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2019年河南省南阳市第一中学高三10月月考数学(文)试题及答案

高考数学精品复习资料
2019.5

本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共 150 分.考试时间 120 分钟.
第Ⅰ卷(共 60 分)
一、选择题:本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分。在每小题给出的四个选项中,只有一项 是符合题目要求的。
1.函数 f ? x? ? 3x2 ? lg(3x ?1) 的定义域为( )
1? x

A.

? ??

?

1 3

,

??

? ??

B.

? ??

?

1 3

,1???

C.

? ??

?

1 3

,

1 3

? ??

D.

? ??

??,

?

1 3

? ??

2.函数 f (x) ? 2x ? 18 ? 3x 的最大值为( )

A. 10

B. 2 3

C. 12 D. 15

3.函数 f ?x? ? loga ?6 ? ax? 在 ?0,2?上为减函数,则 a 的取值范围是(

A. ?0,1?

B. ?1,3?

C. ?1,3?


D. ?3,???

4.已知定义在 R 上的奇函数 f (x) ,满足 f (x ? 4) ? ? f (x) ,且在区间[0,2]上是增函数,则(

).

A. f (?25) ? f (11) ? f (80)

B. f (80) ? f (11) ? f (?25)

C. f (11) ? f (80) ? f (?25)

D. f (?25) ? f (80) ? f (11)

5.函数 f ? x? ? (1)x ? x 的零点所在的区间为( )
3

A. (0, 1) B. (1 , 1)

3

32

C. (1 ,1) 2

D. (1, 2)

6.定义运算 a ?b

?

?a, a ??b, a

? ?

b b

,如1? 2

? 1,令

f

(x)

?

2x

? 2?x

,则

f

(x)

为(

) ]BB

A.奇函数,值域 (0,1] C.非奇非偶函数,值域 (0,1]

B.偶函数,值域 (0,1] D.偶函数,值域 (0, ??)

7.已知 f (x) ? 3sin x ?? x ,命题 p : ?x ? (0, ? ), f (x) ? 0 ,则( ) 2

A. p 是假命题; ?p : ?x ? (0, ? ), f (x) ? 0 2

B.

p

是假命题;

?p

:

?x0

? (0,

? 2

),

f

( x0

)

?

0

C. p 是真命题; ?p : ?x ? (0, ? ), f (x) ? 0 2

D.

p

是真命题

?p

:

?x0

? (0,

? 2

),

f

( x0

)

?

0

8.若曲线 f (x) ? 1 x3 ? x2 ? mx 的所有切线中,只有一条与直线 x ? y ? 3 ? 0 垂直,则实数 m 的值 3
等于( )

A.0

B.2

C.0 或 2

D.3

11.已知曲

线方程 f(x)=sin2x+2ax(a∈R),若对任意实数 m,直线 l:x+y+m=0 都不是曲线 y=f(x)的切线,

则 a 的取值范围是( )

A.(- ? ,-1)∪(-1,0)

B.(- ? ,-1)∪(0,+ ? )

C.(-1,0)∪(0,+ ? )

D.a∈R 且 a≠0,a≠-1

12.定义域为[a, b] 的函数 y ? f (x) 图像的两个端点为 A 、 B , M (x, y) 是 y ? f (x) 图象上任意一

点,其中 x ? ?a ? (1? ?)b, ? ?[0,1] .已知向量 ON ? ?OA? (1? ?)OB ,若不等式 | MN |? k 恒

成立,则称函数 y ? f (x) 在[a, b] 上“ k 阶线性近似”.若函数 y ? x ? 1 在[1,2] 上“ k 阶线性近似”, x
则实数 k 的取值范围为( )

A.[0,??)

B.[ 1 ,??) 12

C.[ 3 ? 2,??) 2

D.[ 3 ? 2,??) 2

第Ⅱ卷(非选择题,共 90 分)
二、填空题:本大题共 4 个小题,每小题 5 分,共 20 分,把答案填写在答题纸中横线上。 13. 函数 y=-(x-3)|x|的递减区间是__________.

14. 若函数 f (x) ? ax (a ? 0, a ? 1) 在??2,1? 的最大值为 4,最小值为 m ,则实数 m
的值是

15.若函数 f (x) ? ex ? 2x ? a 在 R 上有两个零点,则实数 a 的取值范围是________.

x2 ? 2x ? 1

16.函数 f (x) ?

