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2014届高三数学一轮复习专讲专练 :6.3 等比数列及其前n项和


双基限时练?
巩固双基,提升能力 一、选择题 1.(2012· 安徽)公比为 2 的等比数列{an}的各项都是正数,且 a3a11=16,则 log2a10=( A.4 ) B.5
?

C.6
?

D.7

?a10? 解析:由题意得 a3a11=a2=? 23 ?2=16?a10=25,故 log2a10=5. 7

答案:B 2.(2012· 课标全国)已知{an}为等比数列,a4+a7=2,a5a6=-8,则 a1+a10 =( ) A.7 C.-5 B.5 D.-7
3 6 ? ?a1q +a1q =2, 即 ? 3 6 ? ?a1q ×a1q =-8

3 6 ? ?a1q +a1q =2, 解 析 : 根 据 题 意 得 ? 4 5 ? ?a1q ×a1q =-8,

?

?1 ?a1q3=-2, ?a1q3=4, ?a1=1, ? ? ? ? 或? 6 ?? 3 或? 3 1 6 ? ? ? q =- . ?a1q =4 ?a1q =-2. ?q =-2 ?
2

a =-8,

所以当 a1=1,q3=-2 时,a1+a10=a1(1+q9)=1+(-2)3=-7;
? ? 1? ? 1 当 a1=-8,q3=-2时,a1+a10=-8?1+?-2?3?=-7,所以选 D. ? ? ??

答案:D S5 3.若 Sn 为等比数列{an}的前 n 项和,8a2+a5=0,则S =(
2

)

A.11 B.5 C.-8 D.-11
5 S5 a1?1+2 ? 解析:由 8a2+a5=0,得 8a1q+a1q =0,得 q=-2,则S = =- a1?1-22? 2 4

11. 答案:D 4.在等比数列{an}中,a1=1,公比|q|≠1.若 am=a1a2a3a4a5,则 m=( A.9 C.11 B.10 D.12 )

解析:在等比数列{an}中,∵a1=1,
5 ∴am=a1a2a3a4a5=a1q10=q10.

又∵am=qm-1,∴m-1=10,∴m=11. 答案:C 5.设{an}是由正数组成的等比数列,Sn 为其前 n 项和.若 a2a4=1,S3=7, 则 S5=( 15 A. 2 33 C. 4 ) 31 B. 4 17 D. 2

解析:∵{an}是由正数组成的等比数列,且 a2a4=1,
2 ∴设{an}的公比为 q,则 q>0,且 a3=1,即 a3=1.

1 1 ∵S3=7,∴a1+a2+a3=q2+q+1=7,即 6q2-q-1=0. 1 1 1 故 q=2,或 q=-3(舍去),a1=q2=4. 1? ? 4?1-25? 1 ? 31 ? ? ? 故 S5= =8?1-25?= 4 . 1 ? ? 1-2 答案:B 6.已知数列{an}为等比数列,Sn 是它的前 n 项和,若 a2·3=2a1,且 a4 与 a 5 2a7 的等差中项为4,则 S5=( )

A.35 C.31

B.33 D.29

解析:设公比为 q(q≠0),则由 a2·3=2a1 知 a1q3=2,得 a4=2. a 5 1 又∵a4+2a7=2,∴a7=4. 1 ∴a1=16,q=2.
? ?1? ? 16?1-?2?5? a1?1-q ? ? ? ?? 故 S5= = 1 =31. 1-q 1-2
5

答案:C 二、填空题 7. (2012· 浙江)设公比为 q(q>0)的等比数列{an}的前 n 项和为 Sn, S2=3a2 若 +2,S4=3a4+2,则 q=__________. 解析:当 q=1 时,由 S2=3a2+2 得 a2=-2,由 S4=3a4+2 得 a4=2,两

?a1+a1q=3a1q+2, ? 者矛盾, 舍去, q≠1, 则 联立方程?a1?1-q4? 3 ? 1-q =3a1q +2, ?
3 故应填2. 3 答案:2

?a1=-1, 可解得? 3 ?q=2,

8. (2012· 辽宁)已知等比数列{an}为递增数列, a2=a10,2(an+an+2)=5an+1, 且 5 则数列{an}的通项公式 an=__________.
2 解析:设公比为 q,由 a5=a10 得(a1q4)2=a1·9,即 a1=q. q

1 又由 2(an+an+2)=5an+1,得 2q2-5q+2=0,解得 q=2(q=2舍), ∴an=a1·n-1=2n. q

答案:2n 9.(2013· 山西质检)已知等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 S4=3,S12-S8 =12,则 S8=__________. 解析:由 S4,S8-S4,S12-S8 成等比数列,得(S8-S4)2=S4(S12-S8),解得 S8=9 或 S8=-3,又由等比数列的前 n 项和公式知 S8 与 S4 同号,故 S8=9. 答案:9 三、解答题 10.(2013· 许昌联考)设 a1=2,a2=4,数列{bn}满足:bn=an+1-an,bn+1= 2bn+2. (1)求证:数列{bn+2}是等比数列(要指出首项与公比); (2)求数列{an}的通项公式. 解析:(1)证明:∵bn+1=2bn+2,∴bn+1+2=2(bn+2). ∴ bn+1+2 =2. bn+2

又∵b1+2=a2-a1+2=4, ∴数列{bn+2}是首项为 4,公比为 2 的等比数列. (2)∵bn+2=4·n-1,∴bn=2n+1-2, 2 ∴an+1-an=2n+1-2. 在上式中,令 n=1,2,3,…,(n-1),叠加得 an=2n+1-2n. 1 1 11.已知等比数列{an}中,a1=3,公比 q=3. 1-an (1)Sn 为{an}的前 n 项和,证明:Sn= 2 ; (2)设 bn=log3a1+log3a2+…+log3an,求数列{bn}的通项公式.

1? 1? 1 ?1- n? 1- n 3? 3? 3 1-an 1 ?1? 1 解析:(1)因为 an=3×?3?n-1=3n,Sn= = 2 ,所以 Sn= 2 . 1 ? ? 1-3 n?n+1? (2)bn=log3a1+log3a2+…+log3an=-(1+2+…+n)=- 2 . n?n+1? 所以{bn}的通项公式为 bn=- 2 . 1 12. (2013· 揭阳调研)已知数列{an}是首项为 2, 公比为2的等比数列, n 为{an} S 的前 n 项和. (1)求数列{an}的通项 an 及 Sn; (2)设数列{bn+an}是首项为-2,第三项为 2 的等差数列,求数列{bn}的通 项公式及其前 n 项和 Tn. 1 解析:(1)∵数列{an}是首项 a1=2,公比 q=2的等比数列, 1? ? 2?1-2n? 1? ?1? ? ? ? ? ∴an=2·2?n-1=22-n,Sn= =4?1-2n?. 1 ? ? ? ? 1-2 2-?-2? (2)依题意得数列{bn+an}的公差 d= =2, 2 ∴bn+an=-2+2(n-1)=2n-4, ∴bn=2n-4-22-n. 设数列{bn+an}的前 n 项和为 Pn 则 n?-2+2n-4? Pn= =n(n-3), 2 1? ? ∴Tn=Pn-Sn=n(n-3)-4?1-2n?
? ?

=n2-3n-4+22-n.


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