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新版杨浦、青浦、静安、宝山高三二模数学试卷(理)有答案

新版-□□新版数学高考复习资料□□-新版

1

1

20xx 学年静安、杨浦、青浦、宝山区高三年级高考模拟考试

数学试卷(理科)

20xx.04.

一、填空题(本大题满分 56 分)本大题共有 14 题,考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果,

每个空格填对得 4 分,否则一律得零分.

? ? 1.已知全集U ? R ,集合 A ? x x2 ? 2x ? 3 ? 0 ,则 CU A ?

.

2.若复数 z 满足 z ? i (2 ? z) ( i 是虚数单位),则 z ?

.

3.已知直线 2x ? y ?1 ? 0 的倾斜角大小是? ,则 tan 2? ?

. [精编数学 高考复习资 料]

4.若关于

x、y

的二元一次方程组

?mx ? y ? 3 ? 0 ??(2m ?1)x ? y ?

4

?

0

有唯一一组解,则实数

m

的取值范围是

.

开始

[精编 数学高考复 习资料]

输入 p

5.已知函数 y ? f (x) 和函数 y ? log 2 (x ? 1) 的图像关于直线 x ? y ? 0 对称,

n=1

则函数 y ? f (x) 的解析式为

.

6.已知双曲线的方程为 x 2 ? y 2 ? 1,则此双曲线的焦点到渐近线的距离为 3

7.函数 f (x) ? sin x ? cos x cos(? ? x) 的最小正周期T ?

.

2sin x cos x ? sin x

8.若 (1 ? 2x)n 展开式中含 x 3 项的系数等于含 x 项系数的 8 倍,则正整数 n ?

S=0

. n<p?
?否
输出 S

n=n+1
S=S+2?n


结束

. (第 9 题图)

9.执行如图所示的程序框图,若输入 p 的值是 7 ,则输出 S 的值是

.

10.已知圆锥底面半径与球的半径都是1cm ,如果圆锥的体积恰好也与球的体积相等,

那么这个圆锥的母线长为

cm .

11.某中学在高一年级开设了 4 门选修课,每名学生必须参加这 4 门选修课中的一门,对于该年级的

甲、乙、丙 3 名学生,这 3 名学生选择的选修课互不相同的概率是

(结果用最简分数表示).

? ? 12.各项为正数的无穷等比数列 an

的前

n

项和为

Sn

,若

lim
n??

Sn S n?1

? 1, 则其公比 q 的取值范围是

.

13.已知两个不相等的平面向量? , ? (? ? 0 )满足| ? |=2,且? 与 ? -? 的夹角为 120°,

则|? |的最大值是

.

?? 1 5 9 13 ? 117 ?? ? 5 10 15 20 ? 150 ?

? 14.给出 30 行 30 列的数表 A : ?

9

? 13

15 20

21 27

27

?

183

? ?

,其特点是每行每列都构成

34 ? 216 ?

????1?17

? 150

? 183

? 216

? ?

10?74????

等差数列,记数表主对角线上的数1,10,21,34,?,1074 按顺序构成数列?bn ?,存在正整数

s、t (1 ? s ? t) 使 b1 , bs , bt 成等差数列,试写出一组 (s,t) 的值

.

二、选择题(本大题满分 20 分)本大题共有 4 题,每题有且只有一个正确答案,考生应在答案纸的相应

编号上,填上正确的答案,选对得 5 分,否则一律得零分.

15.已知? ? (? ,? ) , sin? ? 3 ,则 tan(? ? ? ) 的值等于………………………(



2

5

4

(A) 1 . 7

(B) ? 1 . 7

(C) 7 .

(D) ? 7 .

16.已知圆 C 的极坐标方程为 ? ? a sin? ,则“ a ? 2 ”是“圆 C 与极轴所在直线相切”

的 ………………………………………………………………………………( ) (A)充分不必要条件.(B)必要不充分条件.(C)充要条件.(D)既不充分又不必要条件.

17.若直线 ax ? by ? 2 经过点 M (cos?,sin ? ) ,则 …………………………( )

(A) a2 ? b2 ? 4 .

