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5-1.3.1柱体、锥体、台体的表面积与体积


1.3.1 柱体、锥体、台体的表面积与体积 一、教学目标
重点: 柱体、锥体、台体的表面积与体积公式及其应用. 难点:台体的表面积与体积公式的推导. 知识点:通过对柱体、锥体、台体的研究,了解柱体、锥体、台体的表面积与体积的求法. 能力点:根据柱体、锥体、台体的结构特征,并结合它们的展开图,推导它们的表面积计算公式,从度 量的角度认识几何体. 教育点:使学生通过表面积和体积公式的探究过程,体会数学的转化和类比的思想,培养学生用联系的 观点认识问题. 自主探究点:圆台表面积公式和台体体积公式的推导过程及台体、柱体和锥体之间的转换关系. 考试点:根据公式计算相关几何体的表面积与体积. 易错易混点:求组合体的表面积和体积. 拓展点:祖暅原理与柱体、锥体的体积.

二、引入新课
多媒体放映蒙古包照片. 蒙古包下半部分呈圆柱形,上半部分呈锥形,搭建蒙古包时有一道非常重要的工序是压围毡,假设你 是建筑师傅,请问你该裁剪多少平方米的围毡 ? 【师生活动】通过求蒙古包表面积来确定围毡的多少,如何来求它们的表面积呢? 【设计意图】让学生认识到本节知识是与人们的生活实际相联系的,通过对熟知物体的认识,加深他们对 几何图形的理解,激发学生探索新知识的求知欲.

三、探究新知
在初中,我们已经学习了正方体和长方体的表面积,以及它们的展开图(如下) ,你知道上述几何体 的展开图与其表面积的关系吗 ?

正方体及其展开图 长方体及其展开图 学生:正方体和长方体是由多个平面图形围成的多面体,它们的表面积就是各个面的面积的和,也就 是展开图的面积. 探究(一)棱柱、棱锥、棱台的表面积 问题:棱柱、棱锥、棱台也是由多个平面图形围成的多面体,它们的展开图是什么?如何计算它们的表面 积? 1.直棱柱的侧面展开图及侧面积 直棱柱的侧面展开图是矩形,例如:直六棱柱的展开图(如下图 1)所示.设棱柱高为 h ,底面多边形 的周长为 C , 则得到直棱柱侧面积公式: 即直棱柱的侧面积等于它的底面周长和高的乘积. 2. S直棱柱侧 =Ch , 正棱锥的侧面展开图及侧面积 正棱锥的侧面展开图是一些全等的等腰三角形,例如:正三棱锥的展开图(如下图 2)所示.设正 n 棱 锥底面正多边形的边长为 a ,底面周长为 C ,斜高为 h ?,则正 n 棱锥的侧面积计算公式为:
1

1 1 S正棱锥侧 = nahⅱ = Ch ,即正棱锥的侧面积等于它的底面周长和斜高乘积的一半. 2 2
3.正棱台的侧面展开图及侧面积 正棱台的侧面展开图是一些全等的等腰梯形,例如:正三棱台的展开图(如下图 3)所示.设正 n 棱台 的上底面、下底面边长分别为 a ?、 a ,对应周长分别为 C ?、 C ,斜高为 h ?,则正 n 棱台的侧面积计算公 式为: S正棱台侧 =

1 1 n( a + a ⅱ )h = (C + C ⅱ )h ,即正棱台的侧面积等于它的上、下底面周长之和与斜高乘 2 2

积的一半,本结果也可以用求两个正棱锥侧面积之差的方法得出. 结论:棱柱、棱锥、棱台的表面积(或全面积)等于侧面积与底面积的和.



1

图2 图3 一般地,我们可以把多面体展成平面图形,利用平面图形求面积的方法,求多面体的表面积. 例 1.已知棱长为 a ,各面均为等边三角形的四面体 S - ABC ,求它的表面积. 分析:由于四面体 S - ABC 的四个面是全等的等边三角形,所以四面体的表面积等于其中任何一个 面面积的 4 倍. 解:先求△ SBC 的面积,过点 S 作 SD ^ BC ,交 BC 于点 D . 因为 BC = a , SD =

SB 2 - BD 2 =

骣 a÷ 3 a2 - ? = a, ÷ ? ÷ ? 桫 2 2

2

所以 SD SBC =

1 BC ?SD 2

1 3 a? a 2 2

3 2 a 4
3 2 a 4 3a 2 .

