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浙江省杭州市西湖高级中学2014-2015学年高二上学期12月月考数学试卷


2014-2015 学年浙江省杭州市西湖高级中学高二 (上) 12 月月考 数学试卷
一.选择题:本大题共 15 小题,每小题 5 分,共 75 分,在每小题给出的四个选择项中,只 有一项是符合题目要求的. 1.过点(﹣1,3)且垂直于直线 x﹣2y+3=0 的直线方程为( ) A. 2x+y﹣1=0 B. 2x+y﹣5=0 C. x+2y﹣5=0 D. x﹣2y+7=0 2.已知直线 l 的方程为 x+ y+4=0,则直线 l 的倾斜角为( A. 30° B. 60° C. 120° D. 150° )

3.在平面直角坐标系中,已知点 A(﹣1,2) ,B(3,0) ,那么线段 AB 中点的坐标为( A. (2,2) B. (1,1) C. (﹣2,﹣2) D. (﹣1,﹣1) 4.若一圆的标准方程为(x﹣1) +(y+5) =3,则此圆的圆心和半径分别为( ) A. (﹣1,5) , B. (1,﹣5) , C. (﹣1,5) ,3 D. (1,﹣5) 5.已知直线 3x+2y﹣3=0 和 6x+my+1=0 互相平行,则它们之间的距离是( A. 4 B. C. D. )
2 2



6.以两点 A(﹣3,﹣1)和 B(5,5)为直径端点的圆的方程是( A. (x﹣1) +(y+2) =100 B. (x﹣1) +(y﹣2) =100 2 2 2 2 C. (x﹣1) +(y﹣2) =25 D. (x+1) +(y+2) =25
2 2 2 2



7.已知二面角α﹣l﹣β的大小为 60°,m、n 为异面直线,且 m⊥α,n⊥β,则 m、n 所 成的角为( ) A. 30° B. 60° C. 90° D. 120° 8.已知某几何体的三视图如下,根据图中标出的尺寸(单位:cm) ,可得这个几何体的体积 是( )

A.

cm B.

3

cm C.

3

cm D.

3

cm

3

9.已知 m,n 是两条不同直线,α,β,γ是三个不同平面,下列命题中正确的是( A. 若 m∥α,n∥α,则 m∥n B. 若α⊥γ,β⊥γ,则α∥β



C. 若 m∥α,m∥β,则α∥β D. 若 m⊥α,n⊥α,则 m∥n 10.长方体的一个顶点上三条棱长为 3、4、5,且它的八个顶点都在一个球面上,这个球的 表面积是( ) A. 20 π B. 25 π C. 50π D. 200π 11.当 a 为任意实数时,直线(a﹣1)x﹣y+a+1=0 恒过定点 C,则以 C 为圆心,半径为 圆的方程为( ) A. x +y ﹣2x+4y=0 B. x +y +2x+4y=0 2 2 2 2 C. x +y +2x﹣4y=0 D. x +y ﹣2x﹣4y=0 12.若 P(2,﹣1)为圆(x﹣1) +y =25 的弦 AB 的中点,则直线 AB 的方程是( A. x﹣y﹣3=0 B. 2x+y﹣3=0 C. x+y﹣1=0 D. 2x﹣y﹣5=0
2 2 2 2 2 2





13. 点 P 是等腰三角形 ABC 所在平面外一点, PA⊥平面 ABC, PA=8, 在△ABC 中, BC=6, AB=AC=5, 则点 P 到 BC 的距离是( ) A. 4 B. C. 3 D. 2 14.已知矩形 ABCD,AB=1,BC= .将△ABD 沿矩形的对角线 BD 所在的直线进行翻折,在 翻折过程中( ) A. 存在某个位置,使得直线 AC 与直线 BD 垂直 B. 存在某个位置,使得直线 AB 与直线 CD 垂直 C. 存在某个位置,使得直线 AD 与直线 BC 垂直 D. 对任意位置,三对直线“AC 与 BD” , “AB 与 CD” , “AD 与 BC”均不垂直 15.如图,在长方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中,AB=BC=2,AA1=1,则 BC1 与平面 BB1D1D 所成角的正 弦值为( )

A.

B.

C.

D.

二.填空题 16.设直线 l1:x+my+6=0 和 l2: (m﹣2)x+3y+2m=0,当 m= 17.经过原点,圆心在 x 轴的负半轴上,半径等于 2 的圆的方程是
2 2 2 2

时,l1∥l2. .

18.已知两圆 C1:x +y =10,C2:x +y +2x+2y﹣14=0.求经过两圆交点的公共弦所在的直线 方程 .

