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2015-2016学年高中数学 2.2.1椭圆及其标准方程(一)课件 新人教A版选修2-1


2.2.1

椭圆及其标准方程(一)

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1.了解椭圆的实际背景,了解椭圆在刻画现实世 界和解决实际问题中的作用. 2.掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程以及标 准方程的推导过程.

研 题 型 学 习 法

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题型一

椭圆定义的应用

x2 y2 例 1 已知 F1,F2 是椭圆 + =1 的左、右两个焦点. 25 9 (1)求 F1,F2 的坐标; (2)若 AB 为过椭圆的焦点 F1 的一条弦,求△ABF2 的周长. x2 y2 解析:(1)由椭圆的方程 + =1 可知,a2=25,b2=9, 25 9 ∴c2=a2-b2=25-9=16, ∴c=4. ∴F1(-4,0),F2(4,0).
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(2)由椭圆的定义可知 |AF1|+|AF2|=2a=10,|BF1|+|BF2|=2a=10. ∴△ABF2的周长为|AB|+|AF2|+|BF2|=(|AF1|+|AF2|)+ (|BF1|+|BF2|)=2a+2a=4a=20.

规律方法:一般地,关于椭圆的一些问题我们经常考虑利用 其定义求解,这时候就要关注它的两个焦点,把问题转化为 研究椭圆上的点到两个焦点的距离之和的问题.

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?变式训练 x2 y2 1.椭圆 + =1 上一点 P 到一个焦点的距离为 5,则 P 到另一 25 9 个焦点的距离为( )
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A.5 B.6 C.4 D.10 解析:点 P 到椭圆的两个焦点的距离之和为 2a=10,10-5=5. 答案:A

题型二

已知焦点位置求椭圆方程

例 2 写出适合下列条件的椭圆的标准方程: (1)两个焦点坐标分别是(-4,0)、(4,0),椭圆上一点 P 到两焦 点的距离之和等于 10;
? 3 5? (2)两个焦点坐标分别是(0,-2)和(0,2)且过?- , ?. ? 2 2?
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分析:求椭圆的标准方程时,要先判断焦点位置,确定出适合题 意的椭圆标准方程的形式,最后由条件确定出 a 和 b 即可.

x2 y2 解析:(1)∵椭圆的焦点在 x 轴上,∴设它的标准方程为 2+ 2= a b 1(a>b>0).∵2a=10,2c=8,∴a=5,c=4, ∴b2=a2-c2=52-42=9, x2 y2 ∴所求椭圆标准方程为 + =1. 25 9 y2 x2 (2)方法一 ∵椭圆的焦点在 y 轴上, ∴设它的标准方程为 2+ 2 a b =1(a>b>0). 由椭圆的定义知, 2a=
? 3? 2 ?5 ?2 ?- ? +? +2? + ? 2? ?2 ? ? 3 ?2 ?5 ?2 ?- ? +? -2? ? 2 ? ?2 ?
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3 1 = 10+ 10=2 10, 2 2 ∴a= 10. 又 c=2,∴b2=a2-c2=10-4=6, y2 x2 ∴所求标准方程为 + =1. 10 6 方法二 ∵b2=a2-c2=a2-4,
? 3 5? y2 x2 ∴可设所求方程为 2+ 2 = 1,然后将点?- , ?的坐标代入 a a -4 ? 2 2?
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可求出 a,从而求出椭圆方程.

