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【成才之路】2015-2016学年高中数学 2.1.2演绎推理练习 新人教A版选修1-2


2.1.2 演绎推理

一、选择题 1.正弦函数是奇函数,f(x)=sin(x +1)是正弦函数,因此 f(x)=sin(x +1)是奇函 数.以上推理( A.结论正确 C.小前提不正确 [答案] C [解析] 函数 f(x)=sin(x +1)不是正弦函数,故小前提不正确,故选 C. 2.三段论“①只有船准时起航,才能准时到达目的港,②这艘船是准时到达目的港的, ③这艘船是准时起航的.”中的小前提是( A.① C.①② [答案] D [解析] 本题中①为大前提,③为小前提,②为结论. 3.“凡是自然数都是整数,4 是自然数,所以 4 是整数.”以上三段论推理( A.完全正确 B.推理形式不正确 C.不正确,两个“自然数”概念不一致 D.不正确,两个“整数”概念不一致 [答案] A [解析] 大前提“凡是自然数都是整数”正确. 小前提“4 是自然数”也正确,推理形式符合演绎推理规则,所以结论正确. 1 4. 关于下面推理结论的错误: “因为对数函数 y=logax 是增函数(大前提), 又 y=log 3 ) ) B.② D.③
2 2 2

) B.大前提不正确 D.全不正确

x 是对数函数(小前提),所以 y=log x 是增函数(结论).”下列说法正确的是(
A.大前提错误导致结论错误 B.小前提错误导致结论错误 C.推理形式错误导致结论错误 D.大前提和小前提都错误导致结论错误 [答案] A [解析] 大前提错误,因为对数函数 y=logax(0<a<1)是减函数,故选 A. 5.下面几种推理过程是演绎推理的是( )

1 3

)

A.两条直线平行,同旁内角互补,因为∠A 和∠B 是两条平行直线被第三条直线所截所 得的同旁内角,所以∠A+∠B=180° B.我国地质学家李四光发现中国松辽地区和中亚细亚的地质结构类似,而中亚细亚有 丰富的石油,由此,他推断松辽平原也蕴藏着丰富的石油 C.由 6=3+3,8=3+5,10=3+7,12=5+7,14=7+7,?,得出结论:一个偶数(大 于 4)可以写成两个素数的和 1 1 D.在数列{an}中,a1=1,an= (an-1+ )(n≥2),由此归纳出{an}的通项公式 2 an-1 [答案] A [解析] 选项 A 中“两条直线平行,同旁内角互补”是大前提,是真命题,该推理为三 段论推理,选项 B 为类比推理,选项 C,D 都是归纳推理. 6.有这样一段演绎推理:“有些有理数是真分数,整数是有理数,则整数是真分数” 结论显然是错误的,这是因为( A.大前提错误 C.推理形式错误 [答案] B [解析] 用小前提“S 是 M”,判断得到结论“S 是 P”时,大前提“M 是 P”必须是所 有的 M,而不是部分. 二、填空题 7.已知推理:“因为△ABC 的三边长依次为 3、4、5,所以△ABC 是直角三角形”,若 将其恢复成完整的三段论,则大前提是________________________. [答案] 一条边的平方等于其他两边平方和的三角形是直角三角形. 8.函数 y=2x+5 的图象是一条直线,用三段论表示为: 大前提______________________________________________________________. 小前提_______________________________________________________________. 结论________________________________________________________________. [答案] 所有一次函数的图象都是一条直线 函数 y=2x+5 是一次函数 函数 y=2x +5 的图象是一条直线 9.以下推理中,错误的序号为________. ①∵ab=ac,∴b=c; ②∵a≥b,b>c,∴a>c; ③∵75 不能被 2 整除,∴75 是奇数; ④∵a∥b,b⊥平面 α ,∴a⊥α . [答案] ① ) B.小前提错误 D.非以上错误

[解析] 当 a=0 时,ab=ac,但 b=c 未必成立. 三、解答题 10.指出下列推理中的错误,并分析产生错误的原因. 2 2 (1)无限小数是无理数, =0.666?是无限小数, 是无理数; 3 3 (2)对于函数 f(x), 如果对定义域内的任意 x, 都有 f(-x)=-f(x), 则 f(x)为奇函数,

f(x)=sinx(- <x≤ )满足 f(-x)=-f(x),所以 f(x)为奇函数.
[解析] (1)大前提错,无限不循环小数是无理数. π π (2)小前提错,f(x)的定义域不关于原点对称,f( )有意义,f(- )无意义. 2 2

π 2

π 2

一、选择题 1. “在四边形 ABCD 中, ∵AB 綊 CD, ∴四边形 ABCD 是平行四边形”. 上述推理过程( A.省略了大前提 C.是完整的三段论 [答案] A [解析] 上述推理基于大前提“一组对边平行且相等的四边形为平行四边形”. 2.若 a>b>0,c<d<0,则一定有( A. > C. > ) B. < D. < B.省略了小前提 D.推理形式错误 )

a b d c a b c d

a b d c a b c d

[答案] B 1 1 a b [解析] ∵c<d<0,∴ < <0,又∵a>b>0,∴ < .选 B.

