交 E 于 A,M 两点,点 N 4 3 在 E 上,MA⊥NA. (1)当|AM|=|AN|时,求△AMN 的面积; (2)当 2|AM|=|AN|时,证明: 3<k<2. [解] (1)设 M(x1,y1),则由题意知 y1>0. π 由已知及椭圆的对称性知,直线 AM 的倾斜角为 . 4 又 A(-2,0),因此直线 AM 的方程为 y=x+2.2 分 将 x=y-2 代入 + =1 得 7y -12y=0. 4 3 12 12 解得 y=0 或 y= ,所以 y1= . 7 7 1 12 12 144 因此△AMN 的面积 S△AMN=2× × × = .5 分 2 7 7 49 (2)证明:设直线 AM 的方程为 y=k(x+2)(k>0),
5

x2 y2

x2 y2

2

代入 + =1 得(3+4k )x +16k x+16k -12=0.7 分 4 3 16k -12 2?3-4k ? 由 x1·(-2)= , 2 得 x1= 2 3+4k 3+4k 故|AM|=|x1+2| 1+k =
2 2 2

x2 y2

2

2

2

2

12 1+k 2 . 3+4k

2

1 由题意,设直线 AN 的方程为 y=- (x+2),

k

12k 1+k 故同理可得|AN|= .10 分 2 3k +4 2 k 由 2|AM|=|AN|得 , 2= 2 3+4k 3k +4 即 4k -6k +3k-8=0. 设 f(t)=4t -6t +3t-8, 则 k 是 f(t)的零点. f′(t)=12t -12t+3=3(2t-1) ≥0, 所以 f(t)在(0,+∞)单调递增.又 f( 3)=15 3-26<0,f(2)=6>0,因此 f(t)在(0, +∞)有唯一的零点,且零点 k 在( 3,2)内,所以 3<k<2.15 分
3 2 2 2 3 2

2

6


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