规律方法:椭圆的标准方程:(1)只有当椭圆的两个焦点 F1、F2 在坐标轴上,且线段 F1F2 的垂直平分线也是坐标轴时得到的方程才 是椭圆的标准方程. (2)椭圆的焦点位置决定椭圆标准方程的两种形式. (3)椭圆中的代表 a,b,c 的三条线段的关系是 a2=b2+ c2. (4)椭圆标准方程的一般式: mx2+ny2=1(m>0, n>0, m≠n). 当 焦点位置不定时,常设一般式.
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?变式训练 2.求适合下列条件的椭圆的标准方程: (1)两个焦点的坐标分别为(-4,0)和(4,0),且椭圆经过点(5, 0); (2)焦点在 y 轴上,且经过两个点(0,2)和(1,0). 解析:(1)由于椭圆的焦点在 x 轴上, x2 y2 ∴设它的标准方程为 2+ 2=1(a>b>0). a b ∴2a= (5+4)2+ (5-4)2=10,∴a=5. 又 c=4,∴b2=a2-c2=25-16=9. x2 y2 故所求椭圆的方程为 + =1. 25 9
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(2)由于椭圆的焦点在 y 轴上, y2 x2 ∴设它的标准方程为 2+ 2=1(a>b>0). a b 由于椭圆经过点(0,2)和(1,0), 4 0 + =1, ? 2 a2 b2 ?a =4, ∴ ?? 2 0 1 ? ?b =1. + =1 a2 b2 y2 2 故所求椭圆的方程为 +x =1. 4
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? ? ?

题型二

待定系数法求椭圆方程

例 3 已知椭圆经过点 A( 3,-2),B(-2 3,1),求椭圆的标准方程. 解析:方法一 当焦点在 x 轴上时, x2 y2 设椭圆的标准方程为 2+ 2=1(a>b>0).依题意有 a b (-2 3)2 1 + 2=1, a2 b
?a2=15, ? x2 y2 解得? 2 故所求椭圆的标准方程为 + =1. 15 5 ? b = 5. ?

? ? ? ? ?

( 3)2 (-2)2 + =1, a2 b2

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y2 x2 当焦点在 y 轴上时,设椭圆的标准方程为 2+ 2=1(a>b>0). a b (-2)2 ( 3)2 + =1, 2 ? a2 b2 ?a =5, 依题意有 解得? 2 2 ? 1 (-2 3) ?b =15. + =1, a2 b2

? ? ? ? ?

因为 a>b>0,所以无解. x2 y2 综上,所求椭圆的标准方程为 + =1. 15 5 方法二 设所求椭圆的方程为 mx2+ny2=1(m>0,n>0,m≠n),
? ?3m+4n=1, 依题意有? 解得 ? ?12m+n=1,

? ? 1 ?n=5,

1 m= , 15

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x2 y2 所以所求的椭圆方程为 + =1. 15 5

规律方法:求椭圆标准方程的方法: (1)定义法:能够根据题设 条件判断出点的轨迹是椭圆, 然后根据定义确定椭圆的标准方程. (2) 待定系数法:由题设条件确定方程的类型,设出标准方程,再由条件 求出方程中的参数.当椭圆的焦点位置不确定时,常设椭圆的标准方 程为一般式.
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?变式训练
? 6 ? ?2 3 ? 3.求经过点 A?1, ?、B? ,1 ?的椭圆的标准方程. 2? ? 3 ? ?

解析:可设椭圆的标准方程为 mx2+ny2=1(m> 0,n>0,m≠ n).将 A、B 点坐标代入,得
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? 1 1 解之得 m= ,n= . ?4 2 3 ?3m+n=1,
3 m+ n=1, 2 x2 y2 所以所求椭圆的标准方程为 + =1. 2 3

析疑难 提 能 力
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对椭圆标准方程理解不清致误. x2 y2 【典例】 若方程 + =1 表示椭圆,则 m 满足的条件是 m 2m-1 ________. m>0, ? ? x y 解析:由方程 + =1 表示椭圆,知?2m-1>0, m 2m-1 ? ?m≠ 2m-1,
2 2

1 解得 m> 且 m≠1. 2
? ? 1 ? ? ? 答案: m m>2且m≠1? ? ? ?

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【易错剖析】此题的解答中,容易漏掉 m≠2m-1,而得出错误 1 答案 m> . 2


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