(B) a2 ? b2 ? 4 . (C) 1 ? 1 ? 4 . (D) 1 ? 1 ? 4 .

a2 b2

a2 b2

[精编数 学高考复习资 料]

? ? 18. 已知集合 M ? (x, y) y ? f (x) ,若对于任意 (x1, y1) ? M ,存在 (x2 , y2 ) ? M ,使得

x1x2 ? y1 y2 ? 0 成立,则称集合 M 是“ ? 集合”. 给出下列 4 个集合:



M

?

??( x, ?

y)

y

?

1?

x

? ?

③ M ? ?(x, y) y ? cosx?

? ? ② M ? (x, y) y ? ex ? 2
④ M ? ?(x, y) y ? ln x?

其中所有“ ? 集合”的序号是……………………………………………………( )

(A)②③ . (B)③④ . (C)①②④. (D)①③④.
三、解答题(本大题满分 74 分)本大题共 5 题,解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出 必要的步骤.
19.(本题满分 12 分)本题共有 2 小题,第 1 小题满分 5 分,第 2 小题满分 7 分.
在棱长为 2 的正方体 ABCD ? A1B1C1D1 中, E, F 分别为 A1B1,CD 的中点. (1)求直线 EC 与平面 B1BCC1 所成角的大小; (2)求二面角 E ? AF ? B 的大小.
[精编数学 高考复习资 料] [精编数学 高考复习资 料]
[精编数学 高考复习资 料]
[精编数学 高考复习资 料]
20.(本题满分 14 分)本题共有 2 小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 8 分 .
如图所示,扇形 AOB,圆心角 AOB的大小等于 ? ,半径为 2 ,在半径 OA上有一动点 C , 3
过点 C 作平行于 OB 的直线交弧 AB 于点 P . (1)若 C 是半径 OA的中点,求线段 PC 的大小; (2)设 ?COP ? ? ,求△ POC 面积的最大值及此时? 的值.
[精编数学 高考复习资 料]

[精编数学 高考复习资 料]
21.(本题满分 14 分)本题共有 2 小题,第 1 小题满分 7 分,第 2 小题满分 7 分 .
已知函数 f (x) ? x 2 ? a . (1)若 F (x) ? f (x) ? 2 是偶函数,在定义域上 F (x) ? ax恒成立,求实数 a 的取值范围;
bx ?1
(2)当 a ? 1 时,令?(x) ? f ( f (x)) ? ?f (x) ,问是否存在实数 ? ,使?(x) 在 ?? ?,?1? 上是减函数, 在 ??1,0?上是增函数?如果存在,求出 ? 的值;如果不存在,请说明理由.
22.(本题满分 16 分)本题共有 3 小题,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 6 分,第 3 小题满分 6 分.
已知点 A(1,0) , P1 、 P2 、 P3 是平面直角坐标系上的三点,且 AP1 、 AP2 、 AP3 成等差数列, 公差为 d , d ? 0 .
(1)若 P1 坐标为 ?1, ?1? , d ? 2 ,点 P3 在直线 3x ? y ?18 ? 0 上时,求点 P3 的坐标;
(2)已知圆 C 的方程是 (x ? 3)2 ? ( y ? 3)2 ? r 2 (r ? 0) ,过点 A 的直线交圆于 P1、P3 两点, P2 是圆 C 上另外一点,求实数 d 的取值范围;
(3)若 P1 、 P2 、 P3 都在抛物线 y2 ? 4x 上,点 P2 的横坐标为 3 ,求证:线段 P1P3 的垂直平分线 与 x 轴的交点为一定点,并求该定点的坐标.
[精编数学 高考复习资 料]

[精编数学 高考复习资 料]

23.(本题满分 18 分)本题共有 3 小题,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 6 分,第 3 小题满分 8 分.
? ? 已知数列 an 的前 n 项和为 S n ,且满足 a1 ? a ( a ? 3 ),an?1 ? S n ? 3n ,设 bn ? Sn ? 3n ,n ? N ? . (1)求证:数列?bn ?是等比数列;
(2)若 an?1≥ an , n ? N ? ,求实数 a 的最小值;

(3)当 a

?

4 时,给出一个新数列 ?en ?,其中 en

?

