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河南省偃师高级中学2014届高三下学期第一次月考数学(文)试题 Word版含答案


第Ⅰ卷 (共 50 分)
一.选择题(每题 5 分共 50 分) 1.已知 P ? {?1,0,1}, Q ? { y | y ? sin(x ?

?
3

), x ? R} ,则 P ? Q ? ( )

A. Q

B. P

C . {?1,1}

D . {?1,0}

2.函数 f ( x) ?

1 ? 2 x 在 x ? 1 处切线的倾斜角为( ) x

A.

? 4
? 3

B.

? 6

C.

? 3 ? 4

D.

3.将函数 y ? sin 2 x 的图像向左平移

A.

B.

? 12

C.

? ? 个单位, 得到函数 y ? sin(2 x ? ? )(0 ? ? ? ) 的图像, 则 ? ?( ) 12 2 ? D. 6
3 ”是“ tan A ? 3 ”的( ) 2

2? 3

4.已知 A 是 ?ABC 的内角,则“ sin A ?

A .充分不必要条件
C .充要条件

B .必要不充分条件 D .既不充分也不必要条件

5.函数 f ( x) ? ln x? | x ? 2 | 在定义域内零点个数为( )

C . 1 D .0 2 6.设首项为 1 ,公比为 的等比数列 ?a n ?的前 n 项和为 S n ,则( ) 3
A .3 B. 2
A . S n ? 2a n ? 1 B . S n ? 3a n ? 2

C.

S n ? 4 ? 3a n

D . S n ? 3 ? 2a n

7.已知 ?ABC 中, a ? 1, b ?

2 , B ? 45? ,则角 A 等于( )
D . 90?

A . 150 ?

B . 30?

C . 60?
?

8.在 ?ABC 中, ?A ? 90 , AB ? 1, AC ? 2 ,点 P, Q 满足 AP ? ? AB ,

AQ ? (1 ? ? ) AC , ? ? R ,若 BQ ? CP ? ?2 ,则 ? ? (
A.



1 3

B.

2 3

C.

4 3

D.2

9. 函数 f ( x) ? A sin(? x ? ?),( A, ?, ? 是常数, A ? 0, ? ? 0, 0 ? ? ? 值为( )

?
2

) 的部分图象如图所示,则 ? , ? 的

A . ? ? 1, ? ?

?
3

B . ? ? 1, ? ? ?

?
3

C . ? ? 2, ? ? ?
D . ? ? 2, ? ?

?
3

?
3

10. 已 知 函 数 y ?

f ( x) e
x

( x ? R) 满 足

第9题图

f ' ( x) ? f ( x) , 则 f (1)

与 ef (0) 的大小关系为( )

A . f (1) ? ef (0)

B . f (1) ? ef (0)

C . f (1) ? ef (0)

D .不能确定

第Ⅱ卷(共 100 分)
二.填空题(每题 5 分共 25 分) 11. sin 75 ? cos30 ? sin15 ? cos60
? ? ? ?

的值为 __________ ;

12.设单位向量 a ? ( x, y ), b ? (2,?1), 若 a ? b ,则 x ? 2 y ? __________ ; 13. 设 a, b 是 非 零 实 数 , 若 a ? b , 则 不 等 式 a 2 ? b 2 ; ab 2 ? a 2 b; 是 ;

1 1 b a ? 2 ; ? 中成立的 2 ab a b a b

14.设等差数列 ?a n ?的前 n 项和为 S n ,且 S 5 ? a 5 ,若 a 4 ? 0 ,则 15.给出下列命题:①“ x ? 2 ”是“ x ? 4 ”的充分不必要条件;
2

a7 ? __________ ; a4

2 ② 设 A ? {x | x ? 3}, B ? { y | y ? ? x ? t} , 若 A ? B ? ? , 则 实 数 t 的 取 值 范 围 为 [3,??) ; ③ 若

lo g 2 x ? lo g x 2 ? 2 ,则 x ? 1 ;④存在 x, y ? R ,使 sin(x ? y) ? sin x ? sin y ;⑤若命题 P :对任意的

? ? 5? 函数 y ? cos(2 x ? ) 的递减区间为 [k? ? 命题 q : 存在 x ? R, 使 tan x ? 1 , x?R , , k? ? ]( k ? Z ) , 3 12 12 则命题“ p 且 q ”是真命题. 其中真命题的序号为 __________ .
三.解答题(写出文字说明、证明过程或演算步骤,本大题共 6 小题,共 75 分) 16. (12 分)已知二次函数 y ? f ( x ( ) x ? R) 的图像过点 (0,?3) ,且 f ( x) ? 0 的解集为 (1,3) . (1)求 f ( x) 的解析式; (2)求函数 y ? f (sin x), x ? [0,

?
2

] 的最大值与最小值.

17.(12 分)已知数列 ?a n ?满足 a1 ?

an 1 , (n ? N ? ). ,且 a n ?1 ? 3a n ? 1 2

(1) 证明数列 ?

?1? ? 是等差数列,并求数列 ?a n ?的通项公式; ? an ?

(2)设 bn ? a n a n ?1 (n ? N ? ) ,数列 ?bn ?的前 n 项和记为 Tn ,证明: Tn ?