因此,四面体 S - ABC 的表面积 S = 4?

【设计意图】通过具体实例让学生体会多面体表面积的求法. 练习:1.已知正四棱锥底面正方形的边长为 4 cm ,高与斜高的夹角为 30? ,求正四棱锥的侧面积和表 面积. 解:如图,正四棱锥的高 PO ,斜高 PE ,底面边心距 OE 组成 Rt? POE.

? OE = 2cm,? OPE 30?, OE \ PE = = 4cm. sin 30? 1 \ S侧 = 创4 4? 4=32cm 2,S表 =S侧 +S底 =32+16=48cm 2 . 2
【设计意图】让学生体会求正棱锥的侧面积的关键是求侧面等腰三 角形的高(称为斜高),这就需要充分利用棱锥的高、边心距(底面中心到各边的距离)和斜高所构成的 直角三角形来求解. 探究(二)圆柱、圆锥、圆台的表面积
2

问题 1:如何根据圆柱、圆锥的几何结构特征,求它们的表面积 ? 【师生活动】对于圆柱、圆锥、圆台等旋转体,其底面是平面图形(圆形) ,其侧面是曲面,需要按一定 规则展开成平面图形进行面积的计算,最终得到这些几何体的表面积. 1.圆柱的表面积 圆柱的侧面展开图是一个矩形(如下图) ,其长是圆柱底面圆的周长,其宽是圆柱的高(母线).

如果圆柱的底面半径为 r ,母线长为 l ,那么圆柱的底面面积为 p r 2 ,侧面面积为 2p rl .因此圆柱的表 面积 S = 2p r 2 + 2p rl = 2p r (r + l ) . 2.圆锥的表面积 圆锥的侧面展开图为一个扇形(如下图) ,其半径是圆锥的 母线,其弧长等于圆锥底面圆的周长.

如果圆锥的底面半径为 r ,母线长为 l ,由扇形面积公式 s = 圆锥侧面展开图的面积为 s = 3.圆台的表面积 问题 2:

1 rl ( r 为扇形半径,l 为扇形弧长) ,得 2

1 l ? 2p r 2

p rl ,所以圆锥的表面积 S = p r 2 + p rl = p r (r + l ) .

(1)联系圆柱和圆锥的展开图,你能想象圆台展开图的形状,并且画出它吗 ? ,r ,母线长为 l ,你能计算出它的表面积吗 ? (2)如果圆台的上、下底面半径分别为 r ? 圆台的侧面展开图是一个扇环(如下图) ,那么扇环面积为大扇形面积减去小扇形面积,从而只要求出

A?即可. 小扇形半径 O ⅱ

3

课堂实录:对于圆台表面积的求解,学生在根据三角形相似列比例式时容易出错,比如有学生列出的比例 式是

rⅱ O ⅱ A = ,针对上述情况实际教学时,可以将学生写的解答过程在展台上展示,通过提问“对应边 r l r? l rⅱ O ⅱ A A?= ,那么 O ⅱ , = r - r? r Oⅱ A?+ l 骣r l rⅱ l 鼢 2 ⅱ 所以圆台表面积 S = p (r ⅱ p r = p rl + p r l , + r 2 + r l + rl ) . 鼢 鼢 r rⅱ ? r- r ?

是谁”来纠正错误. 【师生活动】根据相似三角形得: 从而扇环面积为:p r 珑 l+ 珑

骣 珑 ?

思考:圆柱、圆锥、圆台的表面积计算公式有何关系 ?

r? =0 S 圆锥表面积 = p r (r + l )
2 S圆台表面积 = p (r ⅱ + r 2 + r l + rl )

r? =r

S圆柱表面积 = 2p r (r + l )

例 2.如图,一个圆台形花盆盆口直径为 20 cm ,盆底直径为 15 cm ,底部 渗水圆孔直径为 1.5 cm , 盆壁长 15 cm . 为了美化花盆的外观, 需要涂油漆. 已 知每平方米用 100 毫升油漆,涂 100 个这样的花盆需要多少油漆( p 取 3.14, 结果精确到 1 毫升,可用计算器) ? 分析:只要求出每一个花盆外壁的表面积,就可求出油漆的用量.而花盆外壁的表面积等于花盆的侧面面 积加上底面面积,再减去底面圆孔的面积. 解:由圆台的表面积公式得一个花盆外壁的表面积

