3986.net
小网站 大容量 大智慧
当前位置:首页 >> 调查/报告 >>

2014届高三数学一轮复习专讲专练(基础知识+小题全取+考点通关+课时检测):3.3三角函数图象和性质


[知识能否忆起]

正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质
[动漫演示更形象,见配套课件]

函数 图象

y=sin x

y=cos x

y=tan x

定义域

? ? ? ? ?

R

R

π xx∈R且x≠ + 2 kπ,k∈Z

函数 值域

y=sin x [-1,1]

y=cos x [-1,1]

y=tan x R
? ? ? ? k? ? , ? k? ? ? 2 2 ? ?

? ? ? ? 2k? ? , ? 2k? ? ? 2 2 ? ? [2kπ-π,2kπ]

单调 (k∈Z)上递增;


(k∈Z)上递增;

[2kπ,2kπ+π] ? 3? ? ? ? 2k? ? 2 , 2 ? 2k? ? (k∈Z)上递减 ? ?

(k∈Z)上递增

(k∈ - Z)上递减

函数

y=sin x

y=cos x

y=tan x

π +2kπ 2 x= (k∈Z)时,x= 2kπ (k∈Z)时,
最值 ymax=1; ymax=1;x=

π+2kπ (k∈Z)时, π - +2kπ 2 x= (k∈Z) ymin=-1
时,ymin=-1

函数 奇偶性 对称 中心

y=sin x 奇函数

y=cos x 偶函数 (k
?π ? ? +kπ,0? ?2 ?

y=tan x 奇函数
?kπ ? ? ,0? ?2 ? (k∈Z)

(kπ,0)
∈Z)

(k∈Z)

函数 对称轴 方程 周期

y=sin x

y=cos x

y=tan x

π x= +kπ 2 (k∈Z) x=kπ (k∈Z)
2π 2π π

[小题能否全取]
?π ? 1.函数 y=tan?4-x?的定义域是 ? ? ? ? ? ? ? π A.?x?x≠4 ,x∈R? ? ? ? ? ?

(

)

? ? ? π ?x?x≠- B. 4 ? ? ?

? ? ,x∈R? ? ? ? ? ,k∈Z,x∈R? ? ? ? ? ,k∈Z,x∈R? ? ?

? ? ? 3π ?x?x≠kπ- C. 4 ? ? ? ? ? ? 3π ?x?x≠kπ+ D. 4 ? ? ?

π π 3π 解析:∵x- ≠kπ+ ,∴x≠kπ+ ,k∈Z. 4 2 4
答案: D

2.(2012·惠州模拟)y=(sin x+cos x)2-1是(
A.最小正周期为 2π 的奇函数 B.最小正周期为 2π 的偶函数 C.最小正周期为 π 的奇函数 D.最小正周期为 π 的偶函数

)

2π 解析: y=(sin x+cos x) -1=sin 2x.T= =π. 2
2

∴y=(sin x+cos x)2-1 是最小正周期为 π 的奇 函数. 答案: C

3.函数y=|sin x|的一个单调增区间是
? π π? A.?-4,4 ? ? ? ? 3π? C.?π, 2 ? ? ? ?π 3π? B.?4, 4 ? ? ? ?3π ? D.? 2 ,2π? ? ?

(

)

解析:作出函数 y=|sin x|的图象观察可知,函数 y=|sin
? 3π? x|在?π, 2 ?上递增. ? ?

答案:C

? ? π? π? 4.比较大小,sin?- ?________sin?- ?. ? 18 ? ? 10?

解析:因为 y=sin x 故

? π ? π π ?- ,0?上为增函数且- >- , 在 2 18 10 ? ?

? ? π? π? sin?-18?>sin?-10?. ? ? ? ?

答案:>

? π? 5.(教材习题改编)y=2-3cos?x+4 ?的最大值为________. ? ?

此时 x=________.

解析: 当

? π? cos?x+4 ?=-1 ? ?

时, 函数

? π? y=2-3cos?x+4 ?取 ? ?

π 3 得最大值 5,此时 x+ =π+2kπ,从而 x= π+2kπ, 4 4 k∈Z.

