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湖北省黄冈市名校2010年高三年级数学模拟试题(3)


湖北省黄冈市名校 2010 年高三年级数学模拟试题(3)
黄梅一中特级教师命制
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的,请把正确的答案填在题后的括号内. 1. 已知集合 A= {x | x ? 1 ? 0} , {x || x |? 2} , B= 则集合 A ? B = A. {x | x ? 1} 2.如果 ? ? ? A.
2 2 5





B. {x | x ? 1或x ? ?2}

C. {x | x ? ?2或x ? 2} ) D.-
4 2 5

4 ?? 2 ?? ? ? , ? ?, 且 sin? ? , 那 么sin? ? ? ? ? cos? ? ( 5 4? 2 ?2 ? ?

B. ?

2 2 5

C.

4 2 5

3.已知等差数列{an}的公差为 2,若 a1 , a 3 , a 4 成等比数列,则 a2= ( ) A.-4 B.-6 C.-8 D.-10 4.设 m、n 是两条不同的直线, ?、? 是两个不同的平面,给出下列四个命题: ①若 m ? ? , n // ? ,则 m // n ; ②若 m ? n, m ? ? ,则 n // ? ; ③若 ? ? ? ? n, m // n ,则 m // ? , 且m // ? ; ④若 m ? ? , m ? ? ,则 ? // ? . 其中正确命题的个数是 ( ) A.1 B.2 C.3 D. 4 5.直线 y ?

3 x 绕原点逆时针方向旋转 30? 后所得直线与圆 ( x ? 2)2 ? y 2 ? 3 的位置关系是 3
B. 直线与圆相交,但不过圆心 D. 直线与圆无公共点 ( )

() A. 直线过圆心 C. 直线与圆相切

?2 x , x ? 1 ? 6. 已知函数 f ( x ) ? ?log x, x ? 1 , 则函数 y ? f (1 ? x) 的大致图象是 ? 1 ? 2

A. 7.设点 F1 , F2 是双曲线 x ?
2 2

B.

C.

D.

y ? 1的两个焦点,点 P 是双曲线上一点,若 3 PF1 ? 4 PF2 ,则 3


?PF1F2 的面积等于(

A. 5 3 B. 3 15 C. 4 5 D. 2 10 8、用数字 0,1,2,3,4,5 组成的无重复数字的四位偶数的个数为( ) A.96 B.180 C.156 D.126
2 3 9、若存在过点 (1,0) 的直线与曲线 y ? x 和 y ? ax ?

15 x ? 9 都相切,则 a 等于( ) 4

-1-

7 25 或4 64 ' f ( x)的定义域为?3,??) ,且 f (6) ? f ( ?3) ? 2 . f ( x) [ 10、已知函数
A. ?1 或 B. ?1 或 C. ?
' 为 f ( x ) 的导函数, f ( x) 的图像如右图所示.若正数 a , b 满足

25 64

21 4

D. ?

7 或7 4

f (2a ? b) ? 2,则
3 2 9 C. (? ,3) 2
A. (? ,3)

b?3 的取值范围是( ) a?2 3 2 9 D. (??, ? ) ? (3, ??) 2
B. (??, ? ) ? (3, ??)

二、填空题(每小题 5 分,共 5 小题,共 25 分)
11、高三某班有 50 名学生,其中男生 30 人,女生 20 人,为了调查这 50 名学生的身体状况,

现采用分层抽样的方法,抽取一个容量为 20 的样本,则男生被抽取的人数是 12、已知 a= (1, x) ,b ? (2 x ? 3, ? x) ,若 a//b,则|a ? b|= .

人.

13 、 y ? a x?1 (a ? 0, a ? 1) 的 图 象 恒 过 定 点 A, 若 点 A 在 直 线 mx ? ny ? 1 ? 0 上 , 其 中

m、n ? 0 ,则

2 1 ? 的最小值为 m n

. _. 空间 四面体的任意三个面的面积之和大于第 四个面的面积 三棱锥的体积等于任一底面的面积与这 1 底面上的高的乘积的 3

14、下表中空白处应填写___ 平面 三角形的两边之和大于第三边 三角形的面积等于任意一边的长 1 度与这边上高的乘积的 2 三角形的面积等于其内切圆半径 1 与三角形周长乘积的 2 15.给出定义:若 m ?

