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高中数学一轮复习专题学案——数列求和


25.数列求和 一、知识梳理: 求数列前 n 项和 S n 主要有以下几种方法: 1、公式法:直接应用等差或等比数列的求和公式,以及正整数的平方和、立方和求和公式,常用公式即:

(a1 ? a n )n n(n ? 1) 或 S n ? na1 ? ; d (等差数列的前项和) 2 2 ?na1 ( q ? 1) ? S n ? ? a1 (1 ? q n ) (等比数列的前 n 项和)。 ? 1 ? q ( q ? 1) ? S n ? 1 ? 3 ? 5 ? ? ? (2n ? 1) ? ; Sn ?
S n ? 2 ? 4 ? 6 ? ? ? 2n ?
; 2、倒序相加法:把数列正着写和倒着写再相加(即等差数列求和公式的推导过程的推广) 。 3、错位相减法:主要用于等差数列和等比数列对应项之积所得数列的求和,即等比数列求和公式推导过 程的推广。 4、分组转化法:把数列的每一项分成两项,使其转化为几个等差、等比数列,再求和。 5、裂项相消法:把数列的通项拆成两项之差求和,正负相消。 除了以上方法外,还有归纳猜想法、奇偶法、组合法、复数法等。 二、基础练习: 1.数列 ? an ? 前 n 项和为 S n , Sn ? 2n ? 3n ? 1 ,则 a4 ? a5 ? a6 ? ? ? a10 =
2

。 。 。

2.数列 1,

1 1 1 , ,? , ,? 的前 n 项和为 S n = 1? 2 1? 2 ? 3 1? 2 ??? n
2 n?1

3.数列 1,1 ? 2,1 ? 2 ? 4,?,1 ? 2 ? 2 ? ? ? 2

,? 的前 n 项和为 S n =
n ?1

4 . 数 列 ? an ? 前 n 项 和 为 S n , Sn ? 1 ? 5 ? 9 ? 13 ? 17 ? ? ? (?1) 为 。
x

(4n ? 3) , 则 S1 5 ? S 2 2? S 3 的 值 1

1 ,若 x1 ? x2 ? 1 ,则 f ( x1 ) ? f ( x2 ) = 4 ?2 1 2 n ?1 n 。 f ( ) ? f ( ) ??? f ( )? f ( ) = n n n n 6. 6 ? 66 ? 666 ? ? ? 66?6 = 。 ? ? ?
5.设函数 f ( x) ?
n

;又若 n ? N ,则

?

三、典型例题: 例 1.已知数列 1,3a,5a ,?, (2n ? 1)a
2 n ?1

(a ? 0) ,求前 n 项和。

?5n ? 1, (n ? 2k ? 1) ? 例 2.已知数列 an ? ? n (k ? N ? ) ,求数列 ?an ? 前 n 项和为 S n 。 ? 2 2 , ( n ? 2k ) ?

例 3.已知函数 y ? f ( x) 的图象经过坐标原点,其导函数为 f ' ( x) ? 6 x ? 2. 数列 ? an ? 前 n 项和为 S n ,点

(n, Sn )(n ? N ? ) 均在函数 y ? f ( x) 的图象上。 求 ?an ? 的通项公式; 设 bn ? (1) (2)
前 n 项和,求使得 Tn ?

3 , n 是数列 ?bn ? T an an ?1

m ? 对所有 n ? N 都成立的最小正整数 m 的值。 20

四、课后作业: 1.数列 9,99,999,? 前 n 项和为 2.数列 ? an ? 的通项公式为 an ?



,则该数列的前 99 项和为 。 n ? n ?1 1 3.已知数列 ? an ? 是等比数列, a2 ? 2, a5 ? ,则 a1a2 ? a2 a3 ? ? ? an an ?1 = 。 4 4.在 100 以内所有能被 3 整除但不能被 7 整除的正整数之和为 。 5.在数列 ? an ? 中, a1 ? ?60 ,且 an ?1 ? an ? 3 ,则这个数列的前 30 项的绝对值之和为 6. 100 ? 99 ? 98 ? 97 ? ? ? 2 ? 1 ?
2 2 2 2 2 2
2 n

1



7.已知数列 ? an ? 中, a1 ? 1, a ? an ?1 ? 1 ? 0 ,则此数列的前 2009 项之和为



。 。

a1 ? a2 ? ? ? an ,则数列 ?bn ? 前 n 项和为 n ? 9.已知数列 ?log 2 (an ? 1)? (n ? N ) ,且 a1 ? 3, a3 ? 9 。
8.数列 ? an ? 的通项 an ? 4n ? 1,令 bn ? (1)求 ? an ? 的通项公式; (2)比较 ?

?

? 1 ? 前 n 项和与 1 的大小。 ? an ?1 ? an ?

1 1 1 , ) 在 f ( x) ? x ? 2 的图象上,且 S1 ? 。 (1) Sn ?1 Sn 2 bn ? 2 ( n 求 ? an ? 的通项公式; (2) bn ? 21 ? ) an , f (n) ? 设 求 的最大值及相应的 n 的值; (3) n ? 2 当 (n ? 5)bn ?1
10.已知数列 ? an ? 的前 n 项和为 S n ,当 n ? 2 时,点 ( 时,设 Tn ? b2 ? b3 ? ? ? bn ?1 ,证明: Tn ? 1 。
2 2 2


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