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人教版高中数学必修1.2.1


复习回顾
1.在初中我们是如何定义锐角三角函数的?
P c a

sin ? ?

cos? ?
tan ? ?

?
O b M

a c b c a b

新课

导入

2.在直角坐标系中如何用坐标表示锐角三角函数?
P
a

O y

?
b

M

x

2.在直角坐标系中如何用坐标表示锐角三角函数?

其中 : OM ? a MP ? b OP ? r ? a ? b
2 2

MP b sin ? ? ? OP r
OM a cos ? ? ? OP r

y

﹒P?a, b?
?

o



MP b tan ? ? ? OM a

M x

诱思

探究

如果改变点P在终边上的位置,这三个比值会改变吗?
y
P(a,b)

P?

?OMP ∽ ?OM ?P?
MP sin ? ? OP
OM cos ? ? OP
x


M

?

O

M?

MP tan ? ? OM

M ?P ? ? OP ? ? OM ? OP ? M ?P ? ? OM ?

1.锐角三角函数(在单位圆中)

若OP ? r ? 1 ,则
以原点O为圆心,以单位 长度为半径的圆,称为单位圆. y

P(a, b)
1 ? O M

MP sin ? ? OP
x

?b

OM cos ? ? OP

?a b MP tan ? ? ? OM a

2.任意角的三角函数定义
设 ? 是一个任意角,它的终边与单位圆交于点P( x, y ) 那么:(1)y 叫做

? 的正弦,记作 sin ? ,即 sin ? ? y ; (2)x 叫做 ? 的余弦,记作 cos?,即 cos? ? x ; y ? 的正切,记作tan ? ,即 tan ? ? y ( x ? 0) (3) 叫做
x
x
y

P ? x, y ? ﹒
O

?
A?1,0? x

所以,正弦,余弦,正切都 是以角为自变量,以单位圆上点 的坐标或坐标的比值为函数值的 函数,我们将他们称为三角函数.

使比值有意义的角的集合 即为三角函数的定义域.

? 的终边 y

说 明
(1)正弦就是交点的纵坐标,余弦就是交点

P ( x, y )

?
o

x
A(1,0)

正切就是 交点的纵坐标与 的横坐标,
横坐标的比值. (2) 正弦、余弦总有意义.当

y ? 横坐标等于0,tan ? ? 无意义,此时 ? ? ? k? (k ? z ). x 2

? 的终边在 y 轴上时,点P 的

(3)由于角的集合与实数集之间可以建立一一对应关系, 三角函数可以看成是自变量为实数的函数.

5? 例1.求 3 的正弦、余弦和正切值.

实例

剖析

5? ,易知 ?AOB 解:在直角坐标系中,作 ?AOB ? 3
的终边与单位圆的交点坐标为 5? 5? 3 5? 1 ? ? 3. ?? , cos ? , tan 所以 sin 3 2 3 3 2 7? 5? y 思考:若把角 改为 呢? 3 6 7? 1 5? sin ?? , 3 6 2 ﹒ o A x 7? ? 3 cos ? , 6 2 ﹒B 7? 3 t an ? 6 3
1 3 ( , ? ). 2 2

例2.已知角 ? 的终边经过点 P (?3,?4) ,求角 ? 0 的正弦、余弦和正切值 .
解:由已知可得 设角 ? 的终边与单位圆交于 P ( x, y ) , M 分别过点 P 、 0 作 x 轴的垂线 MP、 0 P0 P
OP0 ? (?3) 2 ? (?4) 2 ? 5.
y

M0

M

M 0 P0 ? 4

OM0 ? 3 ?OMP ∽ ?OM 0 P0

MP ? ? y OM ? ? x

O
P ? x, y ?

x

P0 ?? 3,?4?