15 15 20 1.5 S = p [( ) 2 + ? 15 ? 15] p ? ( ) 2 2 2 2 2 2 2 ? 1000(cm ) 0.1(m )
100 100 = 1000 (毫升). 涂 100 个花盆需油漆: 0.1创 答:涂 100 个这样的花盆约需要 1000 毫升油漆. 【设计意图】通过日常生活中的实例解决具体的几何体的表面积问题,考察学生的日常生活观察能力、空 间想象能力及实际应用公式能力,同时让学生熟悉半径、母线的含义,另外还要注意单位的换算. 练习:2.教材 P27 练习 1. (让学生上黑板板书演算过程)
答案:

2 3ap m . 3p
4

【设计意图】让学生进一步巩固圆锥表面积的求法,体会空间问题平面化的数学思想. 探究(三)柱体、锥体、台体的体积 问题 3:回顾长方体、正方体和圆柱(如下图)的体积公式,你能将它们统一成一种形式吗 ?并依次类比 出柱体的体积公式 ?

【师生活动】 1.棱长为 a 的正方体的体积 V = a = a a = Sh ; 长方体的长、宽和高分别为 a,b,c, 其体积为 V = abc = (ab)c = Sh ; 底面半径为 r ,高为 h 的圆柱的体积是 V = p r h = Sh , 可以类比,一般柱体的体积也是 V = Sh ( S 为底面面积, h 为高). 注:棱柱(圆柱)的高是指两底面之间的距离,即从一底面上任意一点向另一个底面作垂线,这点与垂足 (垂线与底面的交点)之间的距离.
2 3 2

1 1 Sh ( S 为底面面积, h 为高) ,它是同底等高的圆柱的体积的 . 3 3 1 1 棱锥的体积也是同底等高的棱柱体积的 ,即棱锥的体积 V = Sh ( S 为底面面积, h 为高). 3 3
2.圆锥的体积公式是 V = 由此可见,棱柱与圆柱的体积公式类似,都是底面面积乘高;棱锥与圆锥的体积公式类似,都是底面面积 乘高的

1 . 3

注:棱锥(圆锥)的高是指从顶点向底面作垂线,顶点与垂足(垂线与底面的交点)之间的距离(如下图).

3.由于圆台(棱台)是由圆锥(棱锥)截成的,因此可以利用两个锥体的体积差,得到圆台(棱台)的体 积公式 V =

1 (S ⅱ + 3

,S 分别为上、下底面面积, h 为圆台(棱台)高. S S + S )h ,其中 S ?

注:圆台(棱台)的高是指两个底面之间的距离. 思考 1:台体的体积公式你能够证明吗 ?

O ?= x ,上下底面的半径分别为 r ?和 r ,圆台的上下底面积分别为 S ?和 分析(以圆台为例) :如图,设 O ⅱ S.

5

x rⅱ ? = = x+ h r

S? p = S p

S \ x= S

h S? SS?
O''

\ V台 = = = = = =

1 1 S (h + x)- S ? x 3 3 1 1 1 Sh + Sx- S ? x 3 3 3 1 1 Sh + ( S -S ? )x 3 3 1 1 h S? Sh + ( S -S ? ) 3 3 S - S? 1 1 Sh + ( S + S ⅱ )h S 3 3 1 (S ⅱ + S S + S )h 3

o'


r' o r

l

思考 2:比较柱体、锥体、台体的体积公式: ; V柱体 = Sh ( S 为底面积, h 为柱体高)

V锥体 =

1 Sh ( S 为底面积, h 为锥体高) ; 3 1 ,S 分别为上、下底面面积, h 为台体高). V台体 = ( S ⅱ + S S + S )h ( S ? 3

你能发现三者之间的关系吗 ?柱体、锥体是否可以看作“特殊”的台体 ? 其体积公式是否可以看作台体体积公式的“特殊”形式 ?

