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新课堂高中数学人教A版选修2-1教师必备用书第3章 3.1 3.1.4 空间向量的正交分解及其坐标表示 Word版含答案

……………………………………………………………名校名师推荐………………………………………………… 3.1.4 空间向量的正交分解及其坐标表示 2.掌握空间向量的正交分 3.掌握在简单问题中运用空间三个不共面的向量作为 学习目标:1.了解空间向量基本定理及其意义. 解及其坐标表示.(难点) 基底表示其他向量的方法.(重点) [ 自 主 预 习· 探 新 知] 1.空间向量基本定理 如果三个向量 a,b,c 不共面,那么对空间任一向量 p,存在有序实数组{x, y,z},使得 p=xa+y b+zc. 其中{a,b,c}叫做空间的一个基底,a,b,c 都叫做基向量. 思考:(1)零向量能不能作为一个基向量? (2)当基底确定后,空间向量基本定理中实数组{x,y,z}是否唯一? [提示] 面. (2)唯一确定. 2.空间向量的正交分解及其坐标表示 单位正交基 底 空间直角坐 标系 空间向量的 坐标表示 有公共起点 O 的三个两两垂直的单位向量,记作 e1,e2,e3 以 e1,e2,e3 的公共起点 O 为原点,分别以 e1,e2,e3 的方向 为 x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立空间直角坐标系 Oxyz 对于空间任意一个向量 p,存在有序实数组{x,y,z},使得 p =xe1+ye2+ze3,则把 x,y,z 称作向量 p 在单位正交基底 e1, e2,e3 下的坐标,记作 p=(x,y,z) (1)不能.因为 0 与任意一个非零向量共线,与任意两个非零向量共 [基础自测] 1.思考辨析 (1)若{a,b,c}为空间一个基底,且 p=xa+yb+zc.若 p=0,则 x=y=z =0.( ) ) (2)若三个非零向量 a, b, c 不能构成空间的一个基底, 则 a, b, c 共面. ( → (3)以原点 O 为起点的向量OP的坐标和点 P 的坐标相同.( 1 ) ……………………………………………………………名校名师推荐………………………………………………… → (4)若OP=(2,3,0),则点 P 在平面 xOy 内.( [答案] (1)√ (2)√ (3)√ (4)√ ) 2.在长方体 ABCDA1B1C1D1 中,可以作为空间向量一个基底的是( → → → A.AB,AC,AD → → → C.D1A1,D1C1,D1D → → → B.AB,AA1,AB1 → → → D.AC1,A1C,CC1 ) → → → C [由题意知,D1A1,D1C1,D1D不共面,可以作为空间向量的一个基底.] 3.设{e1,e2,e3}是空间向量的一个单位正交基底,a=4e1-8e2+3e3,b= -2e1-3e2+7e3,则 a,b 的坐标分别为________. 【导学号:46342147】 a=(4,-8,3) b=(-2,-3,7) [由题意知 a=(4,-8,3),b=(-2,- 3,7).] [合 作 探 究· 攻 重 难] 基底的判断 (1)设 x=a+b,y=b+c,z=c+a,且{a,b,c}是空间的一个基底, 给出下列向量组:①{a,b,x},②{x,y,z},③{b,c,z},④{x,y,a+b+ c}.其中可以作为空间一个基底的向量组有( A.1 个 C.3 个 B.2 个 D.4 个 ) → → (2)已知{e1,e2,e3}是空间的一个基底,且 OA=e1+2e2-e3,OB=-3e1+ → → → → e2+2e3,OC=e1+e2-e3,试判断{OA,OB,OC}能否作为空间的一个基底. [解] → → → (1)如图所示,令 a=AB,b=AA1,c=AD, → → → 则 x=AB1,y=AD1,z=AC, a+b+c=AC1.由于 A,B1,C,D1 四点不共面,可知向量 x,y,z 也不共面, 同理 b,c,z 和 x,y,a+b+c 也不共面,故选 C. 2 ……………………………………………………………名校名师推荐………………………………………………… [答案] C → → → (2)设OA=xOB+yOC,则 e1+2e2-e3=x(-3e1+e2+2e3)+y(e1+e2-e3), 即 e1+2e2-e3=(y-3x)e1+(x+y)e2+(2x-y)e3 ?y-3x=1 ∴?x+y=2 ?2x-y=-1 此方程组无解. → → → 即不存在实数 x,y 使得OA=xOB+yOC, → → → 所以OA,OB,OC不共面. → → → 所以{OA,OB,OC}能作为空间的一个基底. [规律方法] 基底判断的基本思路及方法 (1)基本思路:判断三个空间向量是否共面,若共面,则不能构成基底;若 不共面,则能构成基底. (2)方法:①如果向量中存在零向量,则不能作为基底;如果存在一个向量 可以用另外的向量线性表示,则不能构成基底. ②假设 a=λb+μ c,运用空间向量基本定理,建立 λ,μ 的方程组,若有解, 则共面,不能作为基底;若无解,则不共面,能作为基底. [跟踪训练] 1.若{a,b,c}是空间的一个基底,试判断{a+b,b+c,c+a}能否作为空 间的一个基底. [解] 假设 a+b,b+c,c+a 共面,则存在实数 λ,μ,使得 a+b=λ(b+c) +μ(c+a),即 a+b=μa+λb+(λ+μ)C. ∵{a,b,c}是空间的一个基底,∴a,b,c 不共面. ?1=μ, ∴?1=λ, ?0=λ+μ, 此方程组无解. 3 ……………………………………………………………名校名师推荐………………………………………………… 即不存在实数 λ,μ,使得 a+b=λ(b+c)+μ(c+a), ∴a+b,b+c,c+a 不共面. 故{a+b,b+c,c+a}能作为空间的一个基底. 用基底表示向量 如图 3129,四棱锥 POABC 的底面为一矩形,PO⊥平面 OABC, → → → 设OA=a,O

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