M0P y ? | MP | 4 0 sin ? ? y ? ? ?? ?? ; 于是, 1 OP OP 5 0 OM 0 x ? OM 3 cos? ? x ? ? ?? ?? ; 1 OP OP 5 0 y sin ? 4 tan ? ? ? ? . x cos ? 3

定义推广:
设角? 是一个任意角, ( x, y ) 是终边上的任意一点, P 点 P 与原点的距离 r ?

x 2 ? y 2 ? 0.

y y sin ? ? 那么① 叫做 ? 的正弦,即 r r x x ② r 叫做? 的余弦,即 cos ? ? r y y tan ? ? ?x ? 0? ③ x 叫做? 的正弦,即 x

任意角? 的三角函数值仅与 ? 有关,而与点 P 在角的 终边上的位置无关.

巩固

提高

练习: 1.已知角 ? 的终边过点 P??12,5? ,

求 ? 的三个三角函数值.
解:由已知可得:

r? x ?y ?
2 2

?? 12 ?

2

? 5 ? 13
2

y 5 x 12 于是,sin ? ? ? , cos ? ? ? ? r 13 r 13 y 5 tan ? ? ? ? x 12

P15.2

2.已知角?的终边上一点P ? ?15a,8a ? ? a ? R且a ? 0?,

求角?的sin ? ,cos ? , tan ?的值.
解:由于x ? -15a, y ? 8a,
所以r ?

? ?15a ? ? ?8a ? ? 17 a ? a ? 0? ?1? 若a ? 0则r ? 17a, 于是
2 2

8a 8 ?15a 15 8a 8 sin ? ? ? , cos ? ? ? ? , tan ? ? ?? 17a 17 17a 17 ?15a 15

? 2? 若a ? 0则r ? -17a, 于是
8a 8 ?15a 15 8a 8 sin ? ? ? ? , cos ? ? ? , tan ? ? ?? ?17a 17 ?17a 17 ?15a 15

3.已知角?的终边在直线y ? 2 x上,求角?的sin ? ,cos ? , tan ?的值.

解: ?当角?的终边在第一象限时, ?1
在角?的终边上取点?1, 2 ?,则r= 12 ? 22 ? 5
sin ? ? 2 2 5 1 5 2 ? , cos ? ? ? , tan ? ? ? 2 5 5 1 5 5

? 2?当角?的终边在第三象限时,
在角?的终边上取点? ?1, ?2?,则r ?

? ?1? ? ? ?2? ? 5
2 2

?2 2 5 ?1 5 ?2 sin ? ? ?? ,cos ? ? ?? , tan ? ? ?2 5 5 ?1 5 5

特殊角的三角函数:

角度? 0? 30? 45? 60? 90? 180? 270?360? ? ? ? 3? 角?的 ? 2? 0 6 4 3 2 ? 2 弧度数

sin ? 0

1 2

2 2

cos? 1

3 2

1
不 存 在

0

?1

0

tan ? 0

3 2 3 3

2 2

1 2

0 ?1
0

0
不 存 在

1
0

1

3




1.根据三角函数的定义,确定它们的定义域 (弧度制)
三角函数 定义域

cos? tan ?

sin ?

R
R
? ? ? ?? ? ? ? k? (k ? Z )? 2 ? ?

2.确定三角函数值在各象限的符号
y ( +) + o x ( - )( - )
sin ?

y ( - )( +) o x ( - )( + ) cos?

y ( -) ( + ) o x ( +) ( - )
tan ?

三个三角函数在各象限的符号
y sin ? ? r
y + +

x cos ? ? r
y
x -o + + x

y tan ? ? x
y
+ o + - x

o

-

y

sin ? 全为+
tan ?
o

记法:
一全正 二正弦 三正切 四余弦

cos?

x

心得:角定象限,象限定符号.

例3. 求证:当下列不等式组成立时,角 ?

为第三象限角.反之也对.

证明:

?sin ? ? 0 ? ? tan? ? 0

① ②

因为①式sin ? ? 0 成立,所以 ? 角的终边可能位于第三 或第四象限,也可能位于y 轴的非正半轴上; 又因为②式 tan ? ? 0 成立,所以角? 的终边可能位于 第一或第三象限. 因为①②式都成立,所以角? 的终边只能位于第三象限. 于是角 ? 为第三象限角.

反过来请同学们自己证明.