?3 , ??bn ,

n ?1 n ? 2 ,设这个新数列的前 n 项和为 Cn ,

若 Cn 可以写成 t p ( t, p ? N ? 且 t ? 1, p ? 1)的形式,则称 Cn 为“指数型和”.问?Cn ?中的项
是否存在“指数型和”,若存在,求出所有“指数型和”;若不存在,请说明理由.

[精编数学 高考复习资 料]
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四区联考 20xx 学年度第二学期高三数学

参考答案及评分标准

20xx.04 [ 精编数学高考 复习资料]

一.填空题(本大题满分 56 分)本大题共有 14 题,考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果,

每个空格填对得 4 分,否则一律得零分.

1.[?1,3] ; 2. 2 ; 3. 4 ; 4. m ? 1 ; 5. y ? 2 x ? 1 ; 6.1;

3

3

7.? ;8. 5 ;9. 63 ;10. 64

17 ;11.

P43 43

?

3 ;12. ?0,1?;13.
8

4 3 ;14. (17,25) . 3

二、选择题(本大题满分 20 分)本大题共有 4 题,每题有且只有一个正确答案,考生应在答案纸的相应 编号上,填上正确的答案,选对得 5 分,否则一律得零分.

15. D ; 16. A ; 17. B ;18. A

三、解答题(本大题满分 74 分)本大题共 5 题,解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出

必要的步骤 . [精编数学 高考复习资 料]
19.(本题满分 12 分)本题共有 2 小题,第 1 小题满分 5 分,第 2 小题满分 7 分 . (1)解法一:建立坐标系如图
[ 精编数学高 考复习资料]

平面 B1BCC 1 的一个法向量为 n1 ? (0,1,0)

因为 E(2,1,2) C(0,2,0) ,?EC ? (?2,1,?2) ,

可知直线 EC 的一个方向向量为?d ? (?2,1,?2) .

设直线 EC 与平面 B1BCC1 成角为? , d 与 n1 所成角为? ,则

sin? ? cos? ? n1 ? d ? 1 ? 1

n1 d

9 ?1 3

故EC与



面B1B

C

C1成







为a r

c

s

1i n 3

解法二: EB1 ? 平面 B1BCC 1 ,即 B1C 为 EC 在平面 B1BCC 1 内的射影,

故 ?ECB 1 为直线 EC 与平面 B1BCC1 所成角,

在 Rt?EB1C 中, EB 1 ? 1, B1C ? 2

2

,故 tan ?ECB1

?

EB1 B1C

?

1 22

?

2 4

故EC 与平面

B1BCC

成角大小为
1

arctan

2 4

(2)解法一:建立坐标系如图.平面 ABCD的一个法向量为 n1 ? (0,0,1)

设平面 AEF 的一个法向量为 n2 ? (x, y, z) ,因为 AF ? (?2,1,0) , AE ? (0,1,2) [精编数学高考复习资料]

所以

??

? ?

y

2x ? ? 2z

y ?

? 0

0
,令

x

? 1,则

y

?

2, z

?

?1

? n2

?

(1,2,?1)

cos? ? n1 ? n2 ? ?1 ? 6

n1 n2

1? 4?1 6

由图知二面角 E ? AF ? B 为锐二面角,故其大小为 arccos 6 . 6
解法二:过 E 作平面 ABC的垂线,垂足为 E? , ?EGE? 即为所求 E?? AB,过 E? 作 AF 的垂线设垂足为 G , ?ADF ∽ ?AGE

G?E ? AD ? GE? ? 2 即 GE? ? 2

AE? AF 1 5

5

在 Rt?EE?Q 中 tan ?EGE? ? EE? ? 5 GE?

所以二面角 E ? AF ? B 的大小为 arctan 5 .

20.(本题满分 14 分)本题共有 2 小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 8 分 .

解:(1)在△ POC 中, ?OCP

?

2? 3

, OP

? 2,OC

?1

由 OP2 ? OC 2 ? PC2 ? 2OC ? PC cos 2? 3

得 PC2 ? PC ? 3 ? 0 ,解得 PC ? ?1 ? 13 . 2

(2)∵ CP ∥ OB

,∴ ?CPO

?

?POB

?

? 3

??



