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高中数学第一章三角函数1.2.1任意角的三角函数(1)课件1新人教A版必修4_图文

1.2 任意角的三角函数 1.2.1 任意角的三角函数(一) 任意角的三角函数是三角学中最基本最重要的概 念之一.三角学起源于对三角形边角关系的研究, 始于古希腊的喜帕恰斯、梅内劳斯和托勒密等人 对天文的测量,在相当长的时期里隶属于天文学. 直到1464年,德国数学家雷格蒙塔努斯著《论各 种三角形》,才独立于天文学之外对三角知识作 了较系统的阐说;14~16世纪,三角学曾一度成 为欧洲数学的主要内容,研究的方面包括三角函 数值表的编制、平面三角形和球面三角形的解法, 三角恒等式的建立和推导等等.1631年,三角学传 入中国,三角学在中国早期比较通行的名称是 “八线”和“三角”.“八线”是指在单位圆上的 八种三角函数线:正弦线、余弦线、正切线、余 切线、正割线、余割线、正矢线、余矢线。随着 科学的发展,三角函数成为研究自然界和生产实 践中周期变化现象的重要数学工具,它在测量、 力学工程和无线电学中有着广泛的应用. 在直角三角形ABC中,∠C=90°,sinα , cosα ,tanα 分别叫做角α 的正弦、余弦和正切, 它们的值分别等于什么? AC BC cos = sin = AB AB BC t an = C AC B α A 当角α 不是锐角时,我们必须对sinα , cosα ,tanα 的值进行推广,以适应任意角的需 要.如何定义任意角的三角函数呢? 1.掌握任意角的三角函数的定义,正确理解三角函数 是以实数为自变量的函数. (重点) 2.已知角α终边上一点,会求角α 的各三角函数值. 3.掌握三角函数的定义域. (重点、难点) 探究一:三角函数的定义、定义域 思考1、我们把锐角α 放到直角坐标系中, 并使角α 的顶点与原点O重合,始边与x轴的非负 半轴重合.在角α 的终边上取一点P(a,b),设 点P与原点的距离为r,那么,sinα ,cosα , tanα 的值分别如何表示? 提示: b sin ? ? r a cos ? ? r b tan ? ? a A P(a,b) α B 思考2 对于确定的角α ,上述三个比值是否 随点P在角α 的终边上的位置的改变而改变呢? 为什么? ﹒ △OM ?P? M ?P? ? OP? ? OM OM cos ? ? ? OP OP? MP M ?P? tan ? ? ? OM OM ? △OMP MP sin ? ? OP 提示:由相似三角形的知识可知,这三个比值不 会随着点P在角α的终边上的位置的改变而改变. 思考3、为了使sinα ,cosα 的表示式更简单, 你认为点P的位置选在何处最好? 此时,sinα ,cosα 分别等于什么? 提示:OP=1处 y P(a,b) 1 s in ? ? b cos? ? a b tan ? ? a α o x 任意角的三角函数 设α 是一个任意角,它的终边与单位圆(以原点为圆 心,以单位长为半径的圆)交于点P(x,y),为了 不与当α 为锐角时的三角函数值发生矛盾,你认为 sinα ,cosα ,tanα 对应的值应分别如何定义? 提示: s in ? ? y cos? ? x α 的终边 P(x,y) y y tan ? ? ( x ? 0) x O x 三角函数 正弦、余弦、正切都是以角为自变量,以 单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函 数,我们将它们统称为三角函数. 思考4.对于一个任意给定的角α ,按照上述定义, 对应的sinα ,cosα ,tanα 的值是否存在?是 否唯一? 提示: 角α的终边在y轴上时, tanα的值无意义,除此 之外,其他的角的三角 函数值都是唯一确定的. α 的终边 P(x,y) y O x 正弦、余弦、正切函数的定义域 函 数 定 义 域 y ? sin ? y ? cos ? ? {? | ? ? ? k?, k ? Z} 2 y ? tan ? 【即时训练】 已知角α 的终边经过点 P(-12,5),求α 的三个三 角函数值. 解: 因 为 x ? ? 12, y ? 5 , 所 以 r ? ( ? 12) 2 ? 5 2 ? 13 , y 5 于是 sin ? ? ? , r 13 x 12 cos ? ? ? ? , r 13 y 5 tan ? ? ? ? . x 12 探究二:三角函数的符号 思考: 根据任意角三角函数的定义,sinα , cosα ,tanα 的值的符号取决于什么? 提示:由任意角三角函数的定义知sinα ,cosα , tanα 的值的符号取决于单位圆与角的终边交 点的坐标的符号 三角函数的符号 sin ? ? y y cos ? ? x y tan ? ? (x≠0) x y O y x O O x O x sin ? cos? tan ? 口诀: 一全二正弦;三切四余弦 【即时训练】 确定下列各三角函数值的符号: 13? (1) sin ; 7 (2)cos 130°; (3) tan( ? 2? ). 3 解: 13? (1) sin ?0 7 (2) cos 130 ? 0 2? (3) tan(? ) ? 0 3 5? 例1.求 的正弦、余弦和正切值. 3 1 3 易知 ? AOB 的终边与单位圆的交点坐标为 ( , ? ) . 所以 2 2 y 5? 3 sin ?? , 5? 3 2 x 3 5? 1 A O cos ? , 1 3 3 2 B( , ? ) 2 2 5? tan ?? 3. 3 5? 在 直 角 坐 标 系 中 , 作 ? AOB ? ( 如 图) . 3 【变式练习】 已知角?的终边在直线y ? 2 x上,求角?的sin ? ,cos ? , tan ?的值. 解: ?1?当角?的终边在第一象限时, 在角?的终边上

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