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江苏省扬州市2015—2016学年度高一第二学期期末调研测试数学试题

2015—2016 学年度第二学期高一数学期末试卷
2016.6 (满分 160 分,考试时间 120 分钟) 注意事项: 1. 答卷前,请考生务必将自己的学校、姓名、考试号等信息填写在答卷规定的地方. 2.试题答案均写在答卷相应位置,答在其它地方无效. 一、填空题(本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分,请将答案填写在答题卷相应的位置上) 1.函数 y ? ln( x ? 1) 的定义域是 2.已知 cos? = . . .

1 ,则 cos2? = 3

3.在 ?ABC 中,已知 b ? 2, c ? 1, B ? 45? ,则角 C ?

?x ? y ? 2 ? 4.已知变量 x , y 满足 ? x ? 0 ,则 z ? x ? y 的最小值为 ?y ? 0 ?
5.已知等比数列 ?an ? 的前 n 项和 Sn ? 3n ? a ,则 a ? .



6.已知正四棱锥的底面边长是 6 ,高为 7 ,则该正四棱锥的侧面积为 7.已知 a ? 0 ,b ? 0 ,且 a ? b ? 1 ,则
0 0 0



1 4 ? 的最小值为 a b
0



8. tan70 ? tan50 ? 3 tan70 tan50 ? 9.若函数 f ( x) ? x ?

. .

4 ,则不等式 4 ? f ( x) ? 5 的解集为 x

10.已知数列 ?an ? 的通项公式为 an ? n2 ? 2an(n ? N * ) ,且当 n ? 4 时, an ? a4 ,则实数 a 的 取值范围是 11.已知 ? ? (0, .

?
2

) ,则 sin ? ? 3 cos? 的取值范围为



12.已知 l , m, n 为两两不重合的直线, ? , ? , ? 为两两不重合的平面,给出下列四个命题: ①若 ? // ? , l ? ? ,则 l // ? ; ②若 ? ? ? , ? ? ? ,则 ? ? ? ; ③若 m ? ? , n ? ? , m // n ,则 m // ? ; ④若 m ? ? , n ? ? , m // ? , n // ? ,则 ? // ? . 其中命题正确的是 . (写出所有正确结论的序号)

13.设函数 f ( x) ? x | x ? a | ,若对于任意的 x1 , x2 ?[?2, ??), x1 ? x2 ,不等式 成立,则实数 a 的取值范围是 .
数学试题第 1 页(共 8 页)

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ?0恒 x1 ? x2

14 . 已 知 函 数 f ( x) ? e x , 对 于 实 数 m 、 n 、 p 有 f (m ? n) ? f (m) ? f (n) ,

f (m ? n ? p) ? f (m) ? f (n) ? f ( p) ,则 p 的最大值是



二、解答题(本大题共 6 道题,计 90 分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 15. (本小题满分 14 分) 已知等差数列 ?an ? 中, a3 ? 8 , a6 ? 17 . ⑴求 a1 , d ; ⑵设 bn ? an ? 2n?1 ,求数列 {bn } 的前 n 项和 Sn .

16. (本小题满分 14 分)

D 是 BC 的中点. 如图,在三棱柱 ABC ? A 1B 1C1 中,
⑴若 E 为 B1C1 的中点,求证: BE // 平面 AC1D ; ⑵若平面 B1BCC1 ? 平面 ABC ,且 AB ? AC , 求证:平面 AC1D ? 平面 B1BCC1 .

17. (本小题满分 14 分) 已知 0 ? ? ? ? ?

?
2

, tan ? ? 4 3 , cos(? ? ? ) ?

⑴求 sin 2? 的值; ⑵求 ? 的大小.

13 . 14

数学试题第 2 页(共 8 页)

18. (本小题满分 16 分) 已知 V ABC 的三个内角 A,B,C 所对的边分别是 a , b , c , B 是钝角,且 3a ? 2b sin A . ⑴求 B 的大小; ⑵若 V ABC 的面积为

15 3 ,且 b ? 7 ,求 a ? c 的值; 4

⑶若 b ? 6 ,求 V ABC 面积的最大值.

19. (本小题满分 16 分) 如图,是一块足球训练场地,其中球门 AB 宽 7 米, B 点位置的门柱距离边线 EF 的长为 21 米, 现在有一球员在该训练场地进行直线跑动中的射门训 练. 球员从离底线 AF 距离 x( x ? 10) 米, 离边线 EF 距 离 a(7 ? a ? 14) 米 的 C 处 开 始 跑 动 , 跑 动 线 路 为

CD(CD // EF ) ,设射门角度 ?ACB ? ? .
⑴若 a ? 14 , ①当球员离底线的距离 x ? 14 时,求 tan ? 的值; ②问球员离底线的距离为多少时,射门角度 ? 最大? ⑵若 tan ? ?

