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湖北省襄阳市2014届高三第二次(3月)调研统一测试数学理试题(word版)


湖北省襄阳市 2014 届高三第二次(3 月)调研统一测试数学理 试题(word 版)
一、选择题(本大题共 l0 小题。每小题 5 分,共 50 分。在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的。 ) 1.已知全集 U=R,集合 图中阴影部分所表示的集合为 ,则

2.在复平面内,复数 i(i-1)对应的点位于 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 3.下列命题的否定为假命题的是 B.任意一个四边形的四个顶点共圆 C.所有能被 3 整除的整数都是奇数 4.将函数 y=sin2x(x∈R)的图像分别向左平移 m(m>O)个单位,向右平移 n(n>0)个 单位,所得到的两个函数图象都与函数 y=sin(2x+ )的图象重合,则 m+n 的最小值为 5.等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 a3=6,S3= ,则公比 q 的值为 A.1 B.C.1 或D.-1 或6.右图是某几何体的三视图,则该几何体的体积为 A.1 B. C. D. 内任取一点 P(x,y) ,若(x,y)满足 2x+y≤b

7.在平面区域

的概率大于 ,则 b 的取值范围是 A. (-∞,2) B. (0,2) C. (1,3) D. (1,+∞。 ) 2 8.已知抛物线 y =2px(p>0) ,过其焦点且斜率为-1 的直线交抛物线于 A、B 两点,若线段 AB 的中点的横坐标为 3,则该抛物线的准线方程为 A.x=-1 B.x=-2 C.x=1 D.x=2 9.给出下列命题: ①向量 a、b 满足|a|=|b|=|a-b|,则 a、b 的夹角为 30°; ②a·b>0 是向量 a、b 的夹角为锐角的充要条件; ③将函数 y=|x-1|的图象向左平移一个单位,得到函数 y=|x|的图象; ④在△ABC 中,若 ,则△ABC 为等腰三角形. 以上命题正确的个数是 A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 10.如图,偶函数 f(x)的图像形如字母 M,奇函数 g(x)的图 像形如字母 N,若方程 f(f(x) )=0,f(g(x) )=0,g(g(x) ) =0,g(f(x) )=0 的实根个数分别为 a、b、c、d,则 a+b+c+d= A.27 B.30 C.33 D.36 二.填空题(本大题共 6 小题,考生共需作答 5 小题,每小题 5 分,共 25 分。请将答案填 在答题卡对应题号的位置上。答错位置,书写不清,模棱两可均不得分。 ) (一)必考题(11-14 题) 。 11.执行如图所示的程序框图(其中[x]表示不超过 x 的最大整数) ,则 输出的 S 值 . 12.某调查机构就某单位一千多名职工的月收入进行调查,现从中随机 抽出 100 名,已知抽到的职工的月收入都在[1500,4500]元之间,根据 调查结果得出职工的月收入情况残缺的频率分布直方图如图所示,则

(1)该单位职工的月收入在[3000,3500)之间的频率是 ▲ ; (2)该单位职工的月收入的平均数大约是 ▲ . 13.若存在实数 x 使以 成立,则常数 a 的取值范围是 . 14.科拉茨是德国数学家,他在 1937 年提出了一个著名的猜想:任给一个正整数 n,如果 n 是偶数,就将它减半(即 ) ;如果 n 是奇数,则将它乘 3 加 1(即 3n+1) ,不断重复这样的 运算,经过有限步后,一定可以得到 1.如初始正整数为 6,按照上述变换规则,我们可以 得到一个数列:6,3,10,5,16,8,4,2,1. (1)如果 n=2,则按照上述规则施行变换后的第 8 项为 ▲ (2)如果对正整数 n(首项)按照上述规则施行变换后的第 8 项为 1(注:1 可以多次出 现) ,则 n 的所有不同值的个数为 ▲ . (二)选考题(请考生在第 15、16 两题中任选一题作答,请先在答题卡指定位置将你所选 的题目序号后的方框用 2B 铅笔涂黑.如果全选,则按第 15 题作答结果计 分。 ) 15. (选修 4-1:几何证明选讲)如图所示,AC 和 AB 分别是圆 O 的切线, 且 OC=3,AB=4,延长 AO 到 D 点,则△ABD 的面积是 . 16. (选修 4-4:坐标系与参数方程)在平面直角坐标系 xOy 中,过椭圆 (θ 为参数)的右焦点,且于直线 ( t 为参数)平行的直线方程 为 . 三.解答题(本大题共 6 小题,满分 75 分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 ) 17. (本大题满分 12 分) 设 a∈R,函数 (1)求 f(x)的单调递减区间; 满足 . ,求

(2)设锐角△ABC 的内角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c,且 f(A)的取值范围.