1 1 ? x ? m ? (m ? z ) ,则 m 叫离实数 x 最近的整数,记作 {x} ? m , 2 2

在此基础上给出关于 x 的函数 f ( x) ? x ?{x} 的四个命题:① y ? f ( x) 的定义域为 R ,值域 为 [0, ] ;② y ? f ( x) 的图象关于直线 x ? 小正周期为 1;④ y ? f ( x) 在 [?

1 2

k (k ? z ) 大写对称;③ y ? f ( x) 是周期函数,最 2
.

1 1 , ] 上是增函数.其中正确命题的序号为 2 2

三、解答题:本大题共 6 个小题,共 75 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 16.(本小题满分 12 分) 设△ABC 的三内角 A、B、C 的对边长分别为 a、b、c,已知 b cos C ? (2a ? c) cos B .

-2-

(Ⅰ)求角 B 的大小; (Ⅱ)若 x ?[0, ? ) ,求函数 f ( x) ? sin( x ? B) ? sin x 的值域.

17、甲、乙二人进行一次围棋比赛,约定先胜 3 局者获得这次比赛的胜利,比赛结束。假设 在一局中,甲获胜的概率为 0.6,乙获胜的概率为 0.4,各局比赛结果相互独立。已知前 2 局 中,甲、乙各胜 1 局。 (Ⅰ)求再赛 2 局结束这次比赛的概率; (Ⅱ)求甲获得这次比赛胜利的概率。

18、 (本小题满分 12 分) 如图,在四棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD 是矩形, M、N 分别为 PA、BC 的中点, PD⊥平面 ABCD,且 PD=AD= 2 ,CD=1 (1)证明:MN∥平面 PCD; (2)证明:MC⊥BD; (3)求二面角 A—PB—D 的余弦值。

19、(本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? (I) (II)

1 3 3 2 x ? ax ? (a ? 3) x ? b , 3 2 4 若函数 f ( x ) 在 x ? ?1 处取得极值 ? ,求实数 a,b 的值; 3
若 a=1,且函数 f ( x ) 在[-1,2]上恰有两个零点,求实数 b 的取值范围.

20、(本小题满分 13 分) 已知椭圆的中心在坐标原点 O ,长轴长为 2 2 ,离心率 e ? 于 P , Q 两点. (Ⅰ)求椭圆的方程; (Ⅱ)当直线 l 的斜率为 1 时,求 ?POQ 的面积;

2 ,过右焦点 F 的直线 l 交椭圆 2

-3-

(Ⅲ)若以 OP, OQ 为邻边的平行四边形是矩形,求满足该条件的直线 l 的方程.

21、 (本小题满分 14 分) 已知 a1 ? 1 , a n ?1 ?

an ? 4 (n ? N * ) an ? 1
an ? 2 } 是等比数列; an ? 2

(1)求 a2 , a3 , a4 的值并证明数列 {

(2)判断 xn 与 2 的大小关系,并证明你的结论; (3)求证: | a1 ? 2 | ? | a2 ? 2 | ?...? | an ? 2 | ≤ 2 ? ( )

1 2

n ?1

.

-4-

参考答案
一、选择题:1D 2A 3B 4A 5C 6C 7B 8C 9A 10 B

1. 【解析】由已知, 故选 D.

A ? ? x x ? 1? , B ? ? x x ? 2或x ? ?2? ,所以 A ? B ? ? x x ? ?2 或x ? 1? ,

2 ? 4 2 2 2 cos? ? sin ? cos ? ? ? ? 故选 A. 4 2 4 5 2 5 2 3、 【解析】公差为 d , (a1 ? 2d ) ? a1 (a1 ? 3d ) ? a1 ? ?4d ? ?8, a2 ? ?6 ? 故选 B.
2、 【解析】 sin(? ?

?

)?

4、 【解析】命题①②③错误,命题④正确,故选 A. 5、旋转后的直线方程为 y ? 3x, d ? r ? 相切,故选 C.