1 , 当 a 变化时,求 x 的取值范围. 3

数学试题第 3 页(共 8 页)

20. (本小题满分 16 分) 已知数列 {an } 满足 a1 ? 1, an?1 ? 2an ? 3(?1)n (n ? N * ) . ⑴若 bn ? a2 n ? 1 ,求证: bn?1 ? 4bn ; ⑵求数列 {an } 的通项公式; ⑶若 a1 ? 2a2 ? 3a3 ? L ? nan ? ? ? 2n 对一切正整数 n 恒成立,求实数 ? 的取值范围.

数学试题第 4 页(共 8 页)

2015—2016 学年度第二学期高一数学期末试卷 参 考 答 案
2016.6 一、填空题 1. (?1, ??) 6. 48 11. (1, 2] 二、解答题 15⑴由 ? 2. ? 7. 9 12. ①③

7 9

3.

π 6

4. ?2 9. {x |1 ? x ? 4} 14. ln

5. ?1 10. ( , )

8. ? 3 13. (??, ?4] ? {0}

7 9 2 2

4 3

?a3 ? a1 ? 2d ? 8 可解得: a1 ? 2 , d ? 3 . a ? a ? 5 d ? 17 1 ? 6


…………7 分 …………9 分

⑵由(1)可得 an ? 3n ? 1 ,所以 bn ? 3n ?1 ? 2n?1 所以 Sn ?

n[2 ? (3n ? 1)] 1 ? 2n 3n 2 ? n ? ? ? 2n ? 1 2 1? 2 2

…………14 分

16⑴在三棱柱 ABC ? A 1B 1C1 中,

D 是 BC 的中点, E 为 B1C1 的中点,
所以 BD //EC1 ,所以四边形 BDC1E 为平行四边形, 所以 BE // DC1 , 又 BE ? 平面 AC1D , DC1 ? 平面 AC1D 所以 BE // 平面 AC1D ; ⑵因为在 ?ABC 中, D 是 BC 的中点,且 AB ? AC , 所以 AD ? BC , 因为平面 B1BCC1 ? 平面 ABC , AD ? 平面 ABC , 平面 B1BCC1 ? 平面 ABC ? BC , 所以 AD ? 平面 B1BCC1 , 又 AD ? 平面 AC1D ,所以平面 AC1D ? 平面 B1BCC1 . …………11 分 …………14 分 …………7 分 …………4 分

数学试题第 5 页(共 8 页)

? sin ? ?4 3 ? ? 17⑴因为 ? cos ? ,且 0 ? ? ? , 2 ?sin 2 ? ? cos 2 ? ? 1 ?
? 4 3 sin ? ? ? ? 7 , 所以 ? ?cos ? ? 1 ? 7 ?
所以 sin 2? ? 2sin ? cos ? ? ⑵因为 0 ? ? ? ? ?

…………2 分

…………6 分

8 3 . 49

…………7 分

?
2

,所以 0 ? ? ? ? ?

?
2

,又因为 cos(? ? ? ) ?

13 , 14
…………10 分

所以 sin(? ? ? ) ?

3 3 , 14

所以 cos ? ? cos[? ? (? ? ? )]

? cos ? cos(? ? ? ) ? sin ? sin(? ? ? ) ?
因为 0 ? ? ?

?
2

1 2

…………12 分 …………14 分

,所以 β ?

π . 3

18⑴ Q 3a ? 2b sin A ? 3 sin A ? 2sin B sin A ? sin B ?

3 2
…………4 分

Q B 是钝角? B ?
⑵Q

2 ? 3

1 15 3 ? ac ? 15 ac sin B ? 2 4

Q b2 ? a 2 ? c 2 ? 2 ac co s ? B4 9 ? a ( ?c 2 ) ?a c
?a ? c ? 8
⑶ Q b ? a ? c ? 2ac cos B ?36 ? a ? c ? ac ? 2ac ? ac
2 2 2 2 2

…………10 分

? ac ? 12 ? S ?

1 3 ac sin B ? ac ? 3 3 2 4
…………16 分

(当且仅当 a ? c ? 2 3 时面积取最大值 3 3 )

数学试题第 6 页(共 8 页)

19:在 ?ACD 中,设 ?ACD ? ? , tan ? ?

AD AD ? , CD x BD BD ? 在 ?BCD 中,设 ?BCD ? ? , tan ? ? , CD x AD BD ? tan ?? ta ?n x 7 x x ? tan ? ? t a? n? (? ? ) ? 2 1? t a ? n t? a n 1 ? AD ? BD x ? AD ? BD x x

…………3 分

⑴当 a ? 14 时, AD ? 14, BD ? 7 , ①若 x ? 14 ,则 tan ? ? ②因为 f ( x ) ? x ?

