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选修2-2第一章1.3.3函数的最大(小)值与导数学案作业


1.3.3 函数的最大(小)值与导数
【学习目标】 ⒈理解函数的最大值和最小值的概念,掌 握 可 导 函 数 f ( x ) 在 闭 区 间 ?a , b ? 上 所 有 点( 包 括 端 点 a , b ) 处 的 函 数 中 的 最 大 ( 或 最 小 ) 值 的充分条件; ⒉掌 握 用 导 数 求 函 数 的 极 值 及 最 值 的 方 法 和步骤 【学习重点】 :利用导数求函数的最大值和最小值的方法. 【学习难点】 :函数的最大值、最小值与函数的极大值和极小值的区别与联系. 【教学过程】 : 【复习回顾】 y 1. 极大值、极小值的概念: 2.求函数极值的方法: 【新课】
王新敞
奎屯 新疆

观察图中一个定义在闭区间 ?a , b ? 上的函数 f ( x ) 的图象.图 中 是极小值, ,最小值是 是极大值. 函数 f ( x )
a x1 O x2 x3 b

x

在 ?a , b ? 上的最大值是

1.结论:一般地, 那么函数 y
2. “最值”与“极值”的区别和联系 (1)最值”是整体概念,是比较整个定义域内的函数值得出的,具有绝对性;而“极值”是个 局部概念,是比较极值点附近函数值得出的,具有相对性. (2)从个数上看,一个函数在其定义域上的最值是唯一的;而极值不唯一; (3)函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个,而函数的极值可能不止一个,也可 能没有一个
王新敞
奎屯 新疆

? f (x)

在 ?a , b ? 上必有最大值与最小值.

(4)极值只能在定义域内部取得,而最值可以在区间的端点处取得,有极值的未必有最值,有 最值的未必有极值;极值有可能成为最值,最值只要不在端点必定是极值. 3.利用导数求函数的最值步骤: (1) (2) 【知识点实例探究】 例 1.求函数 f ( x ) ?
1 3 x
3

? 4 x ? 1 在[0,3]上的最大值与最小值。

1

变式:1 求下列函数的最值: (1)已知 f ( x ) ? 6 ? 12 x ? x , x ? [ ?
3

1 3

,1] ,则函数的最大值为______,最小值为______。

(2)已知 f ( x ) ? 6 x ? x ? 2 , x ? [1, 2 ] ,则函数的最大值为______,最小值为______。
2

(3)已知 f ( x ) ? x ? 27 x , x ? [ ? 3 , 3 ] ,则函数的最大值为______,最小值为______。
3

(4) f ( x ) ? 3 x ? x , x ? [1, 2 ] 则函数的最大值为______,最小值为______。
3

变式:2 求下列函数的最值: (1) f ( x ) ? 6 x ? x ? 2
2

(2) f ( x ) ? 6 ? 12 x ? x

3

例 2.已知函数 f ( x ) ? 2 x ? 6 x ? a 在[-2,2]上有最小值-37,
3 2

(1)求实数 a 的值; (2)求 f ( x ) 在[-2,2]上的最大值。

例 3.已知 f ( x ) ? log 3

x ? ax ? b
2

, x ∈(0,+∞).是否存在实数 a、 b ,使 f ( x ) 同时满足下列两个条

x

件: (1) f ( x ) )在(0,1)上是减函数,在[1,+∞)上是增函数; (2) f ( x ) 的最小值是 1,若存在, 求出 a、 b ,若不存在,说明理由.

【回顾总结】
2

函数的最大值与最小值作业
一、选择题 1.下列说法正确的是 ( ) A.函数的极大值就是函数的最大值 B.函数的极小值就是函数的最小值 C.函数的最值一定是极值 D.在闭区间上的连续函数一定存在最值 2.函数 y=f(x)在区间[a,b]上的最大值是 M,最小值是 m,若 M=m,则 f′(x) A.等于 0 B.大于 0 C.小于 0 D.以上都有可能 3.函数 y= A.0
1 4 x
4

?

1 3

x ?
3

1 2

x ,在[-1,1]上的最小值为

2

( )

B.-2

C.-1 ( ) B. (log
2
2

D.

13 12

4.下列求导运算正确的是 A. ( x ?
x

1 x

)? ? 1 ?
x

1 x
2

x)? ?

1 x ln 2

C. ( 3 ) ? ? 3 ? log 3 e

D. ( x cos x ) ? ? ? 2 sin x

5.设 y=|x|3,那么 y 在区间[-3,-1]上的最小值是 ( ) A.27 B.-3 C.-1 D.1 3 2 6.设 f(x)=ax -6ax +b 在区间[-1,2]上的最大值为 3,最小值为-29,且 a>b,则( ) A.a=2,b=29 B.a=2,b=3 C.a=3,b=2 D.a=-2,b=-3 二、填空题 7.函数 y=2x3-3x2-12x+5 在[0,3]上的最小值是___________. 8.已知函数 f(x)=2-x2,g(x)=x.若 f(x)*g(x)=min{f(x),g(x)},那么 f(x)*g(x)的最大值是 9.将正数 a 分成两部分,使其立方和为最小,这两部分应分成____和____. 10. 函数 y
? x ? 2 cos x



在 ? 0, ? 上取最大值时, x 的值为
? 2?

?

π?

2 11. 函数 f ( x ) ? x 5 ? 5 x 4 ? 5 x 3 ? 1 在 [ ? 1, ] 上的值域为

三、解答题 12. 求 函 数 y ? x ? 2 x ? 5 在区间 ?? 2 , 2 ? 上 的最大值与最小值.
4 2

3

13.设 a ? 0 为常数,求函数 y ? e

?x

?e

?2 x

在区间 [ 0 , a ] 上的最大值和最小值。

14 已知函数 f ( x ) ? (1)当 a ?
1 2

x

2

? 2x ? a x

, x ? [1, ?? ) ,

,求函数 f ( x ) 的最小值;

(2)若对于任意 x ? [1, ?? ), f ( x ) ? 0 恒成立,试求实数 a 的取值范围。

4



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