2 , x ?[1,??) 的最小值为______.

x

a ? b ? 0有 f (a) ? f (b) ? 0 恒成立. a?b
(1)判断 f (x) 在[-1,1]上是增函数还是减函数,并证明你的结论;
(2)若 f (x) ? m2 ? 2am ? 1, 对所有 x ?[?1,1],a ?[?1,1] 恒成立,求实数 m 的取值范围。
20. (本小题满分 12 分) 统计表明:某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量 y(升)关于行驶速度 x(千
米/小时)的函数解析式可以表示为 y ? 1 x3 ? 3 x ? 8 (0 ? x ? 120) ,已知甲、乙 128000 80
两地相距 100 千米。
⑴当汽车以 40 千米/小时的速度匀速行驶时,从甲地到乙地要耗油多少升? ⑵当汽车以多大的速度匀速行驶时,从甲地到乙地耗油最少?最少为多少升?

21.(本题满分 12 分)
已知函数 f (x) ? x3 ? x2 ? ax ? b . (1)若函数 f (x) 在 x ? 1处取得极值,且函数 f (x) 只有一个零点,求 b 的取值范围.
(2)若函数 f (x) 在区间 (?2,2) 上不是单调函数,求 a 的取值范围.

22.(本小题满分 12 分)

已知函数 f ?x? ? ln?2ax ?1?? x3 ? x2 ? 2ax?a ? R?
3
(Ⅰ)若 y ? f ?x? 在 ?3,??? 上为增函数,求实数 a 的取值范围;

(Ⅱ)当 a ? ? 1 时,方程 f ?1? x? ? ?1? x?3 ? b 有实根,求实数 b 的最大值.

2

3x

南阳一中 20xx 年秋期高三 10 月月考

数 学 试 题(文科)

1—5 BCBDB 6—10BDBAC 11—12 BD 二、填空题

13. (??, 0)和(3 , ??) 2

14. 1 或 1 15. (2 ? 2ln 2, ??) 16. 7 .

2 16

2

三、计算题

17.解:①若 1-a2=0,即 a=±1,

(ⅰ)若 a=1 时,f(x)= 6,定义域为 R,符合题意;

(ⅱ)当 a=-1 时,f(x)= 6x+6,定义域为[-1,+∞),不合题意. ②若 1-a2≠0,则 g(x)=(1-a2)x2+3(1-a)x+6 为二次函数.

由题意知 g(x)≥0 对 x∈R 恒成立,

∴???1-a2>0, ??Δ ≤0,

∴????? - (a1-<a1<)1(, 11a+5)≤0,

∴-151≤a<1.由①②可得-151≤a≤1.

设 x1 ? x2且x1, x2 ?[1,1], 则 ? x2 ?[?1,1] ? f (x) 是奇函数

? f (x1 ) ?

f (x2 ) ?

f (x1 ) ?

f (?x2 ) ?

f

( x1 x1

) ? f (?x2 ? (?x2 )

)

( x1

?

x2

)

由题设知

f

(x1 ) ? f (?x2 ) x1 ? (?x2 )

?

0且x1

?

x2

?

0时

?

f

(x1 ) ? f (?x2 ) x1 ? (?x2 )

( x1

?

x2 )

?

0



即 f (x1 ) ? f (x2 ) ? 0? f (x1 ) ? f (x2 ) ? f (x) 在[-1,1]上是增函数。

19. 解:(1)

(2)解法一:由(1)知, f (x) 在[-1,1]上是增函数,且 f (1) ? 1 ?| f (x) |? f (1) ? 1

要 f (x) ? m2 ? 2am ? 1 , 对 所 有 x ?[?1,1],a ?[?1,1] 恒 成 立 必 f (x)max ? 1 ? m2 ? 2am ? 1 成 立
?必m2 ? 2am ? 0,令g(a) ? ?2am ? m2 , 对a ?[?1,1], g(a) ? 0恒成立

只要 g(a) 最小值大于或等于 0.

(1)当 m ? 0时, g(a)是增函数 ,必g(?1) ? 2m ? m2 ? 0,? m ? ?2或m ? 0,由m ? 0,? m ? ?2

(2)当 m ? 0时, g(a) ? 0 恒成立

( 3 ) 当 m ? 0时, g(a)在[?1,1] 上 是 减 函 数 , 必 g(1) ? ?2m ? m2 ? 0,? m ? 0或m ? 2 ,

? m ? 0,?m ? 2 综上知, m ? ?2或m ? 0或m ? 2

解法二:令 g(a) ? ?2am ? m2 , 对a ?[?1,1], g(a) ? 0 恒成立 只要 g(a) 满足

?g(1) ? 0 ??g(?1) ? 0

?