3 答案:5 π+2kπ,k∈Z 4

1.求三角函数的单调区间时,应先把函数式化成y

=Asin(ωx+φ)(ω>0)的形式,再根据三角函数的单调
区间,求出x所在的区间.应特别注意,考虑问题应在 函数的定义域内.注意区分下列两种形式的函数单调 性的不同:
? ?π ? π? (1)y=sin?ωx-4 ?;(2)y=sin?4 -ωx?. ? ? ? ?

2.周期性是函数的整体性质,要求对于函数整个定 义域内的每一个x值都满足f(x+T)=f(x),其中T是不为零 的常数.如果只有个别的x值满足f(x+T)=f(x),或找到 哪怕只有一个x值不满足f(x+T)=f(x),都不能说T是函数 f(x)的周期.

[例 1]

(1)(2013· 湛江调研)函数 y=lg(sin x)+

1 cos x- 的定义域为________. 2 (2)函数 y=sin2x+sin x-1 的值域为

(

)

A.[-1,1]
? 5 ? C.?-4,1? ? ?

? 5 ? B.?-4,-1? ? ? ? 5? D.?-1,4? ? ?

?sin x>0, ? [自主解答] (1)要使函数有意义必须有? 1 ?cos x-2≥0, ? ?sin x>0, ? 即? 1 ?cos x≥2, ? ?2kπ<x<π+2kπ, ? 解得? π (k∈Z), π ?-3+2kπ≤x≤3+2kπ ?
π ∴2kπ<x≤ +2kπ,k∈Z, 3 ∴函数的定义域为
? ? ? π ?x?2kπ<x≤ 3 ? ? ? ? ? +2kπ,k∈Z?. ? ?

(2)y=sin2x+sin x-1,令sin x=t, 则有y=t2+t-1,t∈[-1,1],画出函数图 1 象如图所示,从图象可以看出,当t=- 2 及t=1时,函数取最值,代入y=t2+t-1
? 5 ? 可得y∈?-4,1?. ? ?

[答案]

? ? ? π ?x?2kπ<x≤ (1) 3 ? ? ?

? ? +2kπ,k∈Z? ? ?

(2)C

? π? 若本例(2)中x∈?0,2 ?,试求其值域. ? ?

解:令 t=sin x,则 t∈[0,1]. ∴y=t
2

? 1 ?2 5 +t-1=?t+2? - . 4 ? ?

∴y∈[-1,1]. ∴函数的值域为[-1,1].

1.求三角函数定义域实际上是解简单的三角不等 式,常借助三角函数线或三角函数图象来求解. 2.求解涉及三角函数的值域(最值)的题目一般常用

以下方法:
(1)利用sin x、cos x的值域; (2)形式复杂的函数应化为y=Asin(ωx+φ)+k的形

式逐步分析ωx+φ的范围,根据正弦函数单调性写出函
数的值域(如本例以题试法(2)); (3)换元法:把sin x或cos x看作一个整体,可化为求

函数在给定区间上的值域(最值)问题(如例1(2)).

1.(1)函数 y=

2+log 1 x+ tan x的定义域为________.
2

(2)(2012· 山西考前适应性训练)函数
? π? 在区间?0,2?上的值域为 ? ?

? π? f(x)=3sin?2x-6? ? ?

(
? 3 ? B.?-2,3? ? ? ? 3 3 ? ? ? D.?- ,3? 2 ? ?

)

? 3 3? A.?-2,2? ? ? ? 3 3 3 3? ? C.?- , ? 2 2 ? ? ?

解析:(1)要使函数有意义 1 ? ?2+log x≥0, 2 ? ?x>0, 则? ?tan x≥0, ? π ?x≠kπ+2 ,k∈Z ? 利用数轴可得 函数的定义域是
? ? ? π ?x?0<x< 2 ? ? ? ? ? ,或π≤x≤4?. ? ?

?0<x≤4, ? ?? π ?kπ≤x<kπ+2 ?k∈Z?. ?

(2) 当

? ? π? π? π ? π 5π? x ∈ ?0,2 ? 时 , 2x - ∈ ?-6 , 6 ? , sin ?2x-6 ? ∈ 6 ? ? ? ? ? ?

? 1 ? ?- ,1?, ? 2 ?



? ? π? ? 3 3sin ?2x-6 ? ∈ ?-2,3? , 即 此 时 函 数 ? ? ? ?

f(x) 的 值 域 是

? 3 ? ?- ,3?. ? 2 ?