如果两个角的终边相同,那么这两 个角的同一三角函数值有何关系?
终边相同的角的同一三角函数值相等(公式一)

sin(? ? k ? 2? ) ? sin ? cos(? ? k ? 2? ) ? cos? tan( ? k ? 2? ) ? tan? ?
其中

k?z

利用公式一,可以把求任意角的三角函数值,转化为 求 0到2?

?或0? ? 360?? 角的三角函数值 .

例4、确定下列三角函数值的符号:

(1) cos250 ; (3) tan(?672 );
o

o

( 2) sin ( ?

?
4

);

(4) tan3? .

例题

解: (1)因为

250 ?是第三象限角,所以 cos 250 ? ? 0;

? ? ? (2)因为 ? 是第四象限角,所以 sin ? ? ? ? 0; 4 ? 4?

?

(3)因为 tan(?672?)= tan(48? ? 2 ? 360?) ? tan 48?, 而48 ?是第一象限角,所以 tan(?672?) ? 0;

(4)tan3? ? tan(? ? 2? ) ? tan? ? 0.

例5:求下列三角函数值:

9? ? 11? ? ?1?sin 780?; ?2?cos ; ?3? tan ? ? ? 4 ? 6 ? 解: ?sin 780? ? sin( 60? ? 2 ? 360?) ?1
9? ? ? 2 ?2? cos ? cos( ? 2? ) ? cos ? 4 4 4 2
3 ? sin 60? ? 2

11? ? ? 3 ?3? tan( ? ) ? tan( ? 2? ) ? tan ? 6 6 6 3

6.已知 ? 在第二象限, 试确定 sin(cos?)?cos(sin?) 的符号.
解: ∵? 在第二象限, ∴-1<cos?<0, 0<sin?<1. ∵- ? <-1, 1< ? , ∴- ? <cos?<0, 0<sin?< ? . 2 2 2 2 ∴sin(cos?)<0, cos(sin?)>0. ∴sin(cos?)?cos(sin?)<0. 故 sin(cos?)?cos(sin?) 的符号为“ - ”号.

? 11? 练习:求值 cos ? ? ? 3
? 11? 解: ? ? cos ? 3

? ? 71? ? ? sin ? ? ? ? 6

? ? 19? ? ? ? tan ? ? ? ? 3 ?

? ? 71? ? ? sin ? ? ? ? 6

? ? 19? ? ? ? tan ? ? ? ? 3 ?

?? ?? ?? ? ? ? ? cos ? ?4? ? ? ? sin ? ?12? ? ? ? tan ? 6? ? ? 3? 6? 3? ? ? ?

? cos

?
3

? sin

?
6

? tan

?
3

1 1 ? ? ? 3 ? 1? 3 2 2

归纳
1. 内容总结:

总结

①三角函数的概念. ②三角函数的定义域及三角函数值在各象限的符号. ③诱导公式一. 2 .方法总结: 运用了定义法、公式法、数形结合法解题. 3 .体现的数学思想: 划归的思想,数形结合的思想.

下面我们再从图形角度认识一下三角函数.

sin? ? y ? MP
M
A P

cos ? ? x ? OM

思考: 为了去掉等式中得绝对值符号,能否 给线段OM、MP规定一个适当的方向, 使它们的取值与点P的坐标一致?

我们把带有方向的线段叫有向线段. (规定:与坐标轴相同的方向为正方向).
y
? 的终边

P
x

M?

? 的终边

P?

o

M

当角α的终边不在坐 标轴上时,以M为始点、 P为终点,规定:

当线段MP与y轴同向 时,MP的方向为正向, 且有正值y;
当线段MP与y轴反向 时MP的方向为负向, 且有负值y. MP=y=sinα 有 向线段MP叫角α的正 弦线

α的 终边 P

y
A(1,0 ) x

y P O

α的 终边 A(1,0 M ) x

MO

(Ⅱ)
y

(Ⅰ)
y

M O
α的 P 终边

A(1,0 ) x

O

M A(1,0 ) x P

(Ⅲ)

(Ⅳ)

α的 终边

当角α的终边不在坐 标轴上时,以O为始点、 M为终点,规定:

|MP|=|y|=|sinα| |OM|=|x|=|cosα|
y
A(1,0 ) x

当线段OM与x轴同向 时,OM的方向为正向,且 有正值x;
当线段OM与x轴反向 时,OM的方向为负向,且 有负值x.

