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河北省邯郸市2018届高三第一次模拟考试数学(文)试题 Word版含答案


高三数学考试(文科) 第Ⅰ卷 一、选择题:本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. 1. 已知复数 z ? ?1 ? i ,则 A.-1 B.1

z?2 ?( z2 ? z

) D. i

C. ?i

2.若向量 m ? (2k ?1, k ) 与向量 n ? (4,1) 共线,则 m ? n ? ( A.0 B.4 C. ?

??

?

?? ?



9 2

D. ?

17 2


3.已知集合 A ? {x |1 ? 4 ? x2 ? 2} , B ? {x | 2 x ? 3} ,则 A ? B ? ( A. [ 2, ??) C. ( 2, ??) 4.函数 f ( x ) ? cos(? x ? B. (? 3, ? 2] ? [ 2, ??) D. [? 3, ? 2) ? ( 2, ??)

?
6

) 的图象的对称轴方程为(
B. x ? k ?



2 (k ? Z ) 3 1 C. x ? k ? (k ? Z ) 6
A. x ? k ?

1 (k ? Z ) 3 1 D. x ? k ? (k ? Z ) 3

5. 如图,网格纸上小正方形的边长均为 1,粗线画出的是某几何体的三视图,则该几何体的 体积为( )

A.7 6. 若函数 f ( x) ? ? A. [2,3]

B.6

C.5

D.4 )

x ? ?2 ? 1, x ? 1 在 R 上是增函数,则 a 的取值范围为( 2 ? x ? ax ? 1, x ? 1 ? ?

B. [2, ??)

C. [1,3]

D. [1, ??) )

7.在公比为 q 的正项等比数列 {an } 中,a4 ? 4 ,则当 2a2 ? a6 取得最小值时,log2 q ?(

A.

1 4

B. ?

1 4

C.

1 8
) ,则

D. ?

1 8


8.若 sin(? ? ? ) ? 3sin(? ? ? ? ? ) , ? , ? ? (0,

?
2

tan ? ?( tan ?
D.

A.2

B.

1 2

C.3

1 3

9.设双曲线 ? :

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的左、右焦点分别为 F1 , F2 , ? 上存在关于 y 轴 a 2 b2

O 对称的两点 P , ( P 在 ? 的右支上) , 使得 PQ ? 2 PF2 ? 2 PF 且 ?POQ Q 1 , 为坐标原点,
为正三角形,则 ? 的离心率为( A. ) C. 6 D. 5

6 2

B.

5 2

10. 我国古代数学名著《九章算术》里有一道关于买田的问题: “今有善田一亩,价三百;恶 田七亩,价五百.今并买一顷,价钱一万.问善、恶田各几何?”其意思为: “今有好田 1 亩价 值 300 钱;坏田 7 亩价值 500 钱.今合买好、坏田 1 顷,价值 10000 钱.问好、坏田各有多少 亩?”已知 1 顷为 100 亩,现有下列四个程序框图,其中 S 的单位为钱,则输出的 x , y 分 别为此题中好、坏田的亩数的是( )

A. 11.若函数 ( ) ② f ( x) ? x

B.

C.

D.

f ( x) 在 (1, ??) 上单调递减,则称 f ( x ) 为 P 函数.下列函数中为 P 函数的序号为 ln x 1 x

① f ( x) ? 1 A.①②④

③ f ( x) ?

④ f ( x) ? C.①③④

x
D.②③ )

B.①③

1 H2 ?( 12.设正三棱锥 P ? ABC 的高为 H ,且此棱锥的内切球的半径 R ? H ,则 7 PA2
A.

29 39

B.

32 39

C.

34 39

D.

35 39

第Ⅱ卷 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.把答案填在答题卡中的横线上. 13.若 x 是从区间 [0,3] 内任意选取的一个实数, y 也是从区间 [0,3] 内任意选取的一个实数, 则 x 2 ? y 2 ? 1的概率为 .

14.若圆 C :x2 ? ( y ? 1)2 ? n 的圆心为椭圆 M :x2 ? my 2 ? 1 的一个焦点, 且圆 C 经过 M 的 另一个焦点,则

n ? m



15. 已知数列 {an } , {bn } 的前 n 项和分别为 Sn , Tn , bn ? an ? 2n ? 1 ,且

Sn ? Tn ? 2n?1 ? n2 ? 2 ,则 2Tn ?



16.若曲线 y ? log2 (2x ? m)( x ? 2) 上至少存在一点与直线 y ? x ? 1 上的一点关于原点对称, 则 m 的取值范围为 .