? ? ? π ?x?0<x< 答案:(1) 2 ? ? ?

? ? ,或π≤x≤4? ? ?

(2)B

[例 2]

(2012· 华南师大附中模拟 )已知函数 y=

?π ? sin?3-2x?,求: ? ?

(1)函数的周期;
(2)求函数在[-π,0]上的单调递减区间.

[自主解答]

?π ? ? π? 由 y=sin?3-2x?可化为 y=-sin?2x-3 ?. ? ? ? ?

2π 2π (1)周期 T= = =π. ω 2 π π π (2)令 2kπ- ≤2x- ≤2kπ+ ,k∈Z, 2 3 2 π 5π 得 kπ- ≤x≤kπ+ ,k∈Z. 12 12 ?π ? 所以 x∈R 时,y=sin?3-2x?的减区间为 ? ? ? π 5π? ?kπ- ,kπ+ ?,k∈Z. 12 12? ? ?π ? ? -2x?的减区间为 从而 x∈[-π,0]时,y=sin 3 ? ? ? ? 7π? ? π ?-π,- ?,?- ,0?. 12 ? ? 12 ? ?

求三角函数的单调区间时应注意以下几点:
(1)形如y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的函数的单调 π 区间,基本思路是把ωx+φ看作是一个整体,由- + 2 π π 2kπ≤ωx+φ≤ +2kπ(k∈Z)求得函数的增区间,由 + 2 2 3π 2kπ≤ωx+φ≤ +2kπ(k∈Z)求得函数的减区间. 2

(2)形如 y=Asin(-ωx+φ)(A>0,ω>0)的函数,可先 利用诱导公式把 x 的系数变为正数,得到 y=-Asin(ωx π π -φ),由- +2kπ≤ωx-φ≤ +2kπ(k∈Z)得到函数的减 2 2 π 3π 区间,由 +2kπ≤ωx-φ≤ +2kπ(k∈Z)得到函数的增 2 2 区间.

(3)对于y=Acos(ωx+φ),y=Atan(ωx+φ)等,函 数的单调区间求法与y=Asin(ωx+φ)类似.

2.(1)函数y=|tan x|的增区间为________.
(2)已知函数 f(x)=sin x+ 3cos x,设
?π? ?π? =f?6?, c=f?3?, 则 ? ? ? ? ?π? a=f?7 ?,b ? ?

a, c 的大小关系是 b,

(

)

A.a<b<c C.b<a<c

B.c<a<b D.b<c<a

解析: (1)作出 y=|tan x|的图象, 观察图象可知, y=|tan x|
? π? 的增区间是?kπ,kπ+2 ?,k∈Z. ? ? ? π? (2)f(x)=sin x+ 3cos x=2sin ?x+3 ? ,因为函数 ? ?

f(x)在

? π? ?0, ?上单调递增,所以 6? ? ?π? π 2sin =f(0)<f?7?, 3 ? ?

?π? ?π? f?7 ?<f?6 ?,而 ? ? ? ?

?π? 2π c=f?3 ?=2sin = 3 ? ?

所以 c<a<b.
? π? 答案:(1)?kπ,kπ+2 ?,k∈Z ? ?

(2)B

[例 3]

(2013· 温州调研)已知函数

? 3π? f(x)=sin?2x+ 2 ? ? ?

(x∈R),给出下面四个命题: ①函数 f(x)的最小正周期为 π;②函数 f(x)是偶函数; π ③函数 f(x)的图象关于直线 x= 对称;④函数 f(x)在 4
? π? 区间?0,2 ?上是增函数.其中正确命题的个数是 ? ?

(

)

A.1 C.3
[自主解答] 函数

B.2 D.4
? 3π? f(x)=sin?2x+ 2 ?=-cos ? ?

2x,则其

最小正周期为 π,故①正确;易知函数 f(x)是偶函数,② 正确;由 f(x)=-cos 2x 的图象可知,函数 f(x)的图象不 π 关于直线 x= 对称,③错误;由 f(x)的图象易知函数 f(x) 4
? π? 在?0,2 ?上是增函数,故④正确.综上可知,选 ? ?

C.