19.直线 xcosθ+y+m=0 的倾斜角范围是



20.若动点 A(x1,y1) 、B(x2,y2)分别在直线 l1:x+y﹣7=0 和 l2:x+y﹣5=0 上移动,则 AB 中点 M 到原点距离的最小值为 .

21.设点 P(x,y)是圆 x +(y+4) =4 上任意一点,则 值为 .
2 2

2

2

的最大

22.与 x 轴相切并和圆 x +y =1 外切的圆的圆心的轨迹方程是



23.已知直线 l,m,n,平面α,m? α,n? α,则“l⊥α”是“l⊥m,且 l⊥n”的 条件. (填“充分不必要” 、 “必要不充分” 、 “充要” 、 “既不充分也不必要” 之一)

三.解答题(共 28 分,其中 24 题 8 分,25,26 题 10 分) 24.直线 l 经过点 P(2,﹣5) ,且与点 A(3,﹣2)和 B(﹣1,6)的距离之比为 1:2,求 直线 l 的方程. 25.如图,在斜三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中,点 O、E 分别是 A1C1、AA1 的中点,AO⊥平面 A1B1C1.已 知∠BCA=90°,AA1=AC=BC=2. (Ⅰ)证明:OE∥平面 AB1C1; (Ⅱ)求异面直线 AB1 与 A1C 所成的角; (Ⅲ)求 A1C1 与平面 AA1B1 所成角的正弦值.

26.在平面直角坐标系中,已知矩形 ABCD 的长为 2,宽为 1,AB、AD 边分别在 x 轴、y 轴的 正半轴上,A 点与坐标原点重合(如图所示) .将矩形折叠,使 A 点落在线段 DC 上. (Ⅰ)若折痕所在直线的斜率为 k,试写出折痕所在直线的方程; (Ⅱ)求折痕的长的最大值.

2014-2015 学年浙江省杭州市西湖高级中学高二 (上) 12 月月考数学试卷
参考答案与试题解析

一.选择题:本大题共 15 小题,每小题 5 分,共 75 分,在每小题给出的四个选择项中,只 有一项是符合题目要求的. 1.过点(﹣1,3)且垂直于直线 x﹣2y+3=0 的直线方程为( ) A. 2x+y﹣1=0 B. 2x+y﹣5=0 C. x+2y﹣5=0 D. x﹣2y+7=0 考点: 直线的点斜式方程;两条直线垂直与倾斜角、斜率的关系. 专题: 计算题. 分析: 根据题意,易得直线 x﹣2y+3=0 的斜率为 ,由直线垂直的斜率关系,可得所求直 线的斜率为﹣2,又知其过定点坐标,由点斜式得所求直线方程. 解答: 解:根据题意,易得直线 x﹣2y+3=0 的斜率为 , 由直线垂直的斜率关系,可得所求直线的斜率为﹣2, 又知其过点(﹣1,3) , 由点斜式得所求直线方程为 2x+y﹣1=0. 点评: 本题考查直线垂直与斜率的相互关系,注意斜率不存在的特殊情况. 2.已知直线 l 的方程为 x+ y+4=0,则直线 l 的倾斜角为( A. 30° B. 60° C. 120° D. 150° )

考点: 直线的倾斜角. 专题: 直线与圆. 分析: 化直线的一般式方程为斜截式,得到直线的斜率,由倾斜角的正切值等于斜率求解 倾斜角. 解答: 解:由直线 l 的方程为 x+ y+4=0, 化为斜截式得: ∴直线 l 的斜率为 , ,

设直线的倾斜角为α (0°≤α<180°) . 由 ,得α=150°.

故选:D. 点评: 本题考查了直线的倾斜角,考查了倾斜角与斜率之间的关系,是基础题. 3.在平面直角坐标系中,已知点 A(﹣1,2) ,B(3,0) ,那么线段 AB 中点的坐标为( A. (2,2) B. (1,1) C. (﹣2,﹣2) D. (﹣1,﹣1) )

考点: 专题: 分析: 解答:

中点坐标公式. 计算题. 利用两点的中点坐标公式,直接求解即可. 解:由中点坐标公式可得,点 A(﹣1,2) ,B(3,0) , ) ,即(1,1) .