三、解答题:共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第 17~21 题为必考题, 每个试题考生都必须作答,第 22、23 题为选考题,考生根据要求作答. (一)必考题:共 60 分. 17. ?ABC 的内角 A , B , C 所对的边分别为 a , b , c .已知 ab sin C ? 20sin B ,

a 2 ? c 2 ? 41,且 8cos B ? 1 .
(1)求 b ; (2)证明: ?ABC 的三个内角中必有一个角是另一个角的两倍. 18.某大型超市在 2018 年元旦举办了一次抽奖活动,抽奖箱里放有 2 个红球,1 个黄球和 1 个

蓝球(这些小球除颜色外大小形状完全相同) ,从中随机一次性取 2 个小球,每位顾客每次抽 完奖后将球放回抽奖箱.活动另附说明如下: ①凡购物满 100(含 100)元者,凭购物打印凭条可获得一次抽奖机会; ②凡购物满 188(含 188)元者,凭购物打印凭条可获得两次抽奖机会; ③若取得的 2 个小球都是红球,则该顾客中得一等奖,奖金是一个 10 元的红包; ④若取得的 2 个小球都不是红球,则该顾客中得二等奖,奖金是一个 5 元的红包; ⑤若取得的 2 个小球只有 1 个红球,则该顾客中得三等奖,奖金是一个 2 元的红包. 抽奖活动的组织者记录了该超市前 20 位顾客的购物消费数据(单位:元) ,绘制得到如图所 示的茎叶图.

(1)求这 20 位顾客中获得抽奖机会的人数与抽奖总次数(假定每位获得抽奖机会的顾客都 会去抽奖) ; (2)求这 20 位顾客中奖得抽奖机会的顾客的购物消费数据的中位数与平均数(结果精确到 整数部分) ; (3)分别求在一次抽奖中获得红包奖金 10 元,5 元,2 元的概率. 19.如图, 在各棱长均为 2 的正三棱柱 ABC ? A1B1C1 中,D 为棱 A1B1 的中点,E 在棱 BB1 上,

B1E ? 3BE , M , N 为线段 C1D 上的动点,其中, M 更靠近 D ,且 MN ? 1 . F 在棱 AA1
上,且 A1E ? DF .

(1)证明: A1E ? 平面 C1DF ; (2)若 BM ?

4 3 ,求三棱锥 E ? AFN 的体积. 3

2 2 20.已知 p ? 0 ,抛物线 C1 : x ? 2 py 与抛物线 C2 : y ? 2 px 异于原点 O 的交点为 M ,且

抛物线 C1 在点 M 处的切线与 x 轴交于点 A , 抛物线 C2 在点 M 处的切线与 x 轴交于点 B , 与

y 轴交于点 C .
(1)若直线 y ? x ? 1 与抛物线 C1 交于点 P , Q ,且 PQ ? 2 6 ,求抛物线 C1 的方程; (2)证明: ?BOC 的面积与四边形 AOCM 的面积之比为定值. 21.已知函数 f ( x) ? 3e x ? x2 , g ( x) ? 9 x ? 1 . (1)求函数 ? ( x) ? xe ? 4 x ? f ( x) 的单调区间;
x

(2)比较 f ( x ) 与 g ( x) 的大小,并加以证明; (二)选考题:共 10 分.请考生在 22、23 两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一 题计分.作答时用 2B 铅笔将所选题目对应的题号右侧方框涂黑,并且在解答过程中写清每问 的小题号. 22.[选修 4-4:坐标系与参数方程]

? ?x ? ? 在平面直角坐标系 xOy 中,曲线 M 的参数方程为 ? ?y ? ? ?

2 3 3 ?t 2 3t 3 ?t

( t 为参数,且 t ? 0 ) ,以坐标

原点为极点, x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,已知曲线 C 的极坐标方程为 ? ? 4cos ? . (1)将曲线 M 的参数方程化为普通方程,并将曲线 C 的极坐标方程化为直角坐标方程; (2)求曲线 M 与曲线 C 交点的极坐标 ( ? ? 0,0 ? ? ? 2? ) .

23.[选修 4-5:不等式选讲] 已知函数 f ( x) ? x ? 4 ? x ?1 ? 3 . (1)求不等式 f ( x) ? 2 的解集; (2)若直线 y ? kx ? 2 与函数 f ( x ) 的图象有公共点,求 k 的取值范围.