[答案] C

1.三角函数的奇偶性的判断技巧

首先要对函数的解析式进行恒等变形,再根据定
义、诱导公式去判断所求三角函数的奇偶性;也可以

根据图像做判断 .

2.求三角函数周期的方法 (1)利用周期函数的定义.
(2)利用公式:y=Asin(ωx+φ)和y=Acos(ωx+φ)的最 2π π 小正周期为 ,y=tan(ωx+φ)的最小正周期为 . |ω| |ω|

(3)利用图象.

3.三角函数的对称性 正、余弦函数的图像既是中心对称图形,又是轴对 称图形.正切函数的图像只是中心对称图形,应熟记它 们的对称轴和对称中心,并注意数形结合思想的应 用.

3.(1)函数

? π? y=2sin?2x+2 ?是 ? ?

(

)

A.最小正周期为 π 的奇函数 B.最小正周期为 π 的偶函数 C.最小正周期为 2π 的奇函数 D.最小正周期为 2π 的偶函数 ? π? 解析: y=2sin?2x+2 ?=2cos 2x. ? ?
2π ∴T= =π,且为偶函数. 2

答案:B

(2)定义在R上的函数f(x)

既是偶函数又是周期函数,若 x,则

? π? f(x)的最小正周期是π,且当x∈?0,2 ?时,f(x)=sin ? ? ?5π? f? 3 ?的值为________. ? ?

?5π? ? π? ?π? π ? ?=f?- ?=f? ?=sin = 解析:f 3 3 ? ? ? 3? ?3 ?

3 . 2

3 答案: 2

含有参数的三角函数问题,一般属于逆向型思维问题,

难度相对较大一些.正确利用三角函数的性质求解此类问题,
是以熟练掌握三角函数的各条性质为前提的,解答时通常将方 程的思想与待定系数法相结合.下面就利用三角函数性质求解 参数问题进行策略性的分类解析.

1.根据三角函数的单调性求解参数
[典例 1] 已知函数
? π? f(x)=sin?ωx+3?(ω>0)的单调递 ? ?

? 5π π? 增 区 间 为 ?kπ-12,kπ+12? (k∈Z) , 单 调 递 减 区 间 为 ? ? ? π 7π? ?kπ+ ,kπ+ ?(k∈Z),则 12 12 ? ?

ω 的值为________.

[解析]

? 7π? ? 5π? 由题意,得?kπ+12 ?-?kπ-12 ?=π,即函数 ? ? ? ?

f(x)的周期为 π,则 ω=2.

[答案] 2

[题后悟道] 出方式, 如“函数 增”与“函数

解答此类问题时要注意单调区间的给
? 5π π? f(x)在?kπ-12,kπ+12?(k∈Z)上单调递 ? ?

? 5π π? f(x) 的 单 调 递 增 区 间 为 ?kπ-12,kπ+12? ? ?

(k∈Z)”,二者是不相同的.

?针对训练
1. (2013· 荆州模拟)若函数 y=2cos ωx
? 2π? 在区间?0, 3 ?上递 ? ?

减,且有最小值 1,则 ω 的值可以是
A.2 C.3 1 B. 2 1 D. 3

(

)

解析:由 y=2cos ωx 为 1,则有 即

? 2π? 在?0, 3 ?上是递减的,且有最小值 ? ? ? 2π? 2×cos?ω× 3 ?=1, ? ?

?2π? f? 3 ?=1,即 ? ?

?2π ? 1 cos? 3 ω?= ,检验各选项,得出 ? ? 2

B 项符合.

答案: B

2.根据三角函数的奇偶性求解参数
[典例 2] 已知 f(x)=cos?? 3x+φ??- 3sin( 3x+φ) ( )
? ?

为偶函数,则 φ 可以取的一个值为

π A. 6 π C.- 6

π B. 3 π D.- 3

[解析]
? 2cos?? ?

?1 f(x) = 2 ? cos? ?2 ?

? 3 ? 3x+φ?- sin? 3x+φ?? = 2 ?

? ? π? π?? 3x+φ?+ ?=2cos? 3x+?φ+ ??,由 f(x)为偶函数, 3? 3 ?? ? ?

π π 知 φ+ =kπ(k∈Z),即 φ=kπ- (k∈Z),由所给选项知 3 3 只有 D 适合.

