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高中数学新人教a版必修5习题 3.1 不等关系与不等式

不等关系与不等式 A组 基础巩固 ) 1.已知 c<d,a>b>0,下列不等式中必成立的一个是( A.a+c>b+d B.a-c>b-d a b C.ad<bc D. > c d 解析:∵c<d,∴-c>-d.又∵a>b>0,∴a-c>b-d.故选 B. 答案:B 2.下列说法正确的个数为( ) ①若 a>|b|,则 a2>b2;②若 a>b,c>d,则 a-c>b-d;③若 a>b,c>d,则 c c ac>bd;④若 a>b>0,c<0,则 > . a b A.1 C.3 B.2 D.4 解析:①∵a>|b|≥0,∴a2>b2 成立,∴①正确; ②取 a=2,b=1,c=3,d=-2,则 2-3<1-(-2),故②错误; ③取 a=4,b=1,c=-1,d=-2,则 4×(-1)<1×(-2),故③错误; 1 1 c c ④∵a>b>0,∴0< < 且 c<0,∴ > , a b a b ∴④正确. 答案:B 3. 若 x≠2 且 y≠-1, 则 M=x2+y2-4x+2y 的值与-5 的大小关系是( A.M>-5 B.M<-5 ) C.M=-5 D.不能确定 解析:M-(-5)=x2+y2-4x+2y+5=(x-2)2+(y+1)2,∵x≠2 且 y≠-1, ∴(x-2)2+(y+1)2>0,∴M>-5.故选 A. 答案:A 4.设 a>b>1,c<0,给出下列三个结论: c c ① > ;②ac<bc;③logb(a-c)>loga(b-c). a b 其中所有的正确结论的序号是( A.① B.①② ) C.②③ D.①②③ 1 1 c c 解析:由 a>b>1,c<0 得 < , > ;幂函数 y=xc(c<0)是减函数,所以 ac<bc; a b a b 因为 a-c>b-c,所以 logb(a-c)>loga(a-c)>loga(b-c),①②③均正确,选 D. 答案:D 5.若 a<b<c,则 A.正数 1 + 的值为( c-b a-c 1 ) B.负数 C.非正数 D.非负数 解析: 1 c-b + = a -c 1 a-c+c-b c-b a-c = a-b c-b a-c . ∵a<b<c,∴c-b>0,a-c<0,a-b<0, ∴ a-b c-b a -c >0. 答案:A 6.若 a>1,且 m=loga(a2+1),n=loga(a-1),p=loga(2a),则 m,n,p 的 大小关系为( A.n>m>p C.m>n>p ) B.m>p>n D.p>m>n 解析:∵a>1,∴a2+1>2a,2a>a-1. 已知 m=loga(a2+1),n=loga(a-1),p=loga(2a), ∴m、n、p 的大小关系为 m>p>n. 答案:B 1 1 7.若 1< < ,则有如下结论: a b ①logab>logba;②|logab+logba|>2;③(logba)2<1;④|logab|+|logba|>|logab +logba|. 其中,正确的结论是________(填序号). 1 1 解析:用特殊值法.由 1< < ,知 0<b<a<1. a b 1 1 1 令 a= ,b= ,则 logab=2,logba= . 2 4 2 可判定①②③均正确,④不正确. 答案:①②③ a 8.已知 12<a<60,15<b<36,则 a-b 的取值范围为________, 的取值范围为 b ________. 1 解析:由 b 的范围,可求-b 的范围, 的范围,再由不等式性质,可求 a-b b a 的范围, 的范围. 由 15<b<36? b -36<-b<-15,? ? ??-24<a-b<45.由 15<b<36 ? 12<a<60 ? ? 1 1 1 ? ?1 ? < < ,? 1 a a 36 b 15 ?? < <4.∴a-b, 的取值范围分别为(-24,45),? ,4?. ?3 ? 3 b b ? ? 12<a<60 ? ? ?1 ? ? ? 答案:(-24,45) ? ,4? ?3 ? 9.(1)设 m≠n,x=m4-m3n,y=n3m-n4,比较 x 与 y 的大小; (2)已知 a>0 且 a≠1,P=loga(a3+1),Q=loga(a2+1),比较 P 与 Q 的大小. 解: (1)x-y=(m4-m3n)-(n3m-n4)=m3(m-n)-n3(m-n)=(m-n)(m3-n3) =(m-n)2(m2+mn+n2). ∵m≠n,∴(m-n)2>0. ? 又∵m2+mn+n2= m+ ? ? ? 2 n? ?2 3n + >0, 2? 4 ? ∴(m-n)2(m2+mn+n2)>0, ∴x-y>0,∴x>y. (2)P-Q=loga(a3+1)-loga(a2+1)=loga 当 a>1 时,a3+1>a2+1, a3+1 a3+1 ∴ 2 >1,∴loga 2 >0; a +1 a +1 当 0<a<1 时,a3+1<a2+1, a3+1 . a2+1 a3+1 a3+1 ∴ 2 <1,∴loga 2 >0. a +1 a +1 综上可知,当 a>0 且 a≠1 时,P-Q>0,即 P>Q. 10.已知 a>b>c>0,求证: b - = a-b a-c b b c > > . a-b a-c a-c b a-b b-c b c b-c , - = .又 a>b>c>0, a -c a-c a-c a-c b a-b b-c a-c >0, b-c a-c >0,即 - a-b b b 证明: 因为 则 a-c>0,a-b>0,b-c>0,所以 b a-c b >0, c b b c - >0,所以 > > . a-c a-c a-b a-c a-c 能力提升 ) B组 11.若 d>0,d≠1,m,n∈N*,则 1+dm+n 与 dm+dn 的大小关系是( A.1+dm+n>dm+dn B.

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