高三数学详细参考答案(文科) 一、选择题 1-5: ADBCB 二、填空题 13. 6-10: AAADB 11、12:BD

? 36

14. 8

15. 2n?2 ? n(n ? 1) ? 4

16. (2, 4]

三、解答题 17.(1)解:∵ ab sin C ? 20sin B ,∴ abc ? 20b ,即 ac ? 20 , 则 b ? a2 ? c2 ? 2ac cos B ?

1 41 ? 40 ? ? 6 . 8

2 2 (2)证明:∵ ac ? 20 , a ? c ? 41,∴ a ? 4 , c ? 5 或 a ? 5 , c ? 4 .

若 a ? 4 ,c ? 5 , 则 cos A ?

52 ? 62 ? 42 3 ? , o s B? 2c o s ∴c 2? 5? 6 4

2

1 A ?c o s2 ?

A , ∴ B ? 2A.

若 a ? 5 , c ? 4 ,同理可得 B ? 2C . 故 ?ABC 的三个内角中必有一个角的大小是另一个角的两倍. 18.解: (1)这 20 位顾客中获得抽奖机会的人数为 5+3+2+1=11. 这 20 位顾客中,有 8 位顾客获得一次抽奖的机会,有 3 位顾客获得两次抽奖的机会,故共有 14 次抽奖机会. (2)获得抽奖机会的数据的中位数为 110, 平均数为

1 1438 (101 ? 102 ? 104 ? 108 ? 109 ?110 ? 112 ? 115 ? 188 ? 189 ? 200) ? ? 131 . 11 11
(3)记抽奖箱里的 2 个红球为红 1,红 2,从箱中随机取 2 个小球的所有结果为(红 1,红 2) , (红 1,蓝) , (红 1,黄) , (红 2,蓝) , (红 2,黄) , (蓝,黄) ,共有 6 个基本事件. 在一次抽奖中获得红包奖金 10 元的概率为 P 1 ?

1 , 6

1 , 6 4 2 获得 2 元的概率为 P3 ? ? . 6 3
获得 5 元的概率为 P2 ?

D 为棱 A1B1 的中点,∴ C1D ? A1B1 , 19.(1)证明:由已知得 ?A 1B 1C1 为正三角形,
在正三棱柱 ABC ? A1B1C1 中, AA1 ? 底面 A1B1C1 ,则 AA 1 ? C1 D .

又A 1B 1 ? AA 1 ? A 1 ,∴ C1 D ? 平面 ABB 1E . 1A 1 ,∴ C1 D ? A 易证 A1E ? AD ,又 AD ? C1D ? D ,∴ A1E ? 平面 AC1D . (2)解:连结 MB1 ,则 BB1 ? MB1 , ∵ BB1 ? 2 , BM ?

4 3 2 3 ,∴ MB1 ? . 3 3 3 . 3 3 ?1. 3

又 MD ? A 1B 1 ,∴ MD ?

由(1)知 C1D ? 平面 AEF ,∴ N 到平面 AEF 的距离 d ? DN ? 设A ? ?A1B1E , 1 E ? DF ? O ,∵ A 1 E ? DF ,∴ ?AOD 1 ∵ B1E ? 3BE ,∴

4 B1 E A1D 1 3 ,∴ ? ? ,∴ A1 F ? . 3 A1 B1 A1F A1 F 4 1 1 2 2 3 2 3?6 ? ? ? 2? d ? ?( . ? 1) ? 3 2 3 9 3 27

∴ VE ? AFN ? VN ? AEF ?

20.(1)解:由 ?

? y ? x ?1 ? x ? 2 py
2

,消去 y 得 x2 ? 2 px ? 2 p ? 0 .

设 P , Q 的坐标分别为 ( x1 , y1 ) , ( x2 , y2 ) , 则 x1 ? x2 ? 2 p , x1 x2 ? ?2 p .
2 2 ∴ PQ ? 1 ? 1 ? (2 p ) ? 4( ?2 p ) ? 2 6 ,∵ p ? 0 ,∴ p ? 1 .

故抛物线 C1 的方程为 x ? 2 y .
2

(2)证明:由 ?