6. 【解析】由已知,

7. 【解析】据题意,

? 1 x ?1 ?( ) , x ? 0 ,故选 C. f (1 ? x) ? ? 2 log 1 (1 ? x), x ? 0 ? ? 2 4 PF1 ? PF2 ,且 PF1 ? PF2 ? 2 ,解得 PF1 ? 8, PF2 ? 6 . 3
2 2 2



PF1 ? PF2 ? F1 F2 F1F2 ? 4 ,在 ?PF1F2 中由余弦定理,得 cos ?F1 PF2 ? 2 PF1 PF2

?

7 . 8

从而 sin ?F PF2 1

? 1 ? cos2 ?F1PF2 ?

15 8
3 5

,所以 S?PF F

1 2

1 15 ? ? 6?8? ? 3 15 ,故选 B. 2 8
或 4 在 个 位 的 个 数 为

8 、 0

在 个 位 的 个 数 为
2

A

? 60 ;

2

C 1 ? 4? A 4 ? 96 ? 60 ? 96 ? 156 2
3 3 3 2 9、 切线与 y ? x 相切于点 (m, m ), 切线方程为 y ? m ? 3m ( x ? m) 过点 (1, 得 m ? 0, 0)

3 , 2

故切线方程为 y ? 0, 或 y ?

27 65 ( x ? 1) 解得 a ? ? 或 a ? ?1 选 A 4 4

?2 a ? b ? 6 ? 10、由导数正负性知函数在[-3,0]上单减,在[0,+ ?) 单增,故不等式等价于 ? a ? 0 设 ? b?0 ?
P(a, b), M (2,?3) ? k PM ?
二、填空题: 11、 【解析】根据分层抽样原理,男生被抽取的人数为 20× 12、2 或 2 5 13、 2 2 14、三棱锥的体积等于其内切球半径与三棱锥全面积的乘积的

b?3 3 , k PM ? 3 或 k PM ? ? ,选 B a?2 2 30 =12 人. 50

1 3

-5-

15、15. ①②③
三、解答题:

? (2sin A ? sin C ) cos B . (2 分) 即 sin B cos C ? cos B sin C ? 2sin A cos B ,所以 sin( B ? C ) ? 2sin A cos B . (4 分) 1 因为 sin( B ? C ) ? sin A ? 0 ,则 2 cos B ? 1 ,即 cos B ? . (5 分) 2 ? 因为 B∈(0,π ),所以 B= . (6 分) 3 π ? ? ? ? ?) sx ? in xin cos x cos six s ? ? n (Ⅱ)因为 B ? , 则 f ( x)? s i nx( 3 3 3 3 3 3 ? (9 分) ? sin x ? cos x ? 3 sin( x ? ) . 2 2 6 ? ? 5? ? 1 x ?[0, ? ) ,则 ? ? x ? ? ,所以 sin( x ? ) ? [ ? ,1] . (11 分) 6 6 6 6 2 3 故函数 f ( x ) 的值域是 [? (12 分) , 3] . 2
16、 【解】 (Ⅰ)由已知及正弦定理,得 sin B cos C 17、 【解析】本小题考查互斥事件有一个发生的概率、相互独立事件同时发生的概率,综

sin

合题。 解:记“第 i 局甲获胜”为事件 Ai (i ? 3,4,5) , “第 j 局甲获胜”为事件 Bi ( j ? 3,4,5) 。 (Ⅰ)设“再赛 2 局结束这次比赛”为事件 A,则

A ? A3 ? A4 ? B3 ? B4 ,由于各局比赛结果相互独立,故 P( A) ? P( A3 ? A4 ? B3 ? B4 ) ? P( A3 ? A4 ) ? P( B3 ? B4 ) ? P( A3 ) P( A4 ) ? P( B3 ) P( B4 )
? 0.6 ? 0.6 ? 0.4 ? 0.4 ? 0.52 。
(Ⅱ)记“甲获得这次比赛胜利”为事件 B,因前两局中,甲、乙各胜 1 局,故甲获得这 次比赛胜利当且仅当在后面的比赛中,甲先胜 2 局,从而