18. (本大题满分 12 分) 据《中国新闻报》10 月 21 日报道,全国很多省市将英语考试作为高考改革的重点,一 时间“英语考试该如何改”引起广泛关注. 为了了解某地区学生和包括老师、 家长在内的社 会人士对高考英语改革的看法,某媒体在该地区选择了 3600 人,就是否“取消英语听力” 的问题进行调查,调查统计的结果如下表: 应该取消 应该保留 无所谓 y 在校学生 2100 120 x z 社会人士 600 已知在全体样本中随机抽取 1 人,抽到持“应该保留”态度的人的概率为 O.05. (1) 现用分层抽样的方法在所有参与调查的人中抽取 360 人进行问卷访谈, 问应该在持“无 所谓”态度的人中抽取多少人? (2) 在持“应该保留”态度的人中, 用分层抽样方法抽取 6 人平均分成两组进行深入交流, 求第一组中在校学生人数 ζ 的分布列和数学期望.

19. (本大题满分 12 分) 已知数列 {an} 的前 n 项和为 Sn ,且满足 . (1)求数列{an}的通项公式; (2)若数列{bn}为等比数列,求{bn}的通项公式; (3)在(2)的条件下,记 m,使 ( a 是常数且 a>O,a≠2) ,

是否存在正整数

都成立?若存在,求出 m 的值;若不存在,请说明理由.

20. (本大题满分 12 分) 如图,正方形 ABCD 与梯形 CDEF 所在的平面互相垂直,CD⊥DE,CF∥DE, CD=CF=2,DE=4,G 为 AE 的中点. (1)求证:FG∥平面 ABCD; (2)求证:平面 FAD⊥平面 FAE; (3)求平面 FAE 与平面 ABCD 所成锐二面的余弦值.

21. (本大题满分 13 分) 若中心在原点的椭圆 C1: 与双曲线 x -y =2 有共 同的焦点, 且它们的离心率互为倒数, 圆 C2 的直径是椭圆 C1 的长轴, C 是椭圆的上顶点,动直线 AB 过点 C 且与圆 C2 交于 A、B 两点,CD 垂直于 AB 交椭圆于点 D. (1)求椭圆 C1 的方程; (2)求△ABD 面积的最大值,并求此时直线 AB 的方程.
2 2

22. (本大题满分 14 分) 2 已知函数,f(x)=alnx-x . (1)当 a=2 时,求函数 y=f(x)在[,2]的最大值; (2)令 g(x)=f(x)+ax,若 y=g(x)在区间(0,3)上不是单调函数,求 a 的取值 范围; (3)当 a=2 时,函数 h(x)=f(x)-mx 的图象与 x 轴交于两点 A(x1,0) ,B(x2,0) , 且 0<x1<x2,又 h′(x)是 h(x)的导函数.若正常数 α、β 满足条件 α+β=1,α≤β,证明: h’(αx1+βx2)<0.

参考答案及评分标准
说明 1.本解答列出试题的一种或几种解法,如果考生的解法与所列解法不同,可参照解答中评 分标准的精神进行评分。

2.评阅试卷,应坚持每题评阅到底,不要因为考生的解答中出现错误而中断对该题的评阅。 当考生的解答在某一步出现错误,影响了后继部分,但该步以后的解未改变这一题的内 容和难度时,可视影响程度决定后面部分的给分,这时原则上不应超过后面部分应给分 数的一半,如果有较严重的概念性错误,就不给分。 3.解答题中右端所标注的分数,表示考生正确做到这一步应得的该题分数。 一.选择题:ACDBC 二.填空题:11.9 48 15. 5 三.解答题: 17.(1)解: f ( x) ? cos x(a sin x ? cos x) ? cos 2 ( 由 f (? BDABB 12.(1)0.25 (2)2900 16.x-2y+1=0 13.(-∞,3) 14.(1)1 (2)6

?
2

? x) ?

a sin 2 x ? cos 2 x 2

2分 4分 6分

?
3

) ? f (0) 得: ?

3a 1 ? ? ?1 ,∴ a ? 2 3 4 2

∴ f ( x) ? 3 sin 2 x ? cos 2 x ? 2 sin(2 x ? 由 2k ? ?

?

3 ? 5 ? 得: k ? ? ≤ x ≤ k ? ? ? (k∈Z) 2 6 2 3 6 ? 5 ∴f (x)的单调递减区间为: [k ? ? , k ? ? ? ] (k∈Z) 3 6 ≤ 2x ? ≤ 2k ? ?

?

?

