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(新课标)2017春高中数学第1章解三角形综合素质检测新人教B版必修5资料


2017 春高中数学 第 1 章 解三角形综合素质检测 新人教 B 版必修 5
(时间:120 分钟 满分 150 分) 一、选择题(本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的) 1.△ABC 的内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c,若 c= 2,b= 6,B=120°,则 a 等于 导学号 27542185 ( A. 6 C. 3 [解析] 在△ABC 中,由正弦定理,得 D ) B.2 D. 2

csinB sinC= = b

2× 6

3 2

1 = ,又∵B=120°,∴C 为锐角, 2

∴C=30°,∴A=30°,∴a=c= 2. 2. 在△ABC 中, 若 AB= 3-1, BC= 3+1, AC= 6, 则 B 等于 导学号 27542186 ( A.30° C.60° [解析] cosB= B.45° D.120° C )

AB2+BC2-AC2 1 = ,∴B=60°. 2AB·BC 2
D )

3.在△ABC 中,A=45°,AC=4,AB= 2,那么 cosB= 导学号 27542187 ( 3 10 A. 10 C. 5 5
2 2 2

3 10 B.- 10 D.- 5 5

[解析] BC =AC +AB -2AC·ABcosA =16+2-8 2cos45°=10,∴BC= 10, cosB=

AB2+BC2-AC2 5 =- . 2AB·BC 5

4.在△ABC 中,角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c,若 C=120°,c= 2 a,则 导学号 27542188 ( A.a>b C.a=b [解析]
2 2 2 2

A ) B.a<b D.a 与 b 的大小关系不能确定

在△ABC 中,c =a +b -2abcos 120°=a +b +ab.∵c= 2 a,∴2a =a
2 2 2 2

2

2

2

2

+b +ab,∴a -b =ab>0,∴a >b ,∴a>b.
1

5.已知△ABC 的一个内角为 120°,且三边 a、b、c 满足 a=b+4,c=b-4,则△ABC 中最小角的余弦值为 导学号 27542189 ( 5 A. 14 13 C. 14 C ) 9 B. 14 11 D. 14

b2+?b-4?2-?b+4?2 [解析] 由 a=b+4, c=b-4, 知 A=120°, 于是 cos120°= 2b?b-4?
1 14 +10 -6 13 =- ? b=10,c=6,a=14,故△ABC 中最小角 C 的余弦值为 cos C= = . 2 2×14×10 14 6 . △ ABC 的 三 边 分 别 为 2m + 3 , m + 2m , m + 3m + 3(m>0) , 则 最 大 内 角 度 数 为 导学号 27542190 ( A.150° C.90°
2 2 2 2 2 2

B ) B.120° D.135°

[解析] 解法一:∵m>0,∴m +3m+3>2m+3,

m2+3m+3>m2+2m.
故边 m +3m+3 对的角为最大角,由余弦定理,得 ?2m+3? +?m +2m? -?m +3m+3? 1 cosθ = =- , 2 2?2m+3??m +2m? 2 ∴θ =120°. 解法二:特值法.取 m=1,则三边长为 5,3,7 5 +3 -7 1 ∴cosθ = =- ,∴θ =120°. 2×5×3 2 → → 11 7.在△ABC 中,已知 BC=5 3,外接圆半径为 5.若AB·AC= ,则△ABC 的周长为 2 导学号 27542191 ( A.11 3 C.7 3 A ) B.9 3 D.5 3
2 2 2 2 2 2 2 2 2

5 3 3 → → [解析] 由正弦定理,得 =2×5,∴sin A= ,∴∠A=60°或 120°.∵AB·AC sin A 2 11 11 2 2 2 2 2 = ,∴∠A=60°,bccos 60°= ,∴bc=11.∵a =b +c -2bccos 60°=b +c -bc 2 2 =(b+c) -3bc=75,∴(b+c) =108,∴a+b+c=5 3+6 3=11 3. 8.在△ABC 中,关于 x 的方程(1+x )sinA+2xsinB+(1-x )sinC=0 有两个不等的实 数根,则 A 为 导学号 27542192 ( A )
2
2 2 2 2

A.锐角 C.钝角

B.直角 D.不存在
2

[解析] 把已知方程整理得(sinA-sinC)x +2sinB·x+(sinA+sinC)=0, Δ =4sin B-4(sinA-sinC)(sinA+sinC)>0, 即 sin B+sin C-sin A>0. ∴b +c -a >0,∴cosA>0,可知 A 为锐角. 9.若△ABC 的内角∠A、∠B、∠C 所对的边 a、b、c 满足(a+b) -c =4,且∠C=60°, 则 ab 的值为 导学号 27542193 ( 4 A. 3 C.1
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

A

) B.8-4 3 2 D. 3

[解析] 由(a+b) -c =4 得(a +b -c )+2ab=4.① ∵a +b -c =2abcosC, 2 ∴方程①化为 2ab(1+cosC)=4,∴ab= . 1+cosC 4 又∵∠C=60°,∴ab= . 3 10. 在△ABC 中, a +b -ab=c =2 3S△ABC,则△ABC 一定是 导学号 27542194 ( A.等腰三角形 C.等边三角形 [解析] 由 a +b -ab=c 得:cosC=
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