B ? A3 ? A4 ? B3 ? A4 ? A5 ? A3 ? B4 ? A5 ,由于各局比赛结果相互独立,故
P( B) ? P( A3 ? A4 ? B3 ? A4 ? A5 ? A3 ? B4 ? A5 )
? P ( A3 ? A4 ) ? P ( B3 ? A4 ? A5 ) ? P ( A3 ? B4 ? A5 ) ? P ( A3 ) P ( A4 ) ? P ( B3 ) P ( A4 ) P ( A5 ) ? P ( A3 ) P ( B4 ) P ( A5 ) ? 0.6 ? 0.6 ? 0.4 ? 0.6 ? 0.6 ? 0.6 ? 0.4 ? 0.6 ? 0.648
18、18. (本小题满分 12 分)

解: (1)证明:取 AD 中点 E,连接 ME,NE, 由已知 M,N 分别是 PA,BC 的中点, ∴ME∥PD,NE∥CD

-6-

又 ME,NE ? 平面 MNE,ME ? NE=E, 所以,平面 MNE∥平面 PCD, 所以,MN∥平面 PCD (2)证明:因为 PD⊥平面 ABCD, 所以 PD⊥DA,PD⊥DC, 在矩形 ABCD 中,AD⊥DC, 如图,以 D 为坐标原点, 射线 DA,DC,DP 分别为 x 轴、 y 轴、 z 轴 正半轴建立空间直角坐标系 则 D(0,0,0) ,A( 2 ,0,0) , B( 2 ,1,0) C (0,1,0) , P(0,0, 2 ) 5分 2分 3分

所以 M (

2 2 2 2 ,0, ) BD ? (? 2 ,1,0) , MC ? (? , ,1,? ) 2 2 2 2

6分

∵ MC · BD =0,所以 MC⊥BD (3)解:因为 ME∥PD,所以 ME⊥平面 ABCD,ME⊥BD,又 BD⊥MC, 所以 BD⊥平面 MCE, 所以 CE⊥BD,又 CE⊥PD,所以 CE⊥平面 PBD, 由已知 E (

7分

2 2 ,1,0) ,0,0) ,所以平面 PBD 的法向量 EC ? (? 2 2

9分

M 为等腰直角三角形 PAD 斜边中点,所以 DM⊥PA, 又 CD⊥平面 PAD,AB∥CD,所以 AB⊥平面 PAD,AB⊥DM, 所以 DM⊥平面 PAB, 所以平面 PAB 的法向量 MD ? (-

11 分 12 分

2 2 ,0, ? ) 2 2

设二面角 A—PB—D 的平面角为θ , 则 cos ? ?

EC ? MD | EC || MD |

?

6 . 6

所以,二面角 A—PB—D 的余弦值为

6 . 6

12 分

19、 (19)(本小题满分
' 2

12 分)

解: (I) f ( x) ? x ? 3ax ? a ? 3 ,……………………………………….2 分

-7-

? f ' (?1) ? 1 ? 3a ? a ? 3 ? 0 4 ? 函数 f ( x ) 在 x ? ?1 处取得极值 ? ,则 ? 1 3 4 , ….3 分 3 ? f (?1) ? ? ? a ? a ? 3 ? b ? ? 3 2 3 ?

解之,a ? ?2, b ? 1.
经检验,当 a ? ?2, b ? 1 时函数 f ( x ) 在 x ? ?1 处取得极值………………………5 分 (II)若 a=1, f ( x) ?

1 3 3 2 x ? x ? 2 x ? b,f ' ( x) ? x 2 ? 3x ? 2 , 3 2

令 f ' ( x) ? 0, 得,x ? 1或x ? 2 , x -1 (-1,1) 1 (1,2) 2

f ' ( x)
f ( x)
b? 23 6


+
极大值 ↘

b? 5 6 b? 2 3

…………………………………………………………………………………..9 分

? 函数 f ( x) 在[-1,2]上恰有两个零点
5 ? f (1) ? b ? ? 0 ? 6 ? 23 ? 5 2 ? ? f (?1) ? b ? ? 0 ,即 ? ? b ? ? ……………………………………………12 分 6 ? 6 3 2 ? ? f (2) ? b ? 3 ? 0 ?