在△

POC 中,由正弦定理得

sin

OP ?PCO

?

CP s in ?

,即

2 sin 2?

? CP s in ?

3

∴ CP ?

4 sin? 3

,又 OC

? sin(

??)

?

CP sin 2?

? OC

?

4 sin(? ?? ) 33



3

3

解法一:记△ POC 的面积为 S(? ) ,则 S(? ) ? 1 CP ? OC sin 2? ,

2

3

? 1 ? 4 sin? ? 4 sin(? ?? ) ? 3 ? 4 sin? ? sin(? ?? )

23

33

23

3

? 4 sin? ( 3 cos? ? 1 sin? ) ? 2sin? cos? ? 2 sin 2 ?

3

2

2

3

? sin 2? ? 3 cos 2? ? 3 ? 2 3 (sin 2? ? ? ) ? 3

3

33

63

∴? ? ? 时, S(? ) 取得最大值为 3 .

6

3

解法二: cos 2? ? OC 2 ? PC 2 ? 4 ? ? 1

3

2OC ? PC

2

即 OC2 ? PC2 ? OC ? PC ? 4 ,又 OC2 ? PC2 ? OC ? PC ? 3OC ? PC 即 3OC ? PC ? 4 当且仅当 OC ? PC 时等号成立,

所以 S ? 1 CP ? OC sin 2? ? 1 ? 4 ? 3 ? 3

2

3 23 2 3

?OC ? PC ∴? ? ? 时, S(? ) 取得最大值为 3 .

6

3

21.(本题满分 14 分)本题共有 2 小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 8 分 .
解:(1) F (x) ? x2 ? a ? 2 是偶函数,?b ? 0 即 F (x) ? x2 ? a ? 2 , x ? R bx ?1
又 F (x) ? ax恒成立即 x2 ? a ? 2 ? ax ? a(x ?1) ? x2 ? 2

当 x ?1时? a ? R

当 x ? 1时, a ? x2 ? 2 ? (x ?1) ? 3 ? 2 , a ? 2 3 ? 2

[精编 数学高考复习 资料]

x ?1

x ?1

当 x ? 1时, a ? x2 ? 2 ? (x ?1) ? 3 ? 2 , a ? ?2 3 ? 2

x ?1

x ?1

综上: ? 2 3 ? 2 ? a ? 2 3 ? 2

(2)?(x) ? f ( f (x)) ? ?f (x) ? x4 ? (2 ? ?)x2 ? (2 ? ?)
??(x) 是偶函数,要使?(x) 在 ?? ?,?1? 上是减函数在 ??1,0?上是增函数,即?(x) 只要满足

在区间 ?1,??? 上是增函数在 ?0,1?上是减函数.

令 t ? x2 ,当 x ? ?0,1? 时 t ??0,1?; x ? ?1,???时 t ? ?1,??? ,由于 x ? ?0,???时,

t ? x2 是增函数记?(x) ? H (t) ? t 2 ? (2 ? ?)t ? (2 ? ?) ,故?(x) 与 H (t) 在区间 ?0,??? 上 有相同的增减性,当二次函数 H (t) ? t 2 ? (2 ? ?)t ? (2 ? ?) 在区间 ?1,??? 上是增函数在 ?0,1?上

是减函数,其对称轴方程为 t ? 1 ? ? 2 ? ? ? 1 ? ? ? 4. 2

22.(本题满分 16 分)本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 6 分,第 3 小题满分 6 分.

解(1) AP1 ?1,所以 AP3 ? 5 ,设 P3 ? x, y?



??? x
?

?1?2

?

y2

?

25 ,消去

y

,得

x2

?11x

? 30

?

0 ,…(2

分)

??3x ? y ?18 ? 0

解得 x1 ? 5 , x2 ? 6 ,所以 P3 的坐标为 ?5, ?3? 或 ?6, 0?