B )

B.直角三角形 D.等腰直角三角形

a2+b2-c2 1 = , 2ab 2

∴∠C=60°,又 2 3S△ABC=a +b -ab, 1 2 2 ∴2 3× ab·sin60°=a +b -ab, 2 得 2a +2b -5ab=0,即 a=2b 或 b=2a. 当 a=2b 时,代入 a +b -ab=c 得 a =b +c ; 当 b=2a 时,代入 a +b -ab=c 得 b =a +c . 故△ABC 为直角三角形. → → → → 11. 在△ABC 中, 若|AB|=2, |AC|=5, AB·AC=-5, 则 S△ABC= 导学号 27542195 ( A ) 5 3 A. 2 5 C. 2 B. 3 D.5
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

3

→ → → → [解析] AB·AC=|AB|·|AC|cosA=10cosA=-5, 1 3 ∴cosA=- ,∴sinA= , 2 2 1 → 5 3 → ∴S△ABC= |AB|·|AC|·sinA= . 2 2 12.如图,△ABC 中,D 是边 BC 上的点,且 AC=CD,2AC= 3AD,AB=2AD,则 sin B 等于 导学号 27542196 ( C )

A.

6 3 6 6

B.

3 3 3 6

C.

D.

[解析] 设 AD=x, 则 AC= 3 3 x,CD=AC= x, 2 2

AC2+DC2-AD2 在△ACD 中,由余弦定理,得 cos C= 2AC·DC
1 2 2 = .∴sin C= . 3 3 3 3 2· x· x 2 2 = , sin B sin C 3 2 3 2 x + x -x2 4 4



在△ABC 中,由正弦定理,得

AC

AB

3 2 2 x· 3 ACsin C 2 6 ∴sin B= = = . AB 2x 6 二、 填空题(本大题共 4 个小题, 每个小题 4 分, 共 16 分. 将正确答案填在题中横线上) 13.三角形一边长为 14,它对的角为 60°,另两边之比为 8︰5,则此三角形面积为 40 3. 导学号 27542197 [解析] 设另两边长为 8x 和 5x, 则 cos60°= 64x +25x -14 1 得 x=2,另两边长为 16 和 10,此三角形面积为 S= 2 80x 2
2 2 2

×16×10·sin60°=40 3.

4

1 10 14.在△ABC 中,若 tanA= ,C=150°,BC=1,则 AB= . 导学号 27542198 3 2 1 10 [解析] ∵tanA= ,∴sinA= , 3 10 由正弦定理,得 AB=

BC·sinC 10 = . sinA 2

15.某小区的绿化地,有一个三角形的花圃区,若该三角形的三个顶点分别用 A、B、C 表示,其对边分别为 a、b、c,且满足(2b-c)cos A-a cos C=0,则在 A 处望 B、C 所成 π 角的大小为 . 导学号 27542199 3 [解析] ∵(2b-c)cos A-acos C=0,由正弦定理, 得 2sin Bcos A-sin Ccos A-sin Acos C=0, ∴2sin Bcos A-sin(A+C)=0,∴2sin Bcos A-sin B=0. 1 π ∵A、B∈(0,π ),∴sin B≠0,∴cos A= ,∴A= ,即在 A 处望 B、C 所成的角的 2 3 π 大小为 . 3 16.如图,已知梯形 ABCD 中,CD=2 ,AC= 19,∠ BAD=60°,则梯形的高为 导学号 27542200 3 3 . 2

[解析] 解法一:∵∠BAD=60°, ∴∠ADC=180°-∠BAD=120°. ∵CD=2,AC= 19, ∴ 19 2 57 = ,∴sin∠CAD= . sin120° sin∠CAD 19

3 57 ∴sin∠ACD=sin(60°-∠CAD)= . 38 3 57 19× 38 AC·sin∠ACD ∴AD= = =3. sin∠ADC sin120° 3 3 ∴h=AD·sin60°= . 2 解法二:在△ACD 中,

5

AC2=AD2+CD2-2AD·CDcos120°,
∴AD +2AD-15=0.∴AD=3 3 3 ∴h=ADsin60°= . 2 三、 解答题(本大题共 6 个小题, 共 74 分, 解答应写出文字说明, 证明过程或演算步骤) 17.(本题满分 12 分)在△ABC 中,a、b、c 分别是角 A、B、C 的对边,若 cosA= cosC= 5 . 导学号 27542201 5 10 , 10
2

(AD=-5 舍去).