14 ? 7 在 x ? 10 时单调递增, x 7x 7 7 35 所以 tan ? ? 2 , ? ? ? x ? 14 ? 7 x ? 14 ? 7 10 ? 14 ? 7 99 x 10 所以当 x ? 10 时射门角度 ? 最大;

7 ? 14 1 ? ; 14 ? 7 ?14 3
2

…………6 分

…………10 分

⑵ AD ? 28 ? a, BD ? 21 ? a

tan ? ?

7x 1 ? ,则 ? x 2 ? 21x ? a 2 ? 49a ? 28 ? 21 …………12 分 x ? (28 ? a)(21 ? a) 3
2
2

因为 7 ? a ? 14 ,所以 98 ? a ? 49a ? 28 ? 21 ? 294 , 则 98 ? ? x ? 21x ? 294 ,即 ?
2
2 ? ? x ? 21x ? 294 ? 0 ? x ? R ,所以 7 ? x ? 14 2 x ? 21 x ? 98 ? 0 ? 7 ? x ? 14 ? ?

又 x ? 10 ,所以 10 ? x ? 14 所以 x 的取值范围是 [10,14] . 答⑴①当球员离底线的距离 x ? 14 时, tan ? 的值为 …………15 分

②当球员离底线的距离为 10 时,射门角度 ? 最大; ⑵ tan ? ?

1 ; 3

1 ,则 x 的取值范围是 [10,14] . 3

…………16 分

数学试题第 7 页(共 8 页)

2n?1 20 ⑴ bn?1 ? a2n?2 ?1 ? 2a2n?1 ?( 3 ?1 ) ?1 ? 2a2n?1 ? 2 2n ? 4a2n ? ( 6 ?1 ) ? 2 ? 4a2n ? 4 ? 4bn

…………3 分

⑵ a2 ? 2a1 ?( 3 ?1 ) ? 5,b1 ? a2 ?1 ? 4 ,因为 bn?1 ? 4bn 所以

bn?1 ? 4 ,所以 {bn } 是等比数列,所以 bn ? 4n ? a2n ?1 bn

2n a2n ? 4n ? 1? 2 ? , 1 a2n ? 2a2n?1 ? 3 ? 22n ?1 , a2n?1 ? 22n?1 ?1
n ? ?2 ? 1,n为奇数 n 所以 an ? ? n ,即 an ? 2n ? (?1 ) 2 ? 1 ,n 为偶数 ? ?

…………8 分

n ⑶由(2) nan ? n ? 2n ? (?1 ) ? n ,所以

S n ? a1 ? 2a 2? 3 a 3 ? L ? nan ? (?1 1 2 ? ? 1 ) ? (n 2 ? 2 ? L 2?) n ? ? (1 ? 1 2? ?2 n 2 ?L ? n?
1 2
n

n

?( ? 2 n ?n ( 1)

)

2 ? ) ? ? ( 1 ? ? 2L ? 3 ?
n

n

?n ( 1)

)

令 S ? 1? 2 ? 2 ? 2 ? L ? n ? 2

则 2 S ? 1? 22 ? 2 ? 23 ? L ? (n ?1) ? 2n ? n ? 2n?1

? S ? 21 ? 2 2? L ? 2n ? n ? 2n ? 1 ?
?1 S ? (n ? 1 ? ) n2 ?

2 ? 2n ?1 1 ? n ? 2n ? , 1? 2
…………9 分

2
n ?1 2

n 为奇数时, T ? ?1 ? 2 ? 3 ? L ? (?1) n ? n ? ? n 为偶数时, T ? ?1 ? 2 ? 3 ? L ? (?1) n ? n ?
所以 n 为奇数时 S n ? S ? T ? (n ? 1) ? 2
n ?1

n 2

…………11 分

n ?1 3? n ? ? 2n 即 λ ? 2( n ? 1 ) ? 恒成立, 2 2 ? 2n 1 1 3? n 3? n 2 n ? 1) ? 2 n ? 1) ? 易证 ( 递增, n ? 1 时 ( 取最小值 ,所以 λ ? n n 2 2 2?2 2?2 n 4?n 2 n ? 1) ? , n 为偶数时, Sn ? S ? T ? (n ? 1) ? 2n ?1 ? 2 ? ? ? 2n 即 λ ? ( 2 2 ? 2n 11 11 4+n 4?n 2 n ? 1) ? 2 n ? 1) ? 易证 ( 递增, n ? 2 时 ( 取最小值 ,所以 λ ? ……15 分 n n 4 4 2?2 2?2 1 综上可得 λ ? . …………16 分 2 ?2?

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