那么线段 AB 中点的坐标为: (

故选 B. 点评: 本题是基础题,考查线段的中点坐标公式的应用. 4.若一圆的标准方程为(x﹣1) +(y+5) =3,则此圆的圆心和半径分别为( ) A. (﹣1,5) , B. (1,﹣5) , C. (﹣1,5) ,3 D. (1,﹣5) 考点: 圆的标准方程. 专题: 计算题. 分析: 由圆的标准方程找出圆心坐标与半径即可. 解答: 解:∵圆的标准方程为(x﹣1) +(y+5) =3, ∴圆心坐标为(1,﹣5) ,半径 r= . 故选 B 点评: 此题考查了圆的标准方程,是一道基础题.解题的关键是掌握圆的标准方程为(x ﹣a) +(y﹣b) =r (r>0) ,其中圆心坐标为(a,b) ,半径为 r. 5.已知直线 3x+2y﹣3=0 和 6x+my+1=0 互相平行,则它们之间的距离是( A. 4 B. C. D. )
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考点: 两条平行直线间的距离. 专题: 直线与圆. 分析: 根据两条直线平行,一次项的系数对应成比例,求得 m 的值,再根据两条平行线间 的距离公式求得它们之间的距离. 解答: 解: 直线 3x﹣2y﹣3=0 即 6x﹣4y﹣6=0, 根据它和 6x+my+1=0 互相平行, 可得 故 m=﹣4. 可得它们间的距离为 d= = , ,

故选:D. 点评: 本题主要考查两条直线平行的性质,两条平行线间的距离公式的应用,属于中档题. 6.以两点 A(﹣3,﹣1)和 B(5,5)为直径端点的圆的方程是( A. (x﹣1) +(y+2) =100 B. (x﹣1) +(y﹣2) =100 2 2 2 2 C. (x﹣1) +(y﹣2) =25 D. (x+1) +(y+2) =25 考点: 圆的标准方程. 专题: 综合题.
2 2 2 2



分析: 要求圆的方程,即要求圆心坐标和半径,由 AB 为所求圆的直径,利用中点坐标公式 求出线段 AB 的中点坐标即为圆心坐标, 再利用两点间的距离公式求出线段 AC 的长度即为圆 的半径,根据圆心坐标和半径写出圆的标准方程即可. 解答: 解:设线段 AB 的中点为 C,则 C 的坐标为( 所求圆的圆心坐标为(1,2) ; 又|AC|=
2



)即为(1,2) ,

=5,则圆的半径为 5,
2

所以所求圆的标准方程为: (x﹣1) +(y﹣2) =25. 故选 C 点评: 此题考查学生灵活运用中点坐标公式及两点间的距离公式化简求值,会根据圆心坐 标和半径写出圆的标准方程,是一道综合题. 7.已知二面角α﹣l﹣β的大小为 60°,m、n 为异面直线,且 m⊥α,n⊥β,则 m、n 所 成的角为( ) A. 30° B. 60° C. 90° D. 120° 考点: 平面与平面之间的位置关系. 专题: 计算题. 分析: 由条件 m⊥α, n⊥β可知 m、 n 所成的夹角与二面角α﹣l﹣β所成的角相等或互补, 而异面直线所成角的范围是 0°<θ≤90°,所以 m、n 所成的角为二面角α﹣l﹣β所成的 角. 解答: 解:∵m⊥α,n⊥β, ∴m、n 所成的夹角与二面角α﹣l﹣β所成的角相等或互补. ∵二面角α﹣l﹣β为 60°, ∴异面直线 m、n 所成的角为 60°. 故答案为 60°, 选 B. 点评: 本小题主要考查异面直线所成的角,考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力, 属于基础题. 8.已知某几何体的三视图如下,根据图中标出的尺寸(单位:cm) ,可得这个几何体的体积 是( )

A.

cm B.

3

cm C.

3

cm D.

3

cm

3

考点: 由三视图求面积、体积. 专题: 计算题;空间位置关系与距离.

分析: 由三视图知几何体是一个三棱锥,三棱锥的底面是一个底边是 1,高是 1 的三角形, 做出面积三棱锥的高是 1,根据三棱锥的体积公式得到结果. 解答: 解:由三视图知几何体是一个三棱锥, 三棱锥的底面是一个底边是 1,高是 1 的三角形,面积是 三棱锥的高是 1, ∴三棱锥的体积是 = cm ,
3

= ,

故选:C. 点评: 本题考查由三视图还原几何体并且看出几何体各个部分的长度,本题解题的关键是 要求体积需要求出几何体的底面面积和高.本题是一个基础题. 9.已知 m,n 是两条不同直线,α,β,γ是三个不同平面,下列命题中正确的是( A. 若 m∥α,n∥α,则 m∥n B. 若α⊥γ,β⊥γ,则α∥β C. 若 m∥α,m∥β,则α∥β D. 若 m⊥α,n⊥α,则 m∥n )

