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高考数学大一轮复习配套课时训练:第五篇 数列 第1节 数列的概念与简单表示法(含答案)


第五篇 第1节 课时训练 【选题明细表】 知识点、方法 数列的概念与表示法

数列(必修 5)

数列的概念与简单表示法 练题感 提知能

题号 3、5 4、8 2、6、9 1、10、11、13 7、12、14、15、16 A组

由数列的前几项求数列的通项 递推公式的应用 an 与 Sn 的关系 数列与函数

一、选择题 1.设数列{an}的前 n 项和 Sn=n2,则 a8 的值为( (A)15 (B)16 (C)49 (D)64 解析:由 a8=S8-S7=64-49=15,故选 A. 2.(2013 华师大附中高三模拟)数列{an}中,a1=1,an= ( A ) (B) (C)1 (D) +1 得, +1,则 a4 等于 A )

(A)

解析:由 a1=1,an=

a2= +1=2,a3= +1= +1= ,

a4= +1= +1= . 故选 A. 3.下列数列中,既是递增数列又是无穷数列的是( (A)1, , , ,… (B)-1,-2,-3,-4,… (C)-1,- ,- ,- ,… (D)1, , ,…, 解析:根据定义,属于无穷数列的是选项 A、B、C(用省略号),属于递 增数列的是选项 C、D,故满足要求的是选项 C.故选 C. 4.下列关于星星的图案中,星星的个数依次构成一个数列,该数列的 一个通项公式是( C ) C )

(A)an=n2-n+1 (B)an= (C)an= (D)an=

解析:从题图中可观察星星的构成规律, n=1 时,有 1 个;n=2 时,有 3 个; n=3 时,有 6 个;n=4 时,有 10 个;… ∴an=1+2+3+4+…+n= ,

故选 C. 5.下面五个结论:①数列若用图象表示,从图象上看都是一群孤立的 点;②数列的项数是无限的;③数列的通项公式是唯一的;④数列不一 定有通项公式;⑤将数列看做函数,其定义域是 N*(或它的有限子集 {1,2,…,n}).其中正确的是( (A)①②④⑤ (B)①④⑤ (C)①③④ (D)②⑤ B )

解析:②中数列的项数也可以是有限的,③中数列的通项公式不唯一, 故选 B. 6.(2013 东莞模拟)数列{an}满足:a1+3a2+5a3+… +(2n-1)·an=(n-1)·3n+1+3,则数列{an}的通项公式 an=( (A)3n-1 (B)(2n-1)·3n (C)3n (D)(2n-1)·3n-1 解析:当 n≥2 时,有 a1+3a2+5a3+…+(2n-3)·an-1=(n-2)·3n+3,两式相 减得(2n-1)an=(n-1)3n+1-(n-2)3n,即(2n-1)an=(2n-1)·3n,故 an=3n.又 a1=3 满足 an=3n,故选 C. 7.(2013 太原一模)已知函数 f(x)= 若数列{an}满足 C ) C )

an=f(n)(n∈N*),且{an}是递增数列,则实数 a 的取值范围是( (A)[ ,3) (B)( ,3) (C)(2,3) (D)(1,3) 解析:由题意,an=f(n)=

要使{an}是递增数列,必有 解得,2<a<3.故选 C. 二、填空题 8.数列, ,, ,…的一个通项公式为 . .

解析:观察各项知,其通项公式可以为 an= 答案:an=

9.(2013 广西一模)数列{an}中,已知 a1=1,a2=2,an+1=an+an+2(n∈N*),则 a7= .

解析:由 an+1=an+an+2,得 an+2=an+1-an. 所以 a3=a2-a1=1,a4=a3-a2=-1,a5=a4-a3=-1-1=-2.a6=a5-a4=-2-(-1)=-1,a7=a6 -a5=-1-(-2)=1. 答案:1 10.(2013 清远调研)已知数列{an}的前 n 项和 Sn=n2+2n-1,则 a1+a25= .