(2)由题意可知点 A 到圆心的距离为 t ? (3 ?1)2 ? (3 ? 0)2 ? 13 …(6 分)

(ⅰ)当 0 ? r ? 13 时,点 A?1, 0?在圆上或圆外, 2d ? AP3 ? AP1 ? P1P3 ,

又已知 d ? 0 , 0 ? P1P3 ? 2r ,所以

?r ?d ?0 或 0?d ?r [精编数学 高考复习资 料]

(ⅱ)当 r ? 13 时,点 A?1, 0?在圆内,所以 2d ? 13 ? r ? r ? 13 ? 2 13 ,

max

[精 编数学高考复 习资料]

又已知 d ? 0 , 0 ? 2d ? 2 13 ,即 ? 13 ? d ? 0 或 0 ? d ? 13

结论:当 0 ? r ? 13 时,? r ? d ? 0 或 0 ? d ? r ;当 r ? 13 时,? 13 ? d ? 0 或 0 ? d ? 13

(3)因为抛物线方程为 y 2 ? 4x ,所以 A?1, 0? 是它的焦点坐标,点 P2 的横坐标为 3 ,即 AP2 ? 8

设 P1 ? x1, y1 ? , P3 ? x3, y3 ? ,则 AP1 ? x1 ?1, AP3 ? x3 ?1, AP1 ? AP3 ? 2 AP2 ,

所以 x1 ? x3 ? 2x2 ? 6

直线 P1P3 的斜率 k

?

y3 x3

? y1 ? x1

?

y3

4 ?

y1

,则线段 P1P3 的垂直平分线 l 的斜率 kl

?

?

y3

? 4

y1

则线段 P1P3 的垂直平分线 l

的方程为

y

?

y3

? 2

y1

?

?

y3

? 4

y1

? x ? 3?

直线 l 与 x 轴的交点为定点 ?5, 0?

23.(本题满分 18 分)本题共有 3 小题,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 6 分,第 3 小题满分 8 分.
解:(1) an?1 ? Sn ? 3n ? S n?1 ? 2S n ? 3n , bn ? Sn ? 3n , n ? N ? ,当 a ? 3时,

? ? bn?1
bn

?

Sn?1 Sn

? 3n?1 ? 3n

?

2Sn ? 3n ? 3n?1 Sn ? 3n

=2 , 所 以

bn

为等比数列.

b ? (a ? 3) ? 2 . n?1

n

[ 精编数学高 考复习资料]

(2) 由(1)可得 Sn ? 3n ? (a ? 3) ? 2n?1 an ? Sn ? Sn?1, n ? 2, n ? N ?

b1 ? S1 ? 3 ? a ? 3 ,

?

a

an ? ??2 ? 3n?1 ? (a ? 3) ? 2n?2

n ?1

n?2

[精编 数学高考复 习资料]
所以 a ? ?9 ,且 a ? 3.所以 a 的最小值为 (3)由(1)当 a ? 4 时, bn ? 2n?1

an?1 ?a n



???aan ?21

? a1 ? an

n?2

, a ? ?9

当 n ? 2时, Cn ? 3 ? 2 ? 4 ? ? ? 2n ? 2n ?1, C1 ? 3 ,

所以对正整数 n 都有 Cn ? 2n ? 1.

[精编 数学高考复习 资料]

由 t p ? 2n ?1, t p ?1 ? 2n ,( t, p ? N ? 且 t ? 1, p ? 1), t 只能是不小于 3 的奇数.

p

p

①当 p 为偶数时, t p ? 1 ? (t 2 ? 1)(t 2 ? 1) ? 2n ,

p

p

因为 t 2 ? 1 和 t 2 ? 1 都是大于 1 的正整数,

p

p

所以存在正整数 g, h ,使得 t 2 ? 1 ? 2 g , t 2 ? 1 ? 2h ,

2g ? 2h ? 2 , 2h (2 g?h ?1) ? 2 ,所以 2h ? 2 且 2g?h ?1 ? 1 ? h ? 1, g ? 2 ,

相应的 n ? 3,即有 C3 ? 32 , C3 为“指数型和”;

②当 p 为奇数时, t p ?1 ? (t ?1)(1 ? t ? t 2 ? ? ? t p?1 ) ,由于1 ? t ? t 2 ? ?? t p?1 是 p 个奇数之和,

[精编 数学高考复 习资料]
仍为奇数,又 t ?1为正偶数,所以 (t ?1)(1 ? t ? t 2 ? ? ? t p?1 ) ? 2n 不成立,此时没有“指数型和”.


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