考点: 平面与平面平行的判定. 专题: 证明题. 分析: 通过举反例可得 A、B、C 不正确,根据垂直于同一个平面的两条直线平行,可得 D 正确,从而得出结论. 解答: 解:A、m,n 平行于同一个平面,故 m,n 可能相交,可能平行,也可能是异面直线, 故 A 错误; B、α,β 垂直于同一个平面γ,故α,β 可能相交,可能平行,故 B 错误; C、α,β平行与同一条直线 m,故α,β 可能相交,可能平行,故 C 错误; D、垂直于同一个平面的两条直线平行,故 D 正确. 故选 D. 点评: 本题考查两个平面平行的判定和性质,平面与平面垂直的性质,线面垂直的性质, 注意考虑特殊情况,属于中档题. 10.长方体的一个顶点上三条棱长为 3、4、5,且它的八个顶点都在一个球面上,这个球的 表面积是( ) A. 20 π B. 25 π C. 50π D. 200π 考点: 球的体积和表面积. 专题: 计算题. 分析: 设出球的半径,由于直径即是长方体的体对角线,由此关系求出球的半径,即可求 出球的表面积. 解答: 解: 设球的半径为 R, 由题意, 球的直径即为长方体的体对角线, 则 (2R)=3 +4 +5 =50, ∴R= .
2 2 2 2 2

∴S 球=4π×R =50π. 故选 C 点评: 本题考查球的表面积,球的内接体,考查计算能力,是基础题.

11.当 a 为任意实数时,直线(a﹣1)x﹣y+a+1=0 恒过定点 C,则以 C 为圆心,半径为 圆的方程为( ) A. x +y ﹣2x+4y=0 B. x +y +2x+4y=0 2 2 2 2 C. x +y +2x﹣4y=0 D. x +y ﹣2x﹣4y=0 考点: 圆的一般方程;恒过定点的直线. 分析: 先求直线过的定点,然后写出方程. 解答: 解:由(a﹣1)x﹣y+a+1=0 得(x+1)a﹣(x+y﹣1)=0, ∴x+1=0 且 x+y﹣1=0,解得 x=﹣1,y=2,该直线恒过点(﹣1,2) , ∴所求圆的方程为(x+1) +(y﹣2) =5.即 x +y +2x﹣4y=0. 故选 C 点评: 本题考查恒过定点的直线,圆的一般方程,是基础题. 12.若 P(2,﹣1)为圆(x﹣1) +y =25 的弦 AB 的中点,则直线 AB 的方程是( A. x﹣y﹣3=0 B. 2x+y﹣3=0 C. x+y﹣1=0 D. 2x﹣y﹣5=0
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2





考点: 直线和圆的方程的应用;直线与圆相交的性质. 专题: 计算题. 分析: 由圆心为 O(1,0) ,由点 P 为弦的中点,则该点与圆心的连线垂直于直线 AB 求解 其斜率,再由点斜式求得其方程. 解答: 解:已知圆心为 O(1,0) 根据题意:Kop= kABkOP=﹣1 kAB=1,又直线 AB 过点 P(2,﹣1) , ∴直线 AB 的方程是 x﹣y﹣3=0 故选 A 点评: 本题主要考查直线与圆的位置关系及其方程的应用,主要涉及了弦的中点与圆心的 连线与弦所在的直线垂直. 13. 点 P 是等腰三角形 ABC 所在平面外一点, PA⊥平面 ABC, PA=8, 在△ABC 中, BC=6, AB=AC=5, 则点 P 到 BC 的距离是( ) A. 4 B. C. 3 D. 2 考点: 点、线、面间的距离计算. 专题: 计算题;数形结合. 分析: 由 P 是等腰三角形 ABC 所在平面外一点,PA⊥平面 ABC,我们易得 PB=PC,取 BC 的 中点 D,则 AD⊥BC,且 PD⊥BC,利用勾股定理我们易求出 AD 的长,进而求出 PD 的长,即 点 P 到 BC 的距离. 解答: 解:如下图所示:

