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2014届高考数学一轮必备考情分析学案:7.2《一元二次不等式及其解法》


7.2 一元二次不等式及其解法
考情分析
1.会从实际情景中抽象出一元二次不等式模型. 2.考查一元二次不等式的解法及其“三 个二次”间的关系问题. 3.以函数、导数为载体,考查不等式的参数范围问题.

基础知识
1.一 元二次不等式的解法 (1)将不等式的右边化为零,左边化为二次项系数大于零的不等式 ax2+bx+c> 0(a>0)或 ax2+bx+c<0(a>0). (2)求出相应的一元二次方程的根. (3)利用二次函数的图象与 x 轴的交点确定一元二次不等式的解集. 2.一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系 如下表: 判别式 Δ=b2-4ac 二次函数 y=ax2+ bx+c (a>0)的图 象 一元二次方程 ax2 +bx+c=0 (a>0) 的根 ax2+bx+c>0 (a >0)的解集 ax2+bx+c<0 (a >0)的解集
[来源:学,科,网]

Δ>0

Δ=0

Δ<0

有两相异实根 x1,x2(x1<x2)

有两相等实根 b x1=x2=-2a
? b? ?x|x≠- ? 2a? ?

没有实数根

{x|x>x2 或 x<x1}

R

{x|x1<x<x2}

?

?

注意事项 1.一元二次不等式 ax2+bx+c<0(a≠0)的解集的确定受 a 的符号、b2-4ac 的符 号的影 响,且与相应的二次函数、一元二次方程有密切联系,可结合相应的函

数 y=ax2+bx+c(a≠0)的图象, 数形结合求得不等式的解集. 若一元二次不等式 经过不等式的同解变形后,化为 ax2+bx+c>0(或<0)(其中 a>0)的形式,其对 应的方程 ax2+bx+c=0 有两个不等实根 x1,x2,(x1<x2)(此时 Δ=b2-4ac>0), 则可根据“大于取两边,小于夹中间”求解集. 2.(1)二次项系数中含有参数时,参数的符号影响不等式的解集;不要忘了二次项 系数是否为零的情况; (2)解含参数的一元二次不等式,可先考虑因式分解,再对根的大小进行分类讨 论;若不能因式分解,则可对判别式进行分类讨论,分类要不重不漏. 题型一 一元二次不等式的解法
[来源:学科网 ZXXK]

?2x+1,x≥1, 【例 1】设函数 f(x)=? 2 若 f(x0)>1,则 x0 的取值范围是( ?x -2x-2,x<1, A. (-∞,- 1)∪(1,+∞) B. (-∞,-1)∪[1,+∞) C. (-∞,-3)∪(1,+∞) D. (-∞,-3)∪[1,+∞) 答案:B ?x0≥1, ?x0<1, 解析:f(x0)>1?? 或? 2 ?x0≥1,或 x0<-1. ?2x0+1>1 ?x0-2x0-2>1 【变式 1】 函数 f(x)= 2x2+x-3+log3(3+2x-x2)的定义域为________.
2 ?2x +x-3≥0, 解析 依题意知? 2 ?3+2x-x >0,

)

3 ? ?x≤- 或x≥1, 2 解得? ? ?-1<x<3. ∴1≤x<3. 故函数 f(x)的定义域为[1,3). 答案 [1,3) 考向二 含参数的一元二次不等式的解法

【例 2】 7. 若不等式 x2+ax+4≥0 对一切 x∈(0,1]恒成立, 则 a 的取值范围是________.

答案:a≥-5 4 解析:由题意,分离参数后得, a≥-(x+ ),设 f(x)= x 4 -(x+ ), x∈(0,1], 则只要 a≥[f(x)]max 即可, 由于函数 f(x)在(0,1]上单调递增, 所以[f(x)]max x =f(1)=-5,故 a≥-5.

【训练 2】 解关于 x 的不等式(1-ax)2<1. 解 由(1-ax)2< 1,得 a2x2-2ax<0,即 ax(ax-2)<0, 当 a=0 时,x∈?. ? 2? 当 a>0 时,由 ax(ax-2)<0,得 a2x?x-a?<0, ? ? 2 即 0<x<a. 2 当 a<0 时,a<x<0. 综上所述:当 a = 0 时,不等式解集为空集;当 a > 0 时,不等式解集为
? ? ? 2 ?x?0<x< a ? ? ? ? ? ?;当 ? ? ? ? ? ?2 ? a<0 时,不等式解集为?x?a <x<0?. ? ? ? ? ?

题型三

不等式恒成立问题

【例 3】?已知不等式 ax2+4x+a>1-2x2 对一切实数 x 恒成立,求实数 a 的取 值范围. 解 原不等式等价于(a+2)x2+4x+a-1>0 对一切实数恒成立, 显然 a=-2 时, 解集不是 R,因此 a≠-2, ?a+2>0, 从而有? 2 ?Δ=4 -4?a+2??a-1?<0, ?a>-2, ?a>-2, 整理,得? 所以? ??a-2??a+3?>0, ?a<-3或a>2, 所以 a>2. 故 a 的取值范围是(2,+∞). 【变式 3】 已知 f(x)=x2-2ax+2(a∈R),当 x∈[-1,+∞)时,f(x)≥a 恒成立, 求 a 的取值范围. 解 法一 f(x)=(x-a)2+2-a2,此二次函数图象的对称轴为 x=a.