20、解: (Ⅰ)由已知,椭圆方程可设为

x2 y 2 ? ? 1? a ? b ? 0 ? . a 2 b2

---------------1 分

∵长轴长为 2 2 ,离心率 e ? ∴ b ? c ? 1, a ? 2 .

2 , 2

所求椭圆方程为

x2 ? y2 ? 1 . 2

---------------- 4 分

(Ⅱ)因为直线 l 过椭圆右焦点 F ?1,0 ? ,且斜率为 1 ,所以直线 l 的方程为 y ? x ? 1 .

-8-

设 P ? x1 , y1 ? , Q ? x2 , y2 ? , 由 ?

? x 2 ? 2 y 2 ? 2, ? y ? x ? 1,



1 3 y 2 ? 2y ? 1 ,解得 y1 ? ?1, y2 ? . ? 0 3
---------------8 分
?

∴ S?POQ ?

1 1 2 OF ? y1 ? y2 ? y1 ? y2 ? . 2 2 3

(Ⅲ)当直线 l 与 x 轴垂直时,直线 l 的方程为 x ? 1 ,此时 ?POQ 小于 90 ,OP, OQ 为 邻边的平行四边形不可能是矩形.---------------9 分 当直线 l 与 x 轴不垂直时,设直线 l 的方程为 y ? k ? x ?1? .

? x 2 ? 2 y 2 ? 2, ? 2 2 2 2 由 ? 可得 ?1 ? 2k ? x ? 4k x ? 2k ? 2 ? 0 . y ? k ? x ? 1? , ? ?
∴ x1 ? x2 ?

4k 2 2k 2 ? 2 , x1 x2 ? . 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2

? y1 ? k ( x1 ?1) , y2 ? k ( x2 ?1)
? y1 y2 ? ?k 2 ---------------11 分 1 ? 2k 2

因为以 OP, OQ 为邻边的平行四边形是矩形 ? OP ? OQ ? 0 . 由 OP ? OQ ? x1 x 2 ? y1 y 2 ?

2k 2 ? 2 ?k2 ? ? 0 得 k2 ? 2 , 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2

?k ? ? 2 .
? 所求直线的方程为 y ? ? 2( x ?1) . ----------------1 3 分

21、解: (1)解:由已知得 a 2

?

5 13 41 , a3 ? , a4 ? 2 7 20

1分 4分

a ?2 an ?1 ? 2 1 1 1 a ?2 ?? ? n ,{ n } 是首项 ? 为公比为 ? 的等比数列 3 3 an ?1 ? 2 3 an ? 2 an ? 2
(2)解:当 n 为奇数时, an ? 2 ;当 n 为偶数时, an ? 2 因为 an ? 2 ?

5分

an?1 ? 4 a ?2 , ? 2 ? ? n?1 an?1 ? 1 an?1 ? 1

6分

-9-

注意到 an ? 0 ,所以 an ? 2 与 an?1 ? 2 异号 由于 a1 ? 1 ? 2 ,所以 a 2 ? 2 ,以此类推, 当 n ? 2k ? 1(k ? N * ) 时, an ? 2 ; 当 n ? 2k (k ? N * ) 时, an ? 2 (3)由于 an ? 0 , an ?1 ? 8分

an ? 4 3 , ? 1? an ? 1 an ? 1
9分

所以 an ≥1( n ? 1,2,3 ,?) 所以 | a n ?1 ? 2 |?| 所以 | an ? 2 | ≤

an ? 2 | an ? 2 | 1 ≤ | an ? 2 | |? 2 an ? 1 an ? 1

10 分

1 1 1 1 | a n ?1 ? 2 | ≤ 2 | a n ? 2 ? 2 | ≤?≤ n ?1 | a1 ? 2 |? n ?1 2 2 2 2 1 1 2 1 n ?1 所以 | a1 ? 2 | ? | a2 ? 2 | ?...? | an ? 2 | ≤ 1 ? ? ( ) ? ... ? ( ) 2 2 2 1 n ?1 ? 2?( ) ? 2 14 分 2

12 分

- 10 -



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