(1)求角 B 的大小; (2)若 c=4,求△ABC 的面积. [解析] (1)∵cosA= 10 5 ,cosC= , 10 5

3 10 2 5 ∴sinA= ,sinC= , 10 5 ∴cos(A+C)=cosAcosC-sinAsinC= ∴cosB=-cos(A+C)= 10 5 3 10 2 5 2 × - × =- , 10 5 10 5 2

2 π .又∵0<B<π ,∴B= . 2 4

(2)由正弦定理,得 = , sinA sinC 3 10 4× 10 csinA ∴a= = =3 2. sinC 2 5 5 1 1 π 1 2 ∴S△ABC= acsinB= ×3 2×4×sin = ×3 2×4× =6. 2 2 4 2 2 π 1 18.(本题满分 12 分)在△ABC 中,C-A= ,sinB= . 导学号 27542202 2 3 (1)求 sinA 的值; (2)设 AC= 6,求△ABC 的面积. π [解析] (1)由 C-A= 和 A+B+C=π , 2 π π 得 2A= -B,0<A< .∴cos2A=sinB, 2 4 1 3 2 即 1-2sin A= ,∴sinA= . 3 3

a

c

6

(2)由(1)得 cosA=

6 . 3

又由正弦定理,得 = , sinA sinB 6× 1 3 3 3

BC

AC

ACsinA ∴BC= = sinB

=3 2.

π π ∵C-A= ,∴C= +A, 2 2 π 6 ∴sinC=sin( +A)=cosA= , 2 3 1 1 6 ∴S△ABC= AC·BC·sinC= × 6×3 2× =3 2. 2 2 3 19.(本题满分 12 分)如图,某海轮以 30 n mile/h 的速度航行,在点 A 测得海面上油井

P 在南偏东 60°,向北航行 40 min 后到达点 B,测得油井 P 在南偏东 30°,海轮改为北偏
东 60°的航向再航行 80 min 到达 C 点,求 P、C 间的距离. 导学号 27542203

40 80 [解析] AB=30× =20,BC=30× =40. 60 60 在△ABP 中,∠BAP=120°,∠ABP=30°,∠APB=30°, ∴BP=

AB 20 ·sin∠BAP= sin120°=20 3. sin∠APB sin30°

在 Rt△BCP 中,

PC= BC2+BP2= 402+?20 3?2=20 7.
∴P、C 间的距离为 20 7 n mile. 20.(本题满分 12 分)在△ABC 中,a、b、c 分别为内角 A、B、C 的对边,且 2asinA= (2b+c)sinB+(2c+b)sinC. (1)求 A 的大小; 导学号 27542204 (2)若 sinB+sinC=1,试判断△ABC 的形状. [解析] (1)由已知,根据正弦定理,得
7

2a =(2b+c)b+(2c+b)c,即 a =b +c +bc. 由余弦定理,得 a =b +c -2bccosA, 1 故 cosA=- ,A=120°. 2 (2)由 a =b +c +bc,得 sin A=sin B+sin C+sinBsinC. 3 1 ∴ =1-sinBsinC,∴sinBsinC= . 4 4 1 又 sinB+sinC=1,故 sinB=sinC= . 2 因为 0°<B<90°,0°<C<90°,故 B=C. 所以△ABC 是等腰的钝角三角形. 另解:∵A=120°且 sinB+sinC=1, 1 3 ∴sinB+sin(60°-B)= sinB= cosB=sin(B+60°)=1 2 2 又 60°<B+60°<120° ∴B+60°=90°,∴B=30°从而 C=30°. ∴△ABC 为等腰的钝角三角形. 21.(本题满分 12 分)在△ABC 中,角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c,已知 sin(A+ π )+2cos(B+C)=0. 6 (1)求 A 的大小; 导学号 27542205 (2)若 a=6,求 b+c 的取值范围. [解析] (1)由条件结合诱导公式,得 π π sin Acos +cos Asin =2cos A, 6 6 ∴sin A= 3cos A,∴tan A= 3, π ∵0<A<π ,∴A= . 3 (2)∵ = = sin B sin C
2 2 2 2 2 2 2 2 2

2

2

2

2

b

c

6 =4 3, π sin 3

∴b=4 3sin B,c=4 3sin C, 2π ∴b+c=4 3(sin B+sin C)=4 3[sin B+sin( -B)] 3 3 3 3 1 =4 3( sin B+ cos B)=12( sin B+ cos B) 2 2 2 2

8

π =12sin(B+ ). 6 2π π π 5π ∵0<B< ,∴ <B+ < , 3 6 6 6 π ∴6<12sin(B+ )≤12, 6 π 即 6<b+c≤12,当且仅当 B= 时,等号成立. 3 22.(本题满分 14 分)在△ABC 中,角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c,已知 3cos(B-

C)-1=6cosBcosC. 导学号 27542206
(1)求 cosA 的值; (2)若 a=3,△ABC 的面积为 2,求 b、c. [解析] (1)由 3cos(B-C)-1=6cosBcosC, 得 3(cosBcosC-sinBsinC)=-1, 1 1 即 cos(B+C)=- ,∴cosA=-cos(B+C)= . 3 3 1 2 2 (2)∵0<A<π ,cosA= ,∴sinA= . 3 3 1 由 S△ABC=2 2,得 bcsinA=2 2,∴bc=6. 2 由余弦定理,得 a =b +c -2bccosA, ∴9=(b+c) -2bc(1+cosA)=(b+c) -16, ∴b+c=5. 由?
? ?b+c=5 ?bc=6, ?
2 2 2 2 2

得?

? ?b=2 ?c=3 ?

或?

? ?b=3 ?c=2 ?

.

9


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