①当 a∈(-∞,-1)时,f(x)在[-1,+∞)上单调递增, f(x)min=f(-1)=2a+3.要使 f(x)≥a 恒成立, 只需 f(x)min≥a, 即 2a+3≥a,解得-3≤a<-1; ②当 a∈[-1,+∞)时,f(x)min=f(a)=2-a2, 由 2-a2≥a,解得-1≤a≤1. 综上所述,所求 a 的取值范围为[-3,1]. 法二 令 g(x)=x2-2ax+2-a,由已知,得 x2-2ax+2-a≥0 在[-1,+∞)上 恒成立, Δ>0, ? 即 Δ=4a2-4(2-a)≤0 或?a<-1, ?g?-1?≥0. 解得-3≤a≤1. 所求 a 的取值范围是[-3,1]. 重难点突破 【例 4】设函数 f(x)=(x-a)2ln x,a∈R. (1)若 x=e 为 y=f(x)的极值点,求实数 a; (2)求实数 a 的取值范围,使得对任意的 x∈(0,3e],恒有 f(x)≤4e2 成立. 注:e 为自然对数的底数. ?x-a?2 a [解 析] (1)求导得 f′(x)=2(x-a)ln x+ x =(x-a)(2ln x+1- x ). a? ? 因为 x=e 是 f(x)的极值点,所以 f′(e)=(e-a)?3-e?=0,解得 a=e 或 a=3e. ? ? 经检验,符合题意,所以 a=e 或 a=3e (2)①当 0<x≤1 时,对于任意的实数 a,恒有 f(x)≤0<4e2 成立. ②当 1<x≤3e 时,由题意,首先有 f(3e)=(3e-a)2ln(3e)≤4e2, 解得 3e- 2e 2e ≤a≤3e+ ln?3e? ln?3e?

a? ? 由(1)知 f′(x)=x-a?2ln x+1-x?. ? ? a 令 h(x)=2ln x+1-x ,则 h(1)=1-a<0,h(a)=2ln a>0,

a 且 h(3e)= 2ln(3e)+1 - 3e≥2 ln(3e)+1 -

3e+

2e 1 ? ln?3e? ? ?ln 3e- ? > 0. 又 = 2 3e 3 ln 3e? ?

h(x)在(0,+∞)内单调递增,所以函数 h(x)在(0,+∞)内有唯一零点,记此零点 为 x0,则 1<x0<3e,1<x0<a. 从而,当 x∈(0,x0)时,f′(x)>0;当 x∈(x0,a)时,f′(x)<0;当 x∈(a,+∞) 时,f′(x)>0.即 f(x)在(0,x0)内单调递增,在(x0,a)内单调递减,在(a,+∞) 内单调递增. 所以要使 f(x)≤4e2 对 x∈(1,3e]恒成立,只要
2 2 ?f?x0?=?x0-a? ln x0≤4e ,?1? ? 成立. 2 2 ?f?3e?=?3e-a? ln?3e?≤4e ,?2?

a 由 h(x0)=2ln x0+1-x =0,知 a=2x0ln x0+x0.(3)
0 3 2 将(3)代入(1)得 4x2 注意到函数 x2ln3x 在(1, + ∞)内单调递增, 0ln x0≤4e .又 x0>1,

故 1<x0≤e. 再由(3)以及函数 2xln x+x 在(1,+∞)内单调递增,可得 1<a≤3e. 由(2)解得,3e- 所以 3e- 2e 2e ≤a≤3e+ . ln?3e? ln?3e?

2e ≤a≤3e. ln?3e? 2e ≤a≤3e. ln?3e? 巩固提高

综上,a 的取 值范围为 3e-

一、选择题 1.已知集合 M={y|y=2x,x>0},N={x|y=lg(2x-x2)},则 M∩N 为( A. (1,2) C. [2,+∞) 答案:A 解析:集合 M={y|y>1},集合 N={x|0<x<2},所以 M∩N=(1,2). 2. 不等式 x2-4>3|x|的解集是( A. (-∞,-4)∪(4,+∞) ) B. (1,+∞) D. [1,+∞) )

B. (-∞,-1)∪(4,+∞) C. (-∞,-4)∪(1,+∞) D. (-∞,-1)∪(1,+∞) 答案:A 解析:∵|x|2-3|x|-4>0, ∴(|x|-4)(|x|+1)>0, ∴|x|>4,x>4 或 x<-4,选 A 项. 3. 在 R 上定义运算?:x?y=x(1-y).若不等式(x-a)?(x-b)>0 的解 集是 (2,3),则 a+b=( A. 1 C. 4 答案:C 解析:(x-a)?(x-b)>0,即(x-a)[1-(x-b)]>0,即(x-a)[x-(b+1)]<0,该 不等式的解集为[2,3], 说明方程(x-a)[x-(b+1)]=0 的两根之和等于 5, 即 a+b +1=5,故 a+b=4. 4.不等式 x-2 <0 的解集为( x2-1 ) ) B. 2 D. 8

A. {x|1<x<2} B. {x|x<2 且 x≠1} C. {x|-1<x<2 且 x≠1} D. {x|x<-1 或 1<x<2} 答案:D 解析:(x-2)(x2-1)<0, (x+1)(x-1)(x-2)<0, 数轴标根可得,x<-1 或 1<x<2,故选 D 项. 5.已知(a2-1)x2-(a-1)x-1<0 的解集是 R,则实数 a 的取值范围是( )

3 A. a<-5或 a>1 3 C. -5<a≤1 或 a=-1 答案:D
[来源:Z.xx.k.Com]

3 B. -5< a<1 3 D. -5<a≤1
[来源:学*科*网]

解析:①当 a=1 时,原不等式化为-1<0,恒成立, 故 a=1 符合题意. ②当 a=-1 时,原不等式化为 2x-1<0,不恒成立, ∴a=-1 不合题意. ③当 a2-1≠0 时,依题意,有
2 ?a -1<0, ? 2 2 ?Δ=[-?a-1?] +4?a -1?<0.

3 解得-5<a<1. 3 综合①②③可知,a 的取值范围是-5<a≤1.


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