α的 终边 P

y P O

α的 终边 A(1,0 M ) x

MO

(Ⅱ)
y

(Ⅰ)
y

O OM=x=cosα 有 向线段OM叫角α的余弦 P α的 终边 线 (Ⅲ)

M

A(1,0 ) x

O

M A(1,0 ) x P

(Ⅳ)

α的 终边

MP AT y tan ? ? ? ? AT ? OM OA x

α的 终边 P

y
A(1,0 ) x

y P O T

T α的

终边

过点A(1,0)作单位 圆的切线,设它与α 的终边或其反向延 长线相交于点T. 有向线段AT叫 角α的正切线
终边

MO

A(1,0 M ) x

(Ⅱ)
y T
A(1,0 ) x

(Ⅰ)
y M A(1,0 ) x P T

M O
α的 P

O

(Ⅲ)

(Ⅳ)

α的 终边

这三条与单位圆有关的有向线段MP、OM、 AT,分别叫做角α的正弦线、余弦线、正切 线,统称为三角函数线
当角α的终边与x轴重合时,正弦线、正切 线,分别变成一个点,此时角α的正弦值和正 切值都为0; 当角α的终边与y轴重合时,余 弦线变成一个点,正切线不存 在,此时角α的正切值不存在.
α的 终边 P

y
A(1,0 ) x

MO

T

作三角函数线的步骤:
(1) 作出角的终边,画单位圆; (2) 设α的终边与单位圆交于点P,作 PM⊥x轴于M,则有向线段MP是正弦线, 有向线段OM是余弦线; (3) 设单位圆与x轴的正半轴交于点A, 过点A作x轴的垂线与角α的终边 (或其反向延长线)交于点T, 则有向线段AT是正切线.

y

α终边 P T P

y

O

M

A

x
正弦线

M

O
T

A

x

y
P M T

余弦线 正切线

y

M

O
P

A

x

O
P

A

x

T

注意: 1、正弦线、余弦线、正切线解释了正弦 函数、余弦函数、正切函数的几何意义。
余弦线的起点在原点,余弦线在x轴上; 正切线的起点在A(1,0),正切线与y轴平行.

2、正弦线的起点在x轴上,正弦线与y轴平行;

3、当正弦线、余弦线、正切线的方向与 x轴或y轴的正方向相同时,对应的三角 函数值为正值;与x轴或y轴的正方向相反 时,对应的三角函数值为负值。

例 题 示 范
4? 例1.作出角 ? 的正弦线, 余弦线, 正切线. 3
?

Py M A x

MP是正弦线 OM是余弦线 AT是正切线

o

T

例:在单位圆中作出符合条件的角的终边:

1 ?2 ? cos ? ? 2
-1

y
1

? 3
1
1 x? 2

O

x

? 5? ? ? 2k? ? ,2k? ? ??k ? Z ?-1 ? 3 3? ?

5? 3

练习
3? 5? 3? 3? 7? A( , ) B( , ) C ( , 2? ) D ( , ) 2 4 4 4 2 2 4

1.在(0, 2? )内使 cos x ? sin x ? tan x成立的x的取值范围是( C )

? 3?

y

o

M A x

3? 2.若? ? ( , ? ),则下列各式错误的是( D ) 4

P T
y P M o x y=-x

( A)sin ? ? cos ? ? 0
(C ) | sin ? |?| cos ? |

( B)sin ? ? cos ? ? 0 ( D)sin ? ? cos ? ? 0

分析: ? ? 0,cos? ? 0,| sin ? |?| cos ? | sin

小 结
1. sin(? ? k ? 2? ) ? sin ?

cos(? ? k ? 2? ) ? cos? t an( ? k ? 2? ) ? t an? (k ? z ) ?
2.三角函数线的定义,会画 任意角的三角函数线; 3. 利用单位圆比较三角函数值 的大小,求角的范围.


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