[答案] D

[题后悟道]

注意根据三角函数的奇偶性求解参

π 数: 函数 y=Acos(ωx+φ)+B(A≠0)为奇函数?φ=kπ+ 2 (k∈Z)且 B=0,若其为偶函数?φ=kπ(k∈Z).

?针对训练

2.使 f(x)=sin(2x+y)+ 3cos(2x+y)为奇函数,且在
? π? ?0, ?上是减函数的 4? ?

y 的一个值是
5π B. 3 2π D. 3

(

)

π A. 3 4π C. 3

解 析 : ∵ f(x) = sin(2x + y) +
? π? 2sin?2x+y+3 ?为奇函数, ? ?

3 cos(2x + y) =

∴f(0)=0,即 sin y+ 3cos y=0,∴tan y=- 3,故排 除 A、C;又函数 满足.
? π? f(x)在?0,4?上是减函数,只有 ? ?

D 选项

答案: D

3.根据三角函数的周期性求解参数

三角函数的参数问题,还可利用三角函数的周期,
最值求解如本节以题试法3(2).就是利用周期求参数a, 解题时要注意x的系数ω是否规定了符号,若无符号规 定,利用周期公式时需加绝对值.

?针对训练 3.(2012· 遵义模拟)若函数f(x)=sin ax+cos ax(a>0)的最小 正周期为1,则它的图像的一个对称中心为
? π ? A.?-8,0? ? ? ? 1 ? C.?-8,0? ? ?

(

)

B.(0,0)
?1 ? D.?8,0? ? ? ? π? 2sin?ax+4 ?,又函数的最小正周期为 ? ?

解析:由条件得f(x)=

? π? 2π 1 ?2πx+ ? .将x=- 代 1,故 a =1,∴a=2π,故f(x)= 2sin 4? 8 ?

入得函数值为0. 答案:C

教师备选题(给有能力的学生加餐)
1.(2012· 湖南高考)函数 f(x)=sin 值域为
A.[-2,2] C.[-1,1]
? π? x-cos?x+6 ?的 ? ?

解题训练要高效 见“课时跟踪检 测(二十)”

(

)

B.[- 3, 3 ]
? D.?- ? ?

3 3? ? , ? 2 2?

3 1 解 析 : 因 为 f(x) = sin x - cos x + sin x = 3 2 2
? ? ? ? ? ? π? 3 1 ? sin x- cos x?= 3sin?x-6 ?,所以函数 f(x)的值域 2 2 ? ? ?

为[- 3, 3 ].

答案: B

2.(2012· 温州模拟)已知函数y=2sin(ωx+φ)(ω>0)为偶

函数(0<φ<π),其图象与直线y=2某两个交点的横坐
标分别为x1,x2,若|x2-x1|的最小值为π,则该函数 的一个递增区间可以是
? π π? A.?-2,-4 ? ? ? ? π? C.?0,2 ? ? ?

(
? π π? B.?-4,4 ? ? ? ?π 3π? D.?4, 4 ? ? ?

)

π 解析:由函数为偶函数知 φ= +kπ(k∈Z),又因为 2 π 0<φ<π 所以 φ= ,从而 y=2cos ωx.又由条件知函数的 2 最小正周期为 π,故 ω=2,因此 y=2cos 2x.经验证知 A 满足条件.

答案: A

3.设函数

? π? f(x)=sin(ωx+φ)?ω>0,|φ|<2 ?,给出以下四个论断: ? ?

①它的最小正周期为π;
π ②它的图象关于直线 x= 成轴对称图形; 12 ?π ? ③它的图象关于点?3,0?成中心对称图形; ? ?
? π ? ④在区间?-6,0?上是增函数. ? ?

以其中两个论断作为条件,另两个论断作为结论,写出你认 为正确的一个命题________(用序号表示即可).

答案:①②?③④(或①③?②④)

4.(2012· 深圳调研)已知向量a=(cos ωx, 3sin(π- ωx)),b=
? ?cos ? ?π ?? ωx,sin?2+ωx?? ? ??

,ω>0,函数f(x)=

2a· b+1的最小正周期为2.

(1)求ω的值;
? 1? (2)求函数f(x)在区间?0,2?上的取值范围. ? ?