d c

d c

3.“∵四边形是矩形,∴四边形 ABCD 的对角线相等”补充以上推理的大前提( A.正方形都是对角线相等的四边形 B.矩形都是对角线相等的四边形 C.等腰梯形都是对角线相等的四边形 D.矩形都是对边平行且相等的四边形 [答案] B

)

[解析] 结合所给的已知, 可得所填的条件一定与矩形有关, 并且应为矩形的有关性质, 结合选项可知选 B. 4.“(1)一个错误的推理是因为前提不成立,或者推理形式不正确,(2)这个错误的推

理不是前提不成立,(3)所以这个错误的推理是推理形式不正确”.上述三段论是( A.大前提错 C.结论错误 [答案] D [解析] 结合三段论本身的说法和逻辑关系,可知这个三段论是正确的. 二、填空题 B.小前提错 D.正确的

)

5.三段论“平面内到两定点 F1、F2 的距离之和为定值的点的轨迹是椭圆(大前提),平 面内动点 M 到两定点 F1(-2, 0)、 F2(2,0)的距离之和为 4(小前提), 则 M 点的轨迹是椭圆(结 论)”中的错误是________. [答案] 大前提 [解析] 大前提中到两定点距离之和为定值的点的轨迹是椭圆,概念出错,不严密. 而因为 F1(-2,0)、F2(2,0)间距离为|F1F2|=4, 所以平面内动点 M 到两定点 F1(-2,0)、 F2(2,0)的距离之和为 4 的点的轨迹应为线段而 不是椭圆. 6.(2015·泸州市一诊)已知集合 A={f(x)|f (x)-f (y)=f(x+y)·f(x-y),x、y ∈R},有下列命题:
? x≥0 ?1, ①若 f(x)=? ?-1, x<0 ?
2 2

,则 f(x)∈A;

②若 f(x)=kx,则 f(x)∈A; ③若 f(x)∈A,则 y=f(x)可为奇函数; ④若 f(x)∈A,则对任意不等实数 x1、x2,总有

f?x1?-f?x2? <0 成立. x1-x2

其中所有正确命题的序号是________.(填上所有正确命题的序号) [答案] ②③ [解析] 对于①,取 x=1,y=-1 知,f (x)-f (y)=f (1)-f (-1)=1-1=0, 但 f(x+y)f(x-y)=f(0)·f(2)=1,∴①错; 对于②, 当 f(x)=kx 时, f (x)-f (y)=k x -k y =k(x+y)·k(x-y)=f(x+y)·f(x -y),∴②正确; 对于③,在 f (x)-f (y)=f(x+y)f(x-y)中令 x=0,y=0 得,f(0)=0,又令 x=0 得,f (0)-f (y)=f(y)·f(-y),当 f(y)≠0 时,有 f(-y)=-f(y), ∴f(x)可以为奇函数. 对于④,取 f(x)=x,则 f (x)-f (y)=x -y =(x+y)(x-y)=f(x+y)f(x-y),但
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

f?x1?-f?x2? x1-x2 x1、x2∈R 且 x1≠x2 时, = =1>0,∴④错. x1-x2 x1-x2

三、解答题 1+x +x-1 7.下面给出判断函数 f(x)= 的奇偶性的解题过程: 2 1+x +x+1 解:由于 x∈R,且
2 2

f?x? f?-x?
2



1+x +x-1 1+x -x+1 · 2 2 1+x +x+1 1+x -x-1 ?1+x?-?x-1? 2x =-1. 2 2= ?1+x ?-?x+1? -2x
2



∴f(-x)=-f(x),故函数 f(x)为奇函数. 试用三段论加以分析. [解析] 判断奇偶性的大前提“若 x∈R,且 f(-x)=-f(x),则函数 f(x)是奇函数; 若 x∈R,且 f(-x)=f(x),则函数 f(x)是偶函数”.在解题过程中往往不用写出来,上述 证明过程就省略了大前提. 解答过程就是验证小前提成立, 即所给的具体函数 f(x)满足 f(-

x)=-f(x).
8.(2015·北京文)如图,在三棱锥 V-ABC 中,平面 VAB⊥平面 ABC,△VAB 为等边三角 形,AC⊥BC 且 AC=BC= 2,O,M 分别为 AB,VA 的中点.

(1)求证:VB∥平面 MOC; (2)求证:平面 MOC⊥平面 VAB; (3)求三棱锥 V-ABC 的体积. [解析] (1)证明:∵M,O 分别是 VA,AB 的中点, ∴MO∥VB 又∵VB? 面 MOC.

MO?面 MOC
∴VB∥面 MOC. (2)∵AC=BC,AO=OB ∴OC⊥AB, 又∵面 VAB⊥面 ABC 且面 VAB∩面 ABC=AB,

OC?面 ABC
∴OC⊥面 VAB.

又∵OC?面 MOC ∴面 MOC⊥面 VAB. (3)由(2)知 OC⊥面 VAB. ∴V-ABC 的体积=C-VAB 的体积, 即 OC 为高. 又∵AC⊥BC,AC=BC= 2, ∴OC=1,AB=2, ∴S△VAB= 3 2 ×2 = 3 4

1 3 ∴三棱锥 V-ABC 的体积为 × 3×1= . 3 3


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