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山东省济宁市金乡一中2012-2013学年高一4月质检 数学 Word版含答案


金乡一中 2012—2013 学年高一 4 月质量检测 数学
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,满分 60 分,在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合要求的. 1.在等差数列 {a n } 中, a 2 ? 1 , a 4 ? 5 则 {a n } 的前 5 项和 S 5 =( A.7 B.15 C.20 D.25 2.若 sin A ? 2sin B cos C , 那么Δ ABC 是( ) A.直角三角形 B.等边三角形 C.等腰三角形 3.若 a ? b ,则不等式成立的是( A. a ? c ? b ? c B. ) C. b ? a ? 0
2



D.等腰直角三角形

1 1 ? a b

D.

a ?1 b


c 成等比数列,则函数 y ?ax 4.若 a、b、
A.0
2

? bx ? c 的图象与x轴的交点个数为 (
C.2 D.不能确定 )

B.1
2

5. 若 f ( x) ? 3x ? x ? 1 , g ( x) ? 2 x ? x ? 1 ,则 f ( x) 与 g ( x) 的大小关系为 ( A. f ( x) ? g ( x) B. f ( x) ? g ( x)
?

C. f ( x) ? g ( x)

D.随 x 值变化而变化

6.设数列 {an } 满足: 2an ? an ?1 (n ? N ) ,且前 n 项和为 S n ,则

S4 的值为( a2



A.

15 2

B.

15 4

C. 4

D. 2

7. 已知等差数列 ?an ? 的公差为 2 , 项数是偶数, 所有奇数项之和为 15 , 所有偶数项之和为 35 , 则这个数列的项数为( ) A. 19 B. 20 C. 21 D. 22 8.右图给出了一个“三角形数阵” 。已知每一列数成等差数列, 从 第 三 行 起 , 每 一 行 数 成 等 比 数 列 , 而 且 每 一 行 的 公 比 都 相 等 ,

记第 i 行第 j 列的数为 A.

aij ( i、j ? N * ) ,则 a53 的值为(
B.

) D.

1 16

1 8


C.

5 16

5 4

9.下列哪个函数的最小值为 3(

-1-

A. y ? x ? C. y ?

1 , ( x ? 0) B. y ? log 2 ( x 2 ? 16) x
2

x 2 +3 x +2

D. y ? x ?

1 ( x ? 1) x ?1
n

10. 已知数列 ? an ? 的前 n 项和 S n ? 2 ? 1, 则 ? an ? ( ) A.一定是等差数列 B.一定是等比数列 C.或是等差数列,或是等比数列 D.既不是等差数列,也不是等比数列 11.一个等比数列前 11 项和为 10,前 33 项和为 70.则前 22 项和为( ) A.30 B.410 C.30 或 410 D. 30 或-20 12.已知等差数列 ? an ? 的前 n 项和为 Sn , a5 ? 5, S5 ? 15 , 则数列 ? ( ) B.

?

1 ? ? 的前 100 项和为 ? an an ?1 ?

100 A. 101

99 101

C.

99 100

D.

101 100

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分.

?x ? 1 2 ? 13.若 OA ? ( x, y ) ,其中实数 x, y 满足不等式组 ? x ? y ? 1 ? 0 ,则 OA 的最小值 ?2 x ? y ? 2 ? 0 ?
是 . 14.已知数列 {an }满足an ? an ?2 ? an ?1 (n ? 2, n ? N ) ,且 a1 ? 2, a2 ? 3 ,则 a 2013 ? ______. 15.在 ?ABC 中, sin A,sin B,sin C 依次成等比数列,则 B 的取值范围是 .

16.两千多年前,古希腊毕达哥拉斯学派的数学家曾经在沙滩上研究数学问题,他们在沙滩 上画点或用小石子来表示数,按照点或小石子能排列的形状对数进行分类,如图中的实心点 个数1,5,12,22,?,被称为五角形数,其中第1个五角形数记作 a1 ? 1 ,第2个五角形数记 作 a2 ? 5 ,第3个五角形数记作 a3 ? 12 ,第4个五角形数记作 a4 ? 22 ,?,若按此规律继续 下去,则 a5 ? , an ? .

22 5 12 1 三、解答题:本大题共 6 小题,满分 70 分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 17.(本小题满分 10 分) 已知数列{ an }为递增的等比数列,其中 a2 =9, a1 +a3 =30 。 (1)求数列{ an }的通项公式;
-2-

(2)若 bn

? 2an ? 1 ,求数列{ bn }的前 n 项和 S n

18. (本小题满分12分) 已知函数 f ( x) ? 的面积为

3 (1 ? cos x) ? sin x ,在 ?ABC 中, AB ? 3, f (C ) ? 3 ,且 ?ABC

3 , 2 (1)求 C 的值; (2)求 sin A ? sin B 的值.