解:(1)f(x)=2a· b+1
? =2?cos2ωx+ ? ?π ?? 3sin?π-ωx?· ?2 +ωx??+1 sin ? ?? ?π ? 3sin(π-ωx)sin?2 +ωx?+1 ? ?

=2cos2ωx+2

=cos 2ωx+2 3sin ωxcos ωx+2 =cos 2ωx+ 3sin 2ωx+2
?1 3 ? cos 2ωx+ sin =2 2 ?2 ? π? =2sin?2ωx+6 ?+2. ? ? ? 2ωx?+2 ?

2π π 因为函数f(x)的最小正周期为2,且ω>0,所以 =2,解得ω= . 2ω 2

? π? (2)由(1)得f(x)=2sin?πx+6 ?+2, ? ?

1 π π 2π 因为0≤x≤ ,所以 ≤πx+ ≤ , 2 6 6 3
? π? 1 所以 ≤sin?πx+ 6?≤1, 2 ? ? ? ? π? 1? 因此3≤2sin ?πx+6? +2≤4,即f(x)在区间 ?0,2? 上的取 ? ? ? ?

值范围为[3,4].


推荐相关:

2014届高三数学一轮复习专讲专练(基础知识+小题全取+考...

2014届高三数学一轮复习专讲专练(基础知识+小题全取+考点通关+课时检测):2.11变化率与导数、导数的计算 隐藏>> 课时跟踪检测(十四) 变化率与导数、导数的计算...


2014届高三数学一轮复习专讲专练(基础知识+小题全取+考...

2014届高三数学一轮复习专讲专练(基础知识+小题全取+考点通关+课时检测):9.4随机事件的概率 - 课时跟踪检测(六十一) 随机事件的概率 1.从 1,2,3,?,9 ...


2014届高三数学一轮复习专讲专练(基础知识+小题全取+考...

2014届高三数学一轮复习专讲专练(基础知识+小题全取+考点通关+课时检测):4.4 数系的扩充与复数的引入 - 课时跟踪检测(二十九) 数系的扩充与复数的引入 1.(...


...讲专练(基础知识+小题全取+考点通关+课时检测):1.1...

2014届高三数学一轮复习专讲专练(基础知识+小题全取+考点通关+课时检测):1.1集 合 隐藏>> 课时跟踪检测(一) 集合 1.(2012· 新课标全国卷)已知集合 A={...


2014届高三数学一轮复习专讲专练(基础知识+小题全取+考...

2014届高三数学一轮复习专讲专练(基础知识+小题全取+考点通关+课时检测):2.14定积分与微积分基本定理 - 课时跟踪检测(十七) 定积分与微积分基本定理 1.设...


2014届高三数学一轮复习专讲专练(基础知识+小题全取+考...

2014届高三数学一轮复习专讲专练(基础知识+小题全取+考点通关+课时检测):8.2 两直线的位置关系 - 课时跟踪检测(五十) 两直线的位置关系 1 1.当 0<k< ...


2014届高三数学一轮复习专讲专练(基础知识+小题全取+考...

2014届高三数学一轮复习专讲专练(基础知识+小题全取+考点通关+课时检测):8.3圆 的方程 - 课时跟踪检测(五十一) 圆的方程 1.圆(x+2)2+y2=5 关于原点 ...


2014届高三数学一轮复习专讲专练(基础知识+小题全取+考...

2014届高三数学一轮复习专讲专练(基础知识+小题全取+考点通关+课时检测):7....为什么? 1.将图 1 中的等腰直角三角形 ABC 沿斜边 BC 的中线折起得到四面体...


2014届高三数学一轮复习专讲专练(基础知识+小题全取+考...

2014届高三数学一轮复习专讲专练(基础知识+小题全取+考点通关+课时检测):3.8正弦定理和余弦定理的应用 - 课时跟踪检测(二十五) 正弦定理和余弦定理的应用 1....


2014届高三数学一轮复习专讲专练(基础知识+小题全取+考...

2014届高三数学一轮复习专讲专练(基础知识+小题全取+考点通关+课时检测):5.2等 差数列 - 课时跟踪检测(三十一) 等差数列 1.(2011· 江西高考){an}为等差...

网站首页 | 网站地图
3986 3986.net
文档资料库内容来自网络,如有侵犯请联系客服。zhit325@qq.com