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高中数学北师大版必修四课件:第一章 7 正切函数_图文

第一章 三角函数 §7 正切函数 学习目标 1.理解任意角的正切函数的定义. π 2.能画出y=tan x(x∈R,x≠2 +kπ,k∈Z)的图像. 3. 理解正切函数的定义域、值域、周期性、奇偶性,及其在区间 π π (- 2 ,2 )内的单调性. 4.正切函数诱导公式的推导及应用. 内容索引 问题导学 题型探究 当堂训练 问题导学 知识点一 正切函数的定义 思考1 b 设角α的终边与单位圆交于点P(a,b),那么 a 何时有意义? b 答案 当a≠0时, a 有意义. 答案 思考2 正切函数与正弦、余弦函数有怎样的关系? π sin α 答案 tan α=cos α (α∈R,α≠ 2+kπ,k∈Z). 答案 梳理 (1)任意角的正切函数 π 如果角 α 满足:α∈R,α≠2+kπ(k∈Z),那么,角 α 的终边与单位圆交于 b 点 P(a, b), 唯一确定比值 a , 我们把它叫作角 α 的正切函数, 记作 y= tan α , π 其中 α∈R,α≠2+kπ,k∈Z. (2)正切函数与正弦、余弦函数的关系 sin α π cos α (α∈R,α≠ +kπ,k∈Z). 根据定义知 tan α=______ 2 (3)正切值在各象限的符号 根据定义知,当角在第 一 和第 三 象限时,其正切函数值为正;当角在 第 二 和第 四 象限时,其值为负. 知识点二 正切线 思考 正切线是过单位圆上哪一点作出的? 答案 过单位圆与x轴的非负半轴的交点A(1,0). 答案 梳理 如图所示,线段 AT 为角α的正切线. 知识点三 正切函数的图像与性质 思考1 正切函数的定义域是什么? π 答案 {x|x∈R,x≠ 2 +kπ,k∈Z}. 答案 思考2 能否说正切函数在整个定义域内是增函数? 答案 不能.正切函数y=tan ? π π? ? x在每段区间 ?kπ- ,kπ+ ? ? (k∈Z)上 2 2? ? 是增函数,但不能说正切函数在其整个定义域内是增函数. 答案 梳理 解析式 y=tan x 图像 定义域 π {x|x∈R,x≠kπ+ 2 ,k∈Z} 值域 R 周期 奇偶性 最小正周期是π 奇 函数 ?kπ ? ? ? , 0 ? ?,k∈Z _______________ 2 ? ? 对称中心 单调性 ? ? π π ? 在开区间 ?- +kπ, +kπ? ? 2 2 ? ? (k∈Z)上是增加的 知识点四 正切函数的诱导公式 思考 π 前面我们学习过π±α,-α, ±α,2π±α等的正弦、余弦的诱导 2 公式,并总结出 “ 奇变偶不变,符号看象限 ” 的记忆口诀 .对正 切函数能适用吗? π sin α 答案 因为tan α=cos α (α≠kπ+ 2 ),所以口诀对正切函数依然适用. 答案 梳理 函数角 kπ+α 2π+α y=tan x tan α tan α 记忆口诀 -α π-α -tan α -tan α 函数名不变,符号看象限 π+α π 2+α π 2-α tan α -cot α cot α 函数名改变,符号看象限 题型探究 类型一 正切函数的概念 例1 解析 3 4 3 -5 若角 θ 的终边经过点 A(-5,m),且 tan θ=4,则 m= . 3 m 3 由正切函数的定义得, 4=4,解得 m=-5. -5 解析 答案 反思与感悟 b (1)解决本题的关键是熟记正切函数的定义,即tan α=a . (2)已知角终边上的一点M(a,b)(a≠0),求该角的正切函数值,或者已知 角α的正切值,求角α终边上一点的坐标,都应紧扣正切函数的定义求解, 在解题过程中,应注意分子、分母的位置. 跟踪训练1 已知点P(-2a,3a)(a≠0)是角θ终边上的一点,求tan θ的值. 解 3a 3 由于 a≠0,∴tan θ= =-2. -2a 解答 类型二 正切函数的图像及性质 例2 画出函数y=|tan x|的图像,并根据图像判断其单调区间、奇偶性、周期性. 解答 反思与感悟 (1)作出函数y=|f(x)|的图像一般利用图像变换方法,具体步骤是: ①保留函数y=f(x)图像在x轴上方的部分; ②将函数y=f(x)图像在x轴下方的部分沿x轴向上翻折. (2)若函数为周期函数,可先研究其一个周期上的图像,再利用周期性, 延拓到定义域上即可. 跟踪训练2 结果怎样? 解 将本例中的函数y=|tan x|改为y=tan|x|,回答同样的问题, 其图像如下: ? ?tan x?x≥0?, 由于 y=tan|x|=? ? ?tan?-x??x<0?. 由图像可知,函数y=tan|x|是偶函数, π π π 递增区间为[0,2),(kπ-2,kπ+2)(k 为正整数), π π π 递减区间为(kπ-2,kπ+2)(k 为负整数)和(-2,0),不是周期函数. 解答 类型三 正切函数诱导公式的应用 例3 求下列各式的值. (1)7cos 270°+3sin 270°+tan 765°; 解 原式=7cos(180°+90°)+3sin(180°+90°)+tan(2×360°+45°) =-7cos 90°-3sin 90°+tan 45°=0-3×1+1=-2. 解答 tan 225° +tan 750° (2) . tan?-30° ?-tan?-45° ? 解 tan?180° +45° ?+tan?2×360° +30° ? 原式= -tan 30° +tan 45° 3 tan 45° +tan 30° 1+ 3 = = 3 tan 45° -tan 30° 1- 3 =2+ 3. 解答 反思与感悟 (1)熟记诱导公式和特殊角的三角函数值是解决此类问题的基础和关键. (2)无条件求值,又称给角求

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