19.(本小题满分 12 分) 已知等差数列{ an }各项都不相同,前 3 项和为 18,且 a1 、 a3 、 a7 成等比数列 (1)求数列{ an }的通项公式; (2) 若数列 {bn }满足bn ?1 ? bn ? an (n ? N ), 且b1 ? 2, 求数列 {
*

1 }的前n项和Tn 。 bn

20. (本小题满分 12 分) 若关于 x 的一元二次不等式 ax ? bx ? c ? 0 的解集为 {x | x ?
2

1 1 或 x ? } ,求关于 x 的不等式 3 2

cx2 ? bx ? a ? 0 的解集.

21.(本小题满分 12 分)

如图,A,B 是海面上位于东西方向相距 5 3 ? 3 海里的两个观测点,现位 于 A 点北偏东 45°,B 点北偏西 60°的 D 点有一艘轮船发出求救信号,位

?

?

-3-

于 B 点南偏西 60°且与 B 点相距 20 3 海里的 C 点的救援船立即即前往营救,其航行速度为 30 海里/小时,该救援船到达 D 点需要多长时间?

22. (本小题满分 12 分)

已知数列 ? an ? 是各项均不为 0 的等差数列,公差为 d , S n 为其前 n 项和,且满足

2 an ? S2 n ?1 , n ? N* .数列 ?bn ? 满足 bn ?

1 , Tn 为数列 ?bn ? 的前 n 项和. an ? an ?1

(1)求 a1 、 d 和 Tn ; (2)若对任意的 n ? N* ,不等式 ?Tn ? n ? 8 ? (?1) n 恒成立,求实数 ? 的取值范围; (3)是否存在正整数 m, n (1 ? m ? n) ,使得 T1 , Tm , Tn 成等比数列?若存在,求出所有 m, n 的值;若不存在,请说明理由.

参考答案: 1-5 BCCAA 6-10 ABCD B 11-12 DA

-4-

13. 5

14.

3 ? 15. (0, ] 2 3

16. 35 ,

3n 2 ? n 2

17.(1)设等比数列的公比为 q 又由已知

a2 =9, a1 +a3 =30

可得

9 1 ? 9q ? 30 ,解得 q ? 3或q ? q 3

由已知,数列为递增数列,所以可知 q ? 3 即 an ? a2 q (2)∵
n?2

? 9 ? 3n ?2 ? 3n
所以

bn ? 2an ? 1

S n ? (2 ? 31 ? 1) ? (2 ? 32 ? 1) ? ? ? (2 ? 3n ? 1) ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄ 7分 ? 2 ? (31 ? 32 ? ? 3n ) ? n 3(1 ? 3 ) ?n 1? 3 ? 3n ?1 ? n ? 3 ? 2?
n

┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄9 分

即数列{ bn }的前 n 项和 S n 为 3 18.解: (1) f ( x) ? 由 f (C ) ?

n ?1

? n?3

?? ? 3(1 ? cos x) ? sin x = 2 cos ? x ? ? ? 3 6? ?

3 ,得 2 cos(C ?

?
6

) ? 3 ? 3 ,得, 2 cos(C ?

?
6

)?0

∵ C ? ? 0, ? ? ,∴ C ? ∴C ?

?

?
6

?

?
2

? 7? ?( , ) 6 6 6
?
3 1 ab sin C 2

∴C ?

(2)由(1)知 C ?

?
3

,又∵ S? ABC ?



3 1 ? ? ab sin 2 2 3
2 2

∴ ab ? 2

由余弦定理得 3 ? a ? b ? 2ab cos ∴a ?b ? 5
2 2

?
3

? a2 ? b2 ? 2

∴a ?b ? 3

由正弦定理得

sin A sin B sin C 1 ? ? ? ???12 分 a b c 2

-5-

∴ sin A ? sin B ?