??m 2 ???m 2

? ?

2m 2m

? ?

0 0

? m ? ?2或m ? 0或m ? 2

20. 解 : ⑴ 当 x ? 40 千 米 / 小 时 时 , 汽 车 从 甲 地 到 乙 地 行 驶 了 100 ? 2.5 小 时 , 要 耗 油 40

( 1 ? 403 ? 3 ? 40 ? 8) ? 2.5 ? 17.5 (升)

128000

80

⑵设速度为 x 千米/小时,汽车从甲地到乙地行驶了 100 小时,设耗油量为 h(x) 升,依题意得 x

h(x) ? ( 1 x3 ? 3 ? 8) ? 100 ? 1 x2 ? 800 ? 15

128000 80

2

1280

x4

h'(x) ? x ? 800 ? x3 ? 80 3 640 x 2 640 x 2

(0 ? x ? 120)

令 h'(x) ? 0 ,得 x ? 80

当 x ? (0,80) 时, h'(x) ? 0 , h(x) 是减函数,当 x ? (80,120) 时, h'(x) ? 0 , h(x) 是增函数

∴当 x ? 80 时, h(x) 取得极小值

此时 h(x) ? ( 1 ? 803 ? 3 ? 80 ? 8) ? 5 ? 45 ? 11.25 (升)

128000

80

44

答:当汽车以 80 千米/小时的速度匀速行驶时,从甲地到乙耗油量少,最少为 11.2 升

21.解(1) f ?(x) ? 3x2 ? 2x ? a ,由 f ?(1) ? 1? a ? 0 ? a ? ?1,

所以 f (x) ? x3 ? x2 ? x ? b , f ?(x) ? 3x2 ? 2x ?1 ? 3(x ?1)(x ? 1) 3

可知:当 x ? ? 1 时, f ?(x) ? 0 , f (x) 单增;当 ? 1 ? x ? 1时, f ?(x) ? 0 , f (x) 单减;

3

3

当 x ?1 时, f ?(x) ? 0 , f (x) 单增; 而 f (? 1) ? 5 ? b, f (1) ? ?1? b . 3 27

所 以 函 数 f (x) 只 有 一 个 零 点 ? 5 ? b ? 0 或 ?1? b ? 0 , 解 得 b 的 取 值 范 围 是 27

(??,? 5 ) ? (1,??) . 27

(2) f ?(x) ? 3x2 ? 2x ? a .由条件知方程 3x2 ? 2x ? a ? 0 在 R 上有两个不等的实根,且在 (?2,2) 至

少有一个根.所以 ? ? 4 ?12a ? 0 ? a ? 1 ; 3
由 ?x ?(?2,2), 使得: 3x2 ? 2x ? a ? 0 ? a ? ?3x2 ? 2x ? ?16 ? a ? 1 . 3
综上可知: a 的取值范围是 (?16, 1) . 3
22.解:(I)因为函数 f ?x? 在 ?3,??? 上为增函数,所以

? ? ? ? f ??x? ? x 2ax2 ? ?1? 4a?x ? 4a2 ? 2 ? 0 在 ?3,??? 上恒成立 2ax ?1
?当 a ? 0 时, f ??x? ? x?x ? 2? ? 0 在?3,??? 上恒成立,

所以 f ?x? 在 ?3,??? 上为增函数,故 a ? 0 符合题意

?当 a ? 0 时,由函数 f ?x? 的定义域可知,必须有 2ax ?1 ? 0 对 x ? 3 恒成立,故只能 a ? 0 ,所以

? ? 2ax2 ? ?1? 4a?x ? 4a2 ? 2 ? 0 在 ?3,??? 上恒成立

? ? 令函数 g?x? ? 2ax2 ? ?1? 4a?x ? 4a2 ? 2 ,其对称轴为 x ? 1? 1 ,因为 a ? 0 ,所以1? 1 ? 1,

4a

4a

要使 g?x? ? 0 在 ?3,??? 上恒成立,只要 g?3? ? 0 即可,

即 g?3? ? ?4a2 ? 6a ?1 ? 0 ,所以 3 ? 13 ? a ? 3 ? 13 因为 a ? 0 ,所以 0 ? a ? 3 ? 13 .综上所

4

4

4

述,a

的取值范围为

? ?0, ?

3

?

4

13

?
? ?


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