? y 2 ? 2 px ? ,得 x ? y ? 2 p 或 x ? y ? 0 ,则 M (2 p, 2 p) . 2 ? ? x ? 2 py

设直线 AM : y ? 2 p ? k1 ( x ? 2 p) ,与 x2 ? 2 py 联立得 x2 ? 2 pk1x ? 4 p2 (1 ? k1 ) ? 0 . 由 ?1 ? 4 p2k12 ? 16 p2 (1 ? k1 ) ? 0 ,得 (k1 ? 2)2 ? 0 ,∴ k1 ? 2 . 设直线 BM : y ? 2 p ? k2 ( x ? 2 p) ,与 y 2 ? 2 px 联立得 k2 y 2 ? 2 py ? 4 p2 (1 ? k2 ) ? 0 . 由 ?2 ? 4 p2 ? 16 p2k2 (1 ? k2 ) ? 0 ,得 (1 ? 2k2 )2 ? 0 ,∴ k 2 ? 故直线 AM : y ? 2 p ? 2( x ? 2 p) ,直线 BM : y ? 2 p ? 从而不难求得 A( p, 0) , B(?2 p, 0) , C (0, p) , ∴ S?BOC ? p 2 , S?ABM ? 3 p2 ,∴ ?BOC 的面积与四边形 AOCM 的面积之比为

1 . 2

1 ( x ? 2 p) , 2

p2 1 ? (为定值). 2 2 3p ? p 2
21.解: (1) ? '( x) ? ( x ? 2)(ex ? 2) , 令 ? '( x) ? 0 ,得 x1 ? ln 2 , x2 ? 2 ; 令 ? '( x) ? 0 ,得 x ? ln 2 或 x ? 2 ; 令 ? '( x) ? 0 ,得 ln 2 ? x ? 2 . 故 ? ( x) 在 (??,ln 2) 上单调递增,在 (ln 2, 2) 上单调递减,在 (2, ??) 上单调递增. (2) f ( x) ? g ( x) . 证明如下:
x 设 h( x) ? f ( x) ? g ( x) 3e ? x ? 9 x ? 1,∵ h '( x) ? 3e ? 2 x ? 9 为增函数,
x 2

∴可设 h '( x0 ) ? 0 ,∵ h '(0) ? ?6 ? 0 , h '(1) ? 3e ? 7 ? 0 ,∴ x0 ? (0,1) . 当 x ? x0 时, h '( x) ? 0 ;当 x ? x0 时, h '( x) ? 0 . ∴ h( x)min ? h( x0 ) ? 3e 0 ? x0 ? 9x0 ?1 ,
x 2

又 3e 0 ? 2x0 ? 9 ? 0 ,∴ 3e 0 ? ?2x0 ? 9 ,
x x

∴ h( x)min ? ?2x0 ? 9 ? x02 ? 9x0 ? 1 ? x02 ?11x0 ? 10 ? ( x0 ? 1)( x0 ? 10) . ∵ x0 ? (0,1) ,∴ ( x0 ?1)( x0 ?10) ? 0 , ∴ h( x)min ? 0 , f ( x) ? g ( x) .

22.解: (1)∵

y 2 3 ? t ,∴ x ? ,即 y ? 3( x ? 2) , y x 3? x

又 t ? 0 ,∴ 3 ?

2 3 ? 0 ,∴ x ? 2 或 x ? 0 , x

∴曲线 M 的普通方程为 y ? 3( x ? 2) ( x ? 2 或 x ? 0 ). ∵ ? ? 4cos ? ,∴ ? 2 ? 4? cos? ,∴ x 2 ? y 2 ? 4 x ,即曲线 C 的直角坐标方程为

x2 ? 4 x ? y 2 ? 0 .
(2)由 ?

? y ? 3( x ? 2) ? ? ?x ? 4x ? y ? 0
2 2

得 x ? 4x ? 3 ? 0 ,
2

∴ x1 ? 1 (舍去) , x2 ? 3 , 则交点的直角坐标为 (3, 3) ,极坐标为 (2 3, 23.解: (1)由 f ( x) ? 2 ,得 ?

?
6

).

?x ? 1 ?1 ? x ? 4 ? x ? 4 或? 或? , ?2 ? 2 x ? 2 ?0 ? 2 ?2 x ? 8 ? 2

解得 0 ? x ? 5 ,故不等式 f ( x) ? 2 的解集为 [0,5] .

? 2 ? 2 x, x ? 1 ? (2) f ( x) ? x ? 4 ? x ?1 ? 3 ? ?0,1 ? x ? 4 , ? 2 x ? 8, x ? 4 ?
作出函数 f ( x ) 的图象,如图所示,

直线 y ? kx ? 2 过定点 C (0, ?2) , 当此直线经过点 B(4, 0) 时, k ?

1 ; 2

当此直线与直线 AD 平行时, k ? ?2 . 故由图可知, k ? (??, ?2) ? [ , ??) .

1 2


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