6

)

8分 9分

a 2 ? c2 ? b2 c 2ac cos B c cos B c ,由余弦定理得: ? ? ? 2ab cos C b cos C 2a ? c a 2 ? b 2 ? c 2 2a ? c 即 2a cos B ? c cos B ? b cos C 由正弦定理得: 2 sin A cos B ? sin C cos B ? sin B cos C 即 2 sin A cos B ? sin( B ? C ) ? sin A 1 ? 又 sin A≠0,故 cos B ? ,∴ B ? 2 3 分 2? ? ? ∵△ABC 锐角三角形,∴ C ? ?B? ? A? 3 2 6 ? ? ? ? 5? ∴ ? A ? , ? 2A ? ? 6 2 6 6 6

(2)解:∵

10

∴ f ( A) ? 2sin(2 A ? 分

?

6

) 的取值范围为(1,2].

12

18.(1)解:∵抽到持“应该保留”态度的人的概率为 0.05 120 ? x ∴ ? 0.05 ,解得 x = 60 3600 ∴持“无所谓”态度的人数共有 3600-2100-120-600-60 = 720 360 ∴应在“无所谓”态度抽取 720 ? ? 72 人. 3600 (2)解:由(1)知持“应该保留”态度的一共有 180 人 120 60 ∴在所抽取的 6 人中,在校学生为 ? 6 ? 4 人,社会人士为 ?6 ? 2人 180 180 于是第一组在校学生人数 ξ = 1,2,3

2分 4分 6分

8分

10 分

P(? ? 1) ?

1 2 C4 C2 3 C6

?

C 2 C1 3 C 3C 0 1 1 , P(? ? 2) ? 4 3 2 ? , (? ? 3) ? 4 3 2 ? , 5 5 5 C6 C6

即 ξ 的分布列为: ξ P ∴ E ? 1? 分 19.(1)解:由 ∴ S1 ? a1 ?

1 1 5

2 3 5

3 1 5 12

1 3 1 ? 2 ? ? 3? ? 2 . 5 5 5
Sn a a ? 得: Sn ? (an ? 2) an ? 2 a ? 2 a?2

a (a1 ? 2) ,a1 = a a?2 a a a a 当 n≥2 时, an ? (an ? 2) ? (an?1 ? 2) ? an ? an?1 a?2 a?2 a?2 a?2 a a (a ? 2)an ? aan ? aan?1 ,∴ n ? an ?1 2
∴数列{an}是首项为 a,公比为

1分 2分 3分

a 的等比数列 2
4分

a a ∴ an ? a( )n?1 ? 2( )n 2 2
a a a([1 ? ( ) n ] 2a ? 2a( ) n 2 2 (2)解: Sn ? ? a 2?a 1? 2 a n a 4a ? 4a ( ) 2a ? (2 ? 3a)( )n 1 2 ? 2 ? 2a ? ( 2 )n ? 2 ? 3a bn ? ?1? a a 2?a (2 ? a) a 2?a 2( )n (2 ? a)( ) n 2 2 2 若数列{bn}为等比数列,则 2-3a = 0, a ? 3 n 此时,bn = 3
(3)证: cn ? log3 b1 ? log3 b2 ? ? ? log3 bn ? log3 b1b2 ?bn ? log3 31? 2??? n ? ∴
1 2 1 1 ? ? 2( ? ) cn n(n ? 1) n n ?1

5分

6分

7分 8分 9分

n(n ? 1) 2

1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? ??? ? 2[(1 ? ) ? ( ? ) ? ? ? ( ? )] ? 2(1 ? ) c1 c2 cn 2 2 3 n n ?1 n ?1

10

分 由
1 1 1 m 1 m ? ??? ≥ ?n∈N*都成立得: 2(1 ? )≥ c1 c2 cn 3 n ?1 3

6 ?n∈N*都成立 n ?1 ∵m 是正整数,∴m 的值为 1、2、3. 分
即 m≤6 ? 20.(1)证法一:过 G 作 GH∥ED,交 AD 于 H

12

∵G 为 AE 的中点,∴ GH ?

1 ED ? 2 2

2分

又 CF∥DE,故 GH∥FC 因此 GHCF 是平行四边形,FG∥CH ∴FG∥平面 ABCD ???? ???? ???? 证法二:以 DA 、DA 、DE 为 x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系,则 A(2,0,0),F(0,2,2),G(1,0,2),E(0,0,4) ???? ???? ∴ FG ? (1, 0, 4) ? 2, 0) ,平面 ABCD 的法向量 DE ? (0, ???? ???? ∵ FG ? DE ? 0 ,∴FG⊥DE ∵FG 不在平面 ABCD 内,∴FG∥平面 ABCD. ???? ? ???? (