设 D 为等腰三角形 ABC 底面上的中点,则 PD 长即为 P 点到 BC 的距离 又∵AD 即为三角形的中线,也是三角形 BC 边上的高 ∵BC=6,AB=AC=5,易得 AD=4 在直角三角形 PAD 中,又∵PA=8 ∴PD=4 故选 A 点评: 本题考查的知识点是空间点、线、面之间的距离,其中利用三角形的性质,做出 PD 即为点 P 到 BC 的垂线段是解答本题的关键. 14.已知矩形 ABCD,AB=1,BC= .将△ABD 沿矩形的对角线 BD 所在的直线进行翻折,在 翻折过程中( ) A. 存在某个位置,使得直线 AC 与直线 BD 垂直 B. 存在某个位置,使得直线 AB 与直线 CD 垂直 C. 存在某个位置,使得直线 AD 与直线 BC 垂直 D. 对任意位置,三对直线“AC 与 BD” , “AB 与 CD” , “AD 与 BC”均不垂直 考点: 空间中直线与直线之间的位置关系. 专题: 空间位置关系与距离. 分析: 先根据翻折前后的变量和不变量,计算几何体中的相关边长,再分别筛选四个选项, 若 A 成立,则需 BD⊥EC,这与已知矛盾;若 C 成立,则 A 在底面 BCD 上的射影应位于线段 BC 上,可证明位于 BC 中点位置,故 B 成立;若 C 成立,则 A 在底面 BCD 上的射影应位于线 段 CD 上,这是不可能的;D 显然错误 解答: 解:如图,AE⊥BD,CF⊥BD,依题意,AB=1,BC= ,AE=CF= ,BE=EF=FD= ,

A,若存在某个位置,使得直线 AC 与直线 BD 垂直,则∵BD⊥AE,∴BD⊥平面 AEC,从而 BD ⊥EC,这与已知矛盾,排除 A; B,若存在某个位置,使得直线 AB 与直线 CD 垂直,则 CD⊥平面 ABC,平面 ABC⊥平面 BCD 取 BC 中点 M, 连接 ME, 则 ME⊥BD, ∴∠AEM 就是二面角 A﹣BD﹣C 的平面角, 此角显然存在, 即当 A 在底面上的射影位于 BC 的中点时,直线 AB 与直线 CD 垂直,故 B 正确; C,若存在某个位置,使得直线 AD 与直线 BC 垂直,则 BC⊥平面 ACD,从而平面 ACD⊥平面 BCD,即 A 在底面 BCD 上的射影应位于线段 CD 上,这是不可能的,排除 C D,由上所述,可排除 D 故选 B

点评: 本题主要考查了空间的线面和面面的垂直关系,翻折问题中的变与不变,空间想象 能力和逻辑推理能力,有一定难度,属中档题 二.填空题 15.如图,在长方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中,AB=BC=2,AA1=1,则 BC1 与平面 BB1D1D 所成角的正 弦值为( )

A.

B.

C.

D.

考点: 直线与平面所成的角. 专题: 计算题. 分析: 由题意,由于图形中已经出现了两两垂直的三条直线所以可以利用空间向量的方法 求解直线与平面所成的夹角. 解答: 解:以 D 点为坐标原点,以 DA、DC、DD1 所在的直线为 x 轴、y 轴、z 轴,建立空间 直角坐标系(图略) , 则 A(2,0,0) ,B(2,2,0) ,C(0,2,0) ,C1(0,2,1) ∴ =(﹣2,0,1) , , >═ =(﹣2,2,0) , = . 且为平面 BB1D1D 的一个法向量.

∴cos<

∴BC1 与平面 BB1D1D 所成角的正弦值为 故答案为 D. 点评: 此题重点考查了利用空间向量,抓住直线与平面所成的角与该直线的方向向量与平 面的法向量的夹角之间的关系这一利用向量方法解决了抽象的立体几何问题. 16.设直线 l1:x+my+6=0 和 l2: (m﹣2)x+3y+2m=0,当 m= ﹣1 时,l1∥l2. 考点: 直线的一般式方程与直线的平行关系. 专题: 直线与圆.