解析:∵Sn=n2+2n-1,∴a1=S1=2. 当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1=n2+2n-1-[(n-1)2+2(n-1)-1]=2n+1. ∴an= ∴a1+a25=2+51=53. 答案:53

11.(2013 东莞市高三模拟)已知数列{an}的前 n 项和 Sn=n2-3n,若它的 第 k 项满足 2<ak<5,则 k= .

解析:a1=S1=1-3=-2,当 n≥2 时 an=Sn-Sn-1=n2-3n-(n-1)2+3(n-1),∴ an=2n-4,由 2<ak<5 得 2<2k-4<5,则 3<k< ,所以 k=4. 答案:4 三、解答题 12.数列{an}的通项公式是 an=n2-7n+6. (1)这个数列的第 4 项是多少? (2)150 是不是这个数列的项?若是这个数列的项,它是第几项? (3)该数列从第几项开始各项都是正数? 解:(1)当 n=4 时,a4=42-4×7+6=-6. (2)是.令 an=150,即 n2-7n+6=150, 解得 n=16 或 n=-9(舍去), 即 150 是这个数列的第 16 项. (3)令 an=n2-7n+6>0,解得 n>6 或 n<1(舍). 故数列从第 7 项起各项都是正数. 13.(2013 潮州期末质检)数列{an}的前 n 项和 Sn= (1)求数列{an}的前 n 项和 Sn; (2)求数列{an}的通项公式; (3)设 bn= ,求数列{bn}的前 n 项和 Tn. ,若 a1= ,a2= .

解:(1)由 S1=a1= ,得 由 S2=a1+a2= ,得 ∴ 解得 =.

=;

故 Sn=

.

(2)当 n≥2 时, an=Sn-Sn-1 = = = 由于 a1= 也适合 an= ∴an= (3)bn= . = =. . -

∴数列{bn}的前 n 项和 Tn=b1+b2+…+bn-1+bn =1- + - +…+ - + =1= . B组 14.对于数列{an},a1=4,an+1=f(an),依照下表则 a2015=( D )

x f(x)

1 5

2 4

3 3

4 1

5 2

(A)2 (B)3 (C)4 (D)5 解析:由题意 a2=f(a1)=f(4)=1,a3=f(a2)=f(1)=5,a4=f(a3)=f(5)=2,a5=f(a4)=f(2)= 4,a6=f(a5)=f(4)=1.则数列{an}的项周期性出现,其周期为 4,a2015=a4×503+3=a3=5.故选 D. 15.已知数列{an}的通项 an=n2(7-n)(n∈N*),则 an 的最大值 是 .

解析:设 f(x)=x2(7-x)=-x3+7x2, 当 x>0 时,由 f′(x)=-3x2+14x=0 得,x= . 当 0<x< 时,f′(x)>0, 则 f(x)在 上单调递增,

当 x> 时,f′(x)<0, f(x)在 上单调递减, .

所以当 x>0 时,f(x)max=f

又 n∈N*,4< <5,a4=48,a5=50, 所以 an 的最大值为 50. 答案:50

16.已知数列{an}的通项公式为 an=n2-n-30. (1)求数列的前三项,60 是此数列的第几项? (2)n 为何值时,an=0,an>0,an<0? (3)该数列前 n 项和 Sn 是否存在最值?说明理由. 解:(1)由 an=n2-n-30,得 a1=12-1-30=-30, a2=22-2-30=-28, a3=32-3-30=-24. 设 an=60,则 60=n2-n-30. 解之得 n=10 或 n=-9(舍去). ∴60 是此数列的第 10 项. (2)令 an=n2-n-30=0, 解得 n=6 或 n=-5(舍去). ∴a6=0. 令 n2-n-30>0, 解得 n>6 或 n<-5(舍去). ∴当 n>6(n∈N*)时,an>0. 令 n2-n-30<0,解得 0<n<6. ∴当 0<n<6(n∈N*)时,an<0. (3)Sn 存在最小值,不存在最大值. 由 an=n2-n-30= -30 ,(n∈N*)

知{an}是递增数列,且

a1<a2<…<a5<a6=0<a7<a8<a9<…, 故 Sn 存在最小值 S5=S6,不存在最大值.



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