S ?= S

V柱体 = Sh

V台体 =

1 (S ⅱ + 3

S S + S )h

S ?= 0
V锥体 =

1 Sh 3

四、理解新知
1.多面体的侧面积与体积的计算 在掌握直棱柱、正棱锥、正棱台侧面积公式及其推导过程的基础上,对于一些较简单的几何组合体的 表面积与体积,能够将其分解成柱体、锥体、台体,再进一步分解为平面图形(正多边形、三角形、梯形 等) ,以求得其表面积与体积,要注意一些性质的灵活运用. 2.旋转体的表面积和体积的计算 (1)圆柱、圆锥、圆台的侧面积分别是它们侧面展开图的面积,因此弄清侧面展开图的形状及侧面展开 图中各线段与原旋转体的关系是掌握它们的侧面积公式及解决有关问题的关键. (2)计算旋转体中的柱体、锥体、台体的体积,关键是根据条件找出相应的底面面积和高,要充分运用 旋转体的轴截面,将空间问题转化为平面问题.

五、运用新知
6

例 3.有一堆规格相同的铁制(铁的密度是 7.8 g / cm3 )六角螺帽(如图)共重 5.8 kg ,已知底面是正六边 形,边长为 12 mm ,内孔直径为 10 mm ,高为 10 mm ,问这堆螺帽大约有多少个( p 取 3.14,可用计算 器)? 分析:六角螺帽表示的几何体是一个组合体,在一个六棱柱中间挖去一 个圆柱,因此它的体积等于六棱柱的体积减去圆柱的体积. 解:六角螺帽的体积是六棱柱的体积与圆柱体积的差,即:

V=

3 10 创 122 6? 10 3.14创( ) 2 10 4 2 3 ? 2956(mm )

= 2.956(cm3 )
所以螺帽的个数为

5.8锤 1000

(7.8椿 2.956)

252 (个).

答:这堆螺帽大约有 252 个. 【设计意图】 让学生了解正六棱柱的结构特征, 熟悉正六边形的特点及其求正六边形面积的方法 (分割法) , 如何求组合体的体积. 练习:3.教材 P27 练习 2. 答案:电镀 10000 个零件约需锌 1.74 kg .

六、课堂小结
本节课我们学习了哪些知识,现在你知道本节开始提出的蒙古包的表面积如何计算了吗?又涉及到哪 些数学思想方法呢? 知识: 1.柱体、锥体、台体的表面积: (1)多面体:各面面积之和(空间问题化为平面问题) (2)圆柱、圆锥、圆台的表面积公式:

2.柱体、锥体、台体的体积:

思想:将空间问题平面化.
7

【设计意图】引导学生从知识内容和思想方法两个方面进行小结,帮助学生梳理知识结构,同时让学生理 解空间几何体的表面积和体积的求法,这样既可以使学生完成知识建构,又可以培养其能力.

七、布置作业
必做题:教材 P28 习题 1.3 A 组 1、5. 选做题: 1.阅读教材 30 页“探究与发现”. 2.图中的几何体是一棱长为 4 厘米的正方体, 若在它的各个面的中心位置上, 各打一个直径为 2 厘米, 深为 1 厘米的圆柱形的孔,求打孔后几何体的表面积是多少( p 取 3.14)?
C' D' A' B'

B D A

【设计意图】阅读教材的探究与发现可以拓展学生的知识面,提高数学素养,并让学生巩固加深所学内容 并灵活运用,同时强化训练组合体的表面积和体积.

八、教后反思
本节课根据柱体、锥体、台体的结构特征,结合它们的展开图,通过“思考”、“探究”等活动,让 学生看图、分析,推导它们的表面积和体积计算公式,让学生体会由“特殊到一般”认识规律,体会数学 的转化和类比的思想,培养学生用联系的观点认识问题.在作业设置中安培学生阅读教材中的“探究与发 现”——祖暅原理与柱体、锥体、球体的体积,意在提高学生的数学素养,激发学生的求知欲望 .在圆台 表面积公式和台体体积公式的推导上会花费较多时间,教师可以给学生提供一个思路,供学有余力的学生 课下完成.

九、板书设计
1.3.1 柱体、锥体、台体的表面积与体积 一.棱柱、棱锥、棱台的表面积 二.圆柱、圆锥、圆台的表面积 三.柱体、锥体、台体的体积

例1

例2

例3

练习 1

练习 2

练习 3

8



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