分析: 由平行的条件可得: 解答: 解:由平行的条件可得: 由 ,

,解后注意验证. ,

解得:m=﹣1 或 m=3; 而当 m=3 时,l1 与 l2 重合,不满足题意,舍去,故 m=﹣1. 故答案为:﹣1. 点评: 本题考查直线平行的充要条件,其中平行的不要忘记去掉重合的情况,属基础题. 17.经过原点,圆心在 x 轴的负半轴上,半径等于 2 的圆的方程是 (x+2) +y =4 . 考点: 圆的一般方程. 专题: 计算题;直线与圆. 分析: 根据题意,设圆的标准方程为(x﹣a) +y =4(a<0) ,将原点的坐标代入得到关于 a 的等式,解出 a=﹣2,即可得出所求圆的方程. 解答: 解:设圆的圆心为(a,0) (a<0) , 由圆的半径为 2,可得圆的方程为(x﹣a) +y =4, 又∵原点 O(0,0)在圆上, ∴(0﹣a) +0 =4,得 a =4,解得 a=﹣2(舍正) 2 2 由此可得圆的方程为(x+2) +y =4. 2 2 故答案为: (x+2) +y =4 点评: 本题已知圆满足的条件,求圆的标准方程.着重考查了圆的标准方程、点与圆的位 置关系等知识,属于基础题. 18.已知两圆 C1:x +y =10,C2:x +y +2x+2y﹣14=0.求经过两圆交点的公共弦所在的直线 方程 x+y﹣2=0 . 考点: 圆与圆的位置关系及其判定. 专题: 计算题. 分析: 联立两圆的方程,消去 x 与 y 的平方项,即可得到经过两圆交点的公共弦所在直线 的方程. 解答: 解:联立两圆的方程得: , ②﹣①得: 2x+2y﹣14=﹣10,即 x+y﹣2=0. 所以经过两圆交点的公共弦所在的直线方程为 x+y﹣2=0. 故答案为:x+y﹣2=0 点评: 此题考查学生掌握圆与圆的位置关系及判定,是一道中档题.本题的突破点是联立 两圆方程消去 x 与 y 的平方项.
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

19.直线 xcosθ+y+m=0 的倾斜角范围是



考点: 直线的倾斜角. 专题: 直线与圆. 分析: 求出直线的斜率,根据倾斜角和斜率之间的关系即可得到结论. 解答: 解:直线斜截式方程为 y=﹣cosθx﹣m, 即直线的斜率 k=﹣cosθ∈[﹣1,1], 设直线的倾斜角为α, 当 0≤tanα≤1 时,0≤α≤ 当﹣1≤tanα<0 时, 综上 0≤α≤ 故答案为: 点评: 本题考查直线的倾斜角和直线的斜率之间的关系,根据正切函数的图象和性质是解 决本题的关键. . 20.若动点 A(x1,y1) 、B(x2,y2)分别在直线 l1:x+y﹣7=0 和 l2:x+y﹣5=0 上移动,则 AB 中点 M 到原点距离的最小值为 3 . 考点: 两条平行直线间的距离;两点间的距离公式. 专题: 直线与圆. 分析: 根据题意可推断出 M 点的轨迹为平行于直线 l1、l2 且到 l1、l2 距离相等的直线 l 进 而根据两直线方程求得 M 的轨迹方程, 进而利用点到直线的距离求得原点到直线的距离为线 段 AB 的中点 M 到原点的距离的最小值为,求得答案. 解答: 解:由题意知,M 点的轨迹为平行于直线 l1、l2 且到 l1、l2 距离相等的直线 l,故其 方程为 x+y﹣6=0, ∴M 到原点的距离的最小值为 d= =3 . 或 ,

≤α<π, ≤α<π,

故答案为: . 点评: 本题主要考查了两点间的距离公式的应用.考查了数形结合的思想的应用,基本的 运算能力.

21.设点 P(x,y)是圆 x +(y+4) =4 上任意一点,则 值为 +2 .

2

2

的最大

考点: 圆的标准方程. 专题: 直线与圆.

分析:

表示圆上点 P(x,y)与(1,1)的距离,其最大值为

圆心(0,﹣4)与(1,1)的距离加上半径. 解答: 解:根据题意, 表示圆上点 P(x,y)与(1,1)的距离, 则其最大值为圆心(0,﹣4)与(1,1)的距离加上半径, 即 的最大值为: +2= +2.

故答案为: . 点评: 本题考查与圆上点相关的最大值的求法,是中档题,解题时要注意圆的性质和两点 间距离公式的合理运用. 22.与 x 轴相切并和圆 x +y =1 外切的圆的圆心的轨迹方程是 x =2|y|+1 . 考点: 轨迹方程. 专题: 直线与圆. 分析: 利用两圆相外切的性质即可列出方程. 解答: 解: 设M (x, y) 为所求轨迹上任一点, 则由题意知 1+|y|=
2 2 2 2 2 2

, 化简得 x =2|y|+1.

2

因此与 x 轴相切并和圆 x +y =1 外切的圆的圆心的轨迹方程是 x =2|y|+1. 2 故答案为 x =2|y|+1.

