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高一数学幂函数方程与函数


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石家庄精英中学学生课堂学习提纲

编号:SXTG-必修 1-0065(2012-11-7)

编制: 周红粉

审核:高一数学组

课堂学习提纲——幂函数及函数与方程 班级: 姓名: 小组: 评价:

课 海 拾 贝 / 反 思 纠 错

(2) 如果 ? ? 0 ,则幂函数图象过原点,并且在区间 [0, ? ?) 上是增函数; (3) 如果 ? ? 0 ,则幂函数图象在区间 (0, ? ?) 上是减函数,在第一象限内,当 x >1 时, 逆时针方向 ? 依次增大。 (4) 令 ? ?

【学习目标】 1、 理解幂函数图象的变化规律;
2、体会具体到一般数学讨论方式及数形结合的思想; 3、会求幂函数型的复合函数的定义域、值域以及单调区间.

【学习重、难点】 学习重点: 幂函数图象的变化规律,幂函数性质的应用; 学习难点: 1 幂函数性质的归纳,概括及其应用;
2 利用幂函数的单调性求解不等式.

q (p,q 互质,且都为整数) ,当 p, q 同为奇数时,幂函数为奇函数; p
当 p 为奇数 q 为偶数时,幂函数为偶函数; 当 p 为偶数 q 为奇数时,幂函数为非奇非偶函数;

【学法指导】 【自主探究】
一、知识梳理 (一)幂函数 1、常见幂函数的图象:

(5) 幂函数的图象不可能出现在第四象限.

2、函数值大小的比较

? 1? 1.1 2 ,1.4 2 ,1.1 3 ; ? 2 ? 0.16
3、幂函数的单调性与奇偶性

1

1

1

?

1 2

,0.25

?

1 4

1

,6.25 4

1、已知(2a-1)-2>(a+3)-2,求实数 a 的取值范围.

2 2、已知幂函数 f(x)=xm -2m-3(m∈Z)为偶函数,且在区间(0,+∞)上是减函数. (1)求函数 f(x); (2)比较 f(-2)与 f(1)的大小.

(二)函数与方程

幂函数图象的变化规律: (1) 所有的幂函数在 (0, ? ?) 都有定义,并且图象都通过点 (1, 1);
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1. 方程的根与函数的零点: 方程 f(x)=0 有实数根?函数 y=f(x)的图象与 x 轴有交点?函数 y=f(x)有零点.

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(1)实系数一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0)的实根的符号与系数之间的关系 1.方程有两个不相等的正实数根?

课 海 拾

2.方程有两个不相等的负实根?

贝 / 反 思 纠

(2)一元二次方程 f(x)=ax2+bx+c=0(a≠0)的区间根问题 研究一元二次方程的区间根,一般情况下需要从以下三个方面考虑: ①.一元二次方程根的判别式; ②.对应二次函数区间端点函数值的正负;



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编制: 周红粉

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2.零点存在性定理: 如果函数 y=f(x)在区间[a, b]上的图象是连续不断的一条曲线, 并且有_________, 那么, 函数 y=f(x)在区间(a,b)内有零点,即存在 c∈(a,b),使得 f(c)=0,这个 c 也就是方程 f(x)=0 的根. 3、二分法定义: 对于在区间[a, b]上连续不断且__________的函数 y=f(x), 通过不断地把函数 f(x)的零点所 在的区间__________, 使区间的两个端点逐步逼近零点, 进而得到零点近似值的方法叫做 二分法. 4.用二分法求函数零点近似值的基本步骤: (1)确定区间[a,b],使 f(a)·f(b)<0 ,给定精度ε ; (2). 求区间(a,b)的中点 c(c ? (3). 计算 f(c): (i)若 f(c)=0,则 c 就是函数的零点; (ii)若 f(a)·f(c)<0 ,则令 b=c,此时零点 x0∈(a,c); (iii)若 f(c)·f(b)<0 ,则令 a=c,此时零点 x0∈(c,b). (4) 判断是否达到精确度ε :若 |a-b|<ε,则得到零点近似值 a(或 b) ; 否则重复步骤 2~4.

变式:已知二次方程 2x2-(m+1)x+m=0 有且仅有一实根在(0,1)内,则 m 的取值范围 是________

题型三、函数的零点

[例 2] (09·山东)若函数 f(x)=ax-x-a(a>0,且 a≠1)有两个零点,则实数 a 的取值范围 是________. 方程 2x+x-4=0 的解所在区间为 A.(-1,0) B.(0,1) ( C.(1,2) ) D.(2,3)

a?b ). 2

题型四、数学建模问题 [例 3]商场销售某一品牌的羊毛衫,购买人数 n 是羊毛衫标价 x 的一次函数,标价越 高,购买人数越少.已知标价为每件 300 元时,购买人数为零.标价为每件 225 元时,购 买人数为 75 人,若这种羊毛衫的成本价是 100 元/件,商场以高于成本价的相同价格(标 价)出售,问: (1)商场要获取最大利润,羊毛衫的标价应定为每件多少元? (2)通常情况下,获取最大利润只是一种“理想结果”,如果商场要获得最大利润的 75%,那么羊毛衫的标价为每件多少元?

题型一、二次函数与二次方程

[例 1] 已知函数 f(x)=x2+2x+a,f(bx)=9x2-6x+2,其中 x∈R,a、b 为常数,则方程 f(ax+b)=0 的解集为________.

题型二、根的分布问题

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提出疑惑 同学们,通过你的自主学习,你还有哪些疑惑,请把它写下来。 1. 2. 3.

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