1 . 6

( 1 x2 18.(12 分 ) 已 知 命 题 P : 函 数 f ( x)? l oag ? 在 )定 义 域 上 单 调 递 增 ; 命 题 Q : 不 等 式

(a ? 2) x 2 ? 2(a ? 2) x ? 4 ? 0 对任意实数 x 恒成立.若 P 或 Q 是真命题,求实数 a 的取值范围.
19.(12 分)已知向量 a ? (sin x, sin x) , b ? (cos x, sin x)( x ? R) , 若函数 f ( x) ? a ? b . (1)求 f ( x) 的最小正周期; (2)若 x ? [0,

?
2

] ,求 f ( x) 的最大值及相应的 x 值;

(3)若 x ? [0, ? ] ,求 f ( x) 的单调递减区间.

1 ln x ? ax 2 , (a ? R) 2 1 1 (1)若曲线 y ? f ( x) 在点 ( , f ( )) 处的切线与直线 x ? 2 y ? 2 ? 0 垂直,求 a 的值; 2 2
20.(13 分)已知函数 f ( x) ? (2)若函数 f ( x) 的极值点 x0 ? (1,2), 求实数 a 的取值范围. 21.(14 分)已知函数 f ( x) ?

1 3 3 x ? mx 2 ? mx(m ? 0) . 3 2

(1)讨论函数 y ? f ( x) 的单调性; (2)若函数 f ( x) 既有极大值,又有极小值,且当 0 ? x ? 4m 时, f ( x) ? mx 2 ? ( m ? 3m2 ) x ? 成立,求实数 m 的取值范围.

3 2

32 恒 3

河南省偃师高中 2013-2014 学年高三下学期第一次月考 文科数学试题答案

三.解答题: 16.解: (1)由已知设 f ( x) ? a( x ? 1)( x ? 3) ,又 f ( x) 的图像过点 (0,?3) ,即 f (0) ? ?3 ,所以 a ? ?1 ,

f ( x) ? ?( x ? 1)( x ? 3) ? ? x 2 ? 4 x ? 3 .
(2) y ? f (sin x) ? ?(sin x) ? 4 sin x ? 3 ,? y ? ?(sin x ? 2) ? 1
2 2

? x ? [0, ],? sin x ? [0,1] ,当 sin x ? 0 时, ymin ? ?3 ; 2
当 sin x ? 1, ymax ? 0 .

?

从而 P 或 Q 为真 命题时, a 的取值范围为: ? 2 ? a ? 2 . 19.解: f ( x) ? a ? b ? sin x cos x ? sin x ?
2

1 1 ? cos 2 x sin 2 x ? 2 2

=

2 ? 1 (sin 2 x ? ) ? 2 4 2

20. 解 : (1)

a ? 1;
(2)? f ?( x) ?

1 1 ? 4ax 2 ? 2ax ? , x ? (0,??) 2x 2x

①当 a ? 0 时, f ?( x) ? 0 ,函数 f ( x) 在 (0,??) ↗,无极值,不合题意; ②当 a ? 0 时,令 f ( x) ? 0, 即 1 ? 4ax ? 0 ,
2

? x ? (0,??) ,故 x ? ?

1 1 ) 时 f ?( x) ? 0; ,? x ? (0, ? 4a 4a

x?( ?

1 1 ,??) 时 f ?( x) ? 0 ,故 x0 ? ? 是 f ( x) 的极大值点; 4a 4a ? 1 1 1 ? 2 解得: ? ? a ? ? , 4a 4 16

依题意: 1 ?

综上所述, a 的取值范围为 ( ? 21.解:

1 1 ,? ) . 4 16
3 m, 2

(1)函数 f ( x) 的定义域为 R , f ' ( x) ? x 2 ? 2mx ? 方程 x 2 ? 2mx ? ①

3 m ? 0 的判别式 ? ? 4m2 ? 6m , 2 3 ' 2 当 ? ? 4m ? 6m ? 0 ,即 0 ? m ? 时, f ( x) ? 0 对一切实数恒成立,? f ( x) 在 (??,??) 上 2
单调递增; 当 ? ? 4m ? 6m ? 0 , 即 m ?
2



3 3 时 , 方 程 x 2 ? 2mx ? m ? 0 有 两 不 等 实 根 , 2 2 3 3 x1 ? m ? m 2 ? m , x2 ? m ? m 2 ? m , 2 2

(2)由(2) 知方程 f ' ( x) ? x 2 ? 2mx ?

3 m ? 0 有两不等根, 2 3 ? ? 4m2 ? 6m ? 0 ,即 m ? , 2
2

令 g ( x) ? f ( x) ? mx ? ( m ? 3m ) x ?
2

3 2

32 1 3 32 ? x ? 2mx 2 ? 3m2 x ? , 3 3 3

要使 f ( x) ? mx 2 ? ( m ? 3m2 ) x ?

3 2

32 对 0 ? x ? 4m 的实数恒成立,只需 g ( x) max ? 0 即可,下面求 3

g ( x) 在 x ? [0,4m] 上的最大值, Q g ' ( x) ? x 2 ? 4mx ? 3m2 , 令g ' ( x) ? ( x ? m)( x ? 3m) ? 0 ,
则 x ? m, x ? 3m , g (m) ?

4 3 32 32 m ? , g (3m) ? ? , 3 3 3

32 4 32 , g (4m) ? m3 ? , 3 3 3 4 32 4 32 ? 0, ?当 x ? [0,4m] 时, g ( x) max ? m3 ? ,? m3 ? 3 3 3 3 3 即 m ? 2 ,又 m ? , 2 3 ? m 的取值范围为 ( ,2] . 2
又 g (0) ? ?



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