点评: 熟练掌握两圆相外切的性质是解题的关键. 23.已知直线 l,m,n,平面α,m? α,n? α,则“l⊥α”是“l⊥m,且 l⊥n”的 充分不必要 条件. (填“充分不必要” 、 “必要不充分” 、 “充要” 、 “既不充分也不必要” 之一) 考点: 充要条件. 专题: 常规题型. 分析: 本题首先要理解充分、必要条件的概念及题目中的条件和结论,再通过线面垂直的 定义及线面垂直的判定定理进行判断,得出结论. 解答: 解:∵l⊥α 由线面垂直的定义知:l⊥m,且 l⊥n.

又∵由线面垂直的判定定理知 l⊥m,且 l⊥n 推不出 l⊥α. ∴“l⊥α”是“l⊥m,且 l⊥n”的充分不必要条件. 故答案为:充分不必要. 点评: 本题能充分考查学生对线面垂直的定义及线面垂直定理的理解,并能对充分、必要 条件的概念有个更深刻的理解. 三.解答题(共 28 分,其中 24 题 8 分,25,26 题 10 分) 24.直线 l 经过点 P(2,﹣5) ,且与点 A(3,﹣2)和 B(﹣1,6)的距离之比为 1:2,求 直线 l 的方程. 考点: 直线的一般式方程;点到直线的距离公式. 专题: 直线与圆. 分析: 首先设直线 l 的方程为 y+5=k?(x﹣2) ,然后根据点到直线的距离公式得出 ,求出 k 的值,即可求出直线方程. 解答: 解:∵直线 l 过 P(2,﹣5) , ∴可设直线 l 的方程为 y+5=k?(x﹣2) , 即 kx﹣y﹣2k﹣5=0. ∴A(3,﹣2)到直线 l 的距离为 d1=

B(﹣1,6)到直线 l 的距离为 d2= ∵d1:d2=1:2 ∴ ∴k +18k+17=0. 解得 k1=﹣1,k2=﹣17. ∴所求直线方程为 x+y+3=0 和 17x+y﹣29=0. 点评: 此题考查了直线的一般方程和点到直线的距离公式,熟练掌握点到直线的距离公式 是解题的关键,属于中档题. 25.如图,在斜三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中,点 O、E 分别是 A1C1、AA1 的中点,AO⊥平面 A1B1C1.已 知∠BCA=90°,AA1=AC=BC=2. (Ⅰ)证明:OE∥平面 AB1C1; (Ⅱ)求异面直线 AB1 与 A1C 所成的角; (Ⅲ)求 A1C1 与平面 AA1B1 所成角的正弦值.
2

考点: 用空间向量求直线与平面的夹角;异面直线及其所成的角;直线与平面平行的判定; 直线与平面所成的角. 专题: 计算题;证明题. 分析: 解法一: (Ⅰ)证明 OE∥AC1,然后证明 OE∥平面 AB1C1. (Ⅱ) 先证明 A1C⊥B1C1. 再证明 A1C⊥平面 AB1C1, 推出异面直线 AB1 与 A1C 所成的角为 90°. (Ⅲ) 设点 C1 到平面 AA1B1 的距离为 d,通过 AA1B1 所成角的正弦值 . ,求出 A1C1 与平面

解法二:如图建系 O﹣xyz,求出 A,A1,E,C1,B1,C 的坐标 (Ⅰ)通过计算 (Ⅱ)通过 ,证明 OE∥AC1,然后证明 OE∥平面 AB1C1. ,证明 AB1⊥A1C,推出异面直线 AB1 与 A1C 所成的角为 90°. 利用

(Ⅲ) 设 A1C1 与平面 AA1B1 所成角为θ, 设平面 AA1B1 的一个法向量是

推出

,通过

,求出 A1C1 与平面 AA1B1 所成角的正弦值. 解答: 解法一: (Ⅰ)证明:∵点 O、E 分别是 A1C1、AA1 的中点, ∴OE∥AC1,又∵EO? 平面 AB1C1,AC1? 平面 AB1C1, ∴OE∥平面 AB1C1. (4 分) (Ⅱ)∵AO⊥平面 A1B1C1,∴AO⊥B1C1,又∵A1C1⊥B1C1,且 A1C1∩AO=O, ∴B1C1⊥平面 A1C1CA,∴A1C⊥B1C1. (6 分) 又∵AA1=AC,∴四边形 A1C1CA 为菱形, ∴A1C⊥AC1,且 B1C1∩AC1=C1∴A1C⊥平面 AB1C1, ∴AB1⊥A1C,即异面直线 AB1 与 A1C 所成的角为 90°. (8 分) (Ⅲ) 设点 C1 到平面 AA1B1 的距离为 d,∵ ,