1 3 ( a ? b) ? 2 2

19.(1)依题意 a1 ? a2 ? a3 ? 18, 即3a2 ? 18, 解得a2 ? 6 设公差为 d,则可知d ? 0 由已知可得 a3 ? a1a7 , 即(6+d ) ? (6 ? d )(6 ? 5d )
2 2

解得 d ? 2 ∴ an ? a2 ? (n ? 2)d ? 2(n+1) (2)由已知 bn ?1 ? bn ? an ∴ 当n ? 2时,bn ? bn-1 ? an-1=2n

bn ?1 ? bn ?2 ? 2(n ? 1) ?
所以可知

b2 ? b1 ? 2 ? 2 b1 ? 2 ?1 将以上各式累加起来,得bn ? 2 ? (1 ? 2 ? ? ? n) ? n(n ? 1)

又 b1也满足bn ? n(n ? 1) 所以可知当 n ? N *,bn ? n(n ? 1) ∴

1 1 1 1 ? ? ? bn n(n ? 1) n n ? 1

所以 Tn ? 1 ?

1 1 1 1 1 n ? ? ??? ? ? 2 2 3 n n ?1 n ?1

? ? ?a ? 0 ?a ? 0 20.解:由题意知 ? 代入不等式 cx2 ? bx ? a ? 0 中得 ? b ? 5 ?1 1 ? ? ? ? ? ?b ? ? a ? 0 a ? 6 ?3 2 1 ?1 1 c ? ? ? c? a?0 ? ? 6 ?3 2 a ?

1 2 5 1 5 ax ? ax ? a ? 0(a ? 0)即 x 2 ? x ? 1 ? 0化? 得x 2 ? 5x ? 6 ? 0 6 6 6 6 ∴所求不等式的解集为 ? x | ?3 ? x ? ?2?
21.解:由题意知 AB=5(3+ 3)(海里), ∠DBA=90°-60°=30°,∠DAB=90°-45°=45°, ∴∠ADB=180°-(45°+30°)=105°. 在△DAB 中,由正弦定理得 = , sin∠DAB sin∠ADB ∴DB= =

DB

AB

ABsin∠DAB 5? 3+ 3? sin45° = sin∠ADB sin105°

5? 3+ 3? ·sin45° 5 3? 3+1? = =10 3(海里), sin45°cos60°+cos45°sin60° 3+1 2

-6-

又∠DBC=∠DBA+∠ABC=30°+30°=60°,BC=20 3 海里, 在△DBC 中,由余弦定理得

CD2=BD2+BC2-2BD·BC·cos∠DBC=3000+1 200-2×10 3×20 3× =900,
30 ∴CD=30(海里),则需要的时间 t= =1(小时). 30 ∴该救援船到达 D 点需要 1 小时.
2 ? ?a1 ? S1 , 22.解: (1)在 a ? S2 n ?1 中,令 n ? 1, n ? 2 ,得 ? 2 ? ?a 2 ? S 3 ,
2 n

1 2

2 ? ?a1 ? a1 , 即? 2 ? ?(a1 ? d ) ? 3a1 ? 3d ,

解得 a1 ? 1 , d ? 2 ,

? an ? 2n ? 1 .

? bn ?

1 1 1 1 1 ? ? ( ? ), an an ?1 (2n ? 1)(2n ? 1) 2 2n ? 1 2n ? 1

1 1 1 1 1 1 n . ?Tn ? (1 ? ? ? ? ? ? ? )? 2 3 3 5 2n ? 1 2n ? 1 2n ? 1
(2)①当 n 为偶数时,要使不等式 ?Tn ? n ? 8 ? (?1) n 恒成立,即需不等式

(n ? 8)(2n ? 1) 8 ? 2n ? ? 17 恒成立. n n 8 ∵函数 y ? 2 x ? ? 17 在 (0,2] 递减,在 [2,??) 递增 x 8 ∴当 n ? 2 时, 2n ? ? 17 取得最小值 25. ?此时 ? 需满足 ? ? 25 . 分 n

??

②当 n 为奇数时,要使不等式 ?Tn ? n ? 8 ? (?1) n 恒成立,即需不等式

(n ? 8)(2n ? 1) 8 ? 2n ? ? 15 恒成立. n n 8 8 ? 2n ? 是随 n 的增大而增大,?n ? 1 时 2n ? 取得最小值 ?6 . n n ?此时 ? 需满足 ? ? ?21. 综合①、②可得 ? 的取值范围是 ? ? ?21. 1 m n (3) T1 ? , Tm ? , , Tn ? 3 2m ? 1 2n ? 1

??

若 T1 , Tm , Tn 成等比数列,则 (

m2 n m 2 1 n ? ,即 . ) ? ( ) 2 4m ? 4m ? 1 6n ? 3 2m ? 1 3 2n ? 1

又 m ? N ,且 m ? 1,所以 m ? 2 ,此时 n ? 12 .

Tn ?中的 T1 , Tm , Tn 成等比数列. 因此,当且仅当 m ? 2 , n ? 12 时,数列 ?

-7-


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