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南京市2018届高三数学二轮专题复习资料专题13:(选讲)直线与圆、圆锥曲线难点专项研究

专题 13:圆锥曲线难点专项研究 问题归类篇 类型一:圆的轨迹问题 一、高考回顾 1(08 年高考题).满足条件 AB=2, AC= 2BC 的三角形 ABC 的面积的最大值是 . 答案:2 2. 解:因为 AB=2(定长) ,可以以 AB 所在的直线为 x 轴,其中垂线为 y 轴建立直角坐标系,则 A(-1,0), B(1,0),设 C(x,y),由 AC= 2BC 可得 (x+1)2+y2= 2 (x-1)2+y2,化简得(x-3)2+y2=8,即 C 1 在以(3,0)为圆心,2 2为半径的圆上运动。又 SΔ ABC= ·AB·|yc|=|yc|≤2 2。 2 2(13 年高考题) .如图,在平面直角坐标系 xOy 中,点 A(0,3),直线 l:y=2x-4,设圆 C 的半径为 1, 圆心在 l 上. (1)若圆心 C 也在直线 y=x-1 上,过点 A 作圆 C 的切线,求切线的方程; (2)若圆 C 上存在点 M,使 MA=2MO,求圆心 C 的横坐标 a 的取值范围. 答案:(1)y=3 或 3x+4y-12=0 ; 12 (2)a 的取值范围为[0, ] 5 解: (1)由题设点 C(a,2a-4),又 C 也在直线 y=x-1 上,∴2a-4=a-1,∴a=3 ∴⊙C:(x-3)2+(y-2)2=1,由题,过 A 点切线方程可设为 y=kx+3,即 kx-y+3=0,则 3 3 得:k=0,- ,∴所求切线为 y=3 或 y=- x+3 4 4 (2)设点 C(a,2a-4),M(x0,y0),∵MA=2MO,A(0,3),O(0,0),∴x02+(y0-3)2=4(x02+y02),即 x02 +y02=3-2y0,又点 M 在圆 C 上,∴(x0-a)2+(y0-2a+4)2=1,两式相减得 5a2 2 | a + (2 a - 3)(2 a - 4) - ( -8a+9)| 2 5a2 ax0+(2a-3)y0-( -8a+9)=0,由题以上两式有公共点,∴ ≤1 2 a2+(2a-3)2 5a2 整理得:| -6a+3|≤ 5a2-12a+9,即(5a2-12a+6)2≤4(5a2-12a+9),令 t=5a2-12a+6,则 2 12 t2≤4(t+3),解得:-2≤t≤6,∴-2≤5a2-12a+6≤6,解得:0≤a≤ . 5 → → 3 (17 年高考题) .在平面直角坐标系 xOy 中,A(-12, 0), B(0, 6), 点 P 在圆 Ox2+y2=50 上,若 PA · PB ≤20, 则点 P 的横坐标的取值范围是 答案:[-5 2,1] 二、方法联想 1.阿波罗尼斯圆 PA 结论 1:已知平面上两定点 A、B,则所有满足 =k(k>0 且 k≠1)的点 P 的轨迹是一个圆. PB 2.向量数量积圆 . |3k+1| =1,解 k2+1 O B y A l x →→ m2 结论 2:已知平面上两定点 A、B,且 AB=m,则所有满足 PA · PB =λ (λ+ >0)的点 P 的轨迹是一个 4 圆. →→ → → → → → → → m2 推导方法 1:取 AB 中点 M, PA · PB =(PM+MA)(PM+MB)=|PM|2-|MA|2=|PM|2- =λ ,所以 4 → m2 |PM|2= +λ . 4 推导方法 2:建系设点法. 3.距离平方圆 结论 3:已知平面上两定点 A、B,且 AB=m,则所有满足 PA2+PB2=λ 轨迹是一个圆. 推导方法 1:建系设点法. 推导方法 2:取 AB 中点 M.利用余弦定理代入 cos∠PMA=-cos∠PMB 化简得|PM|2= λ m2 - . 2 4 λ m2 (其中 - >0 ) 的点 P 的 2 4 推导方法 3:取 AB 中点 M.利用“平行四边形四边的平方和等于对角线的平方和”得 PA2+PB2=2(AM2+ m λ m2 PM2)=2(( )2+PM2)=λ 得 PM2= - . 2 2 4 4.求轨迹方程的常用方法有: (1)直接法:直接利用条件建立 x,y 之间的关系 F(x,y)=0. (2)待定系数法:已知所求曲线的类型,求曲线方程. (3)定义法:先根据条件得出动点的轨迹是某种已知曲线,再由曲线的定义直接写出动点的轨迹方程. (4)代入(相关点)法:动点 P(x,y)依赖于另一动点 Q(x0,y0)的变化而运动,常利用代入法求动点 P(x, y)的轨迹方程. (5)参数法. 三、归类研究 *1.等腰三角形 ABC 中,AB=AC,腰 AC 上的中线 BD=2,则△ABC 面积的最大值为________. 8 答案: . 3 (利用等腰三角形的性质得到 AB=2AD,则点 A 是圆上动点,即求圆上动点到直线距离的最值) →→ **2. 已知等边三角形 ABC 的边长为 2,点 P 在线段 AC 上,若满足等式 PA ·PB =λ 的点 P 有两个,则实数 λ 的取值范围是 1 答案:-4<λ ≤0 (方法一:以 AC 中点为原点,AC 所在的直线为 x 轴,设 P(x,0)(-1≤x≤1) 转化为方程有两解问题;方 法二:以 AB 中点为原点,AB 所在的直线为 x 轴,转化为圆与线段有两个公共点问题;方法三:向量投影 → → → → → →2 → → 2 ( PA + AB )= PA - AP ·AB =x -x=λ 在 x∈[0,2] 上有两解) 法,记 AP=x,问题可化为 PA ·PB = PA · ***3.已知 ΔABC 中,AB=AC= 3,ΔABC 所在平面内存在点 P 使得 PB2+PC2=3PA2=3,则 ΔABC 面 积的最大值为 . . 5 23 答案: 16 (建系转化为两轨迹圆有公共点问题研究面积最值) *4.在平面直角坐标系 xOy 中,点 A(1,0),B(0,4). 若圆 (x? m)2 ? y 2 ? m2 (m ? 0, m ? R

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