即 又∵在△AA1B1 中, ∴

? d. (10 分) ,∴S△AA1B1= . . (12 分) , . (2 分) , , ∴ , 即 OE∥AC1,

,∴A1C1 与平面 AA1B1 所成角的正弦值 ,

解法二: 如图建系 O﹣xyz, C1(0,1,0) ,B1(2,1,0) , (Ⅰ) ∵ =

又∵EO? 平面 AB1C1,AC1? 平面 AB1C1,∴OE∥平面 AB1C1. (6 分) (Ⅱ)∵ , ,∴ ,即∴AB1

⊥A1C, ∴异面直线 AB1 与 A1C 所成的角为 90°. (8 分) (Ⅲ)设 A1C1 与平面 AA1B1 所成角为θ,∵ ,

设平面 AA1B1 的一个法向量是





不妨令 x=1,可得 ∴

, (10 分) ,

∴A1C1 与平面 AA1B1 所成角的正弦值

. (12 分)

点评: 本题考查直线与平面平行,异面直线所成的角,直线与平面所成的角的求法,考查 空间想象能力,计算能力. 26.在平面直角坐标系中,已知矩形 ABCD 的长为 2,宽为 1,AB、AD 边分别在 x 轴、y 轴的 正半轴上,A 点与坐标原点重合(如图所示) .将矩形折叠,使 A 点落在线段 DC 上. (Ⅰ)若折痕所在直线的斜率为 k,试写出折痕所在直线的方程; (Ⅱ)求折痕的长的最大值.

考点: 直线的一般式方程;直线的斜率. 专题: 计算题;应用题;压轴题. 分析: (I)因为折叠过程中,A 点落在线段 DC 上,特别的如果折叠后 AD 重合,这时候折 痕所在直线的斜率为 0,若 AD 不重合,这时候折痕所在直线的斜率不为 0,然后根据 A 点和 对折后的对应点关于直线折痕对称,我们可以求出直线方程. (II)同(I)的分析,我们要对痕所在直线的斜率分类讨论,斜率为 0 时,易得结论,斜 率不为 0 时,我们又要分折痕所在直线与矩形两边的交点在左右两边、上下两边、左下两边 三种情况讨论,本小题分类情况比较多,故解答要细心! 解答: 解: (I) (1)当 k=0 时,此时 A 点与 D 点重合,折痕所在的直线方程 y= . (2)当 k≠0 时,将矩形折叠后 A 点落在线段 CD 上的点为 G(a,1) (0<a≤2) , 所以 A 与 G 关于折痕所在的直线对称,有 kOG? k=﹣1, k=﹣1? a=﹣k. 故 G 点坐标为 G(﹣k,1) (﹣2≤k<0) . 从而折痕所在的直线与 OG 的交点坐标(线段 OG 的中点)为 M(﹣ , ) . 折痕所在的直线方程 y﹣ =k(x+ ) ,即 y=kx+ 由(1) 、 (2)得折痕所在的直线方程为: k=0 时,y= ;k≠0 时 y=kx+ + (﹣2≤k<0) . + (﹣2≤k<0) .

(II) (1)当 k=0 时,折痕的长为 2; (2)当 k≠0 时,①如下图,折痕所在的直线与边 AD、BC 的交点坐标为 N(0, (2,2k+ ) . ) ,P

这时,﹣2+

<k<0,y=PN =4+4k =4(1+k )∈(4,16(2﹣

2

2

2

) ) ) ,P(﹣ ,0) .

②如下图,折痕所在的直线与边 AD、AB 的交点坐标为 N(0,

这时,﹣1≤k≤﹣2+

,y=

+

=



y′= 令 y′=0 解得 k=﹣ ∵y=|k=﹣1=2,y= , = ,y

=

=16(2﹣

) ,

∴y∈[

,16(2﹣

)]

③如下图,折痕所在的直线与边 CD、AB 的交点坐标为 N(

,1) ,P(﹣

,0) .

这时,﹣2≤k<﹣1,y=PN = 综上述,ymax=16(2﹣ )

2

+1∈[ ,2) .

所以折痕的长度的最大值

=2(



) (≈2.07) .

点评: 分类讨论思想是中学的四大数学思想之一,利用分类讨论思想一方面可将复杂的问 题分解成若干个简单的问题, 另一方面恰当的分类可避免丢值漏解, 从而提高全面考虑问题 的能力,提高周密严谨的数学教养.但在针对本题的解答中,要注意分析所有的可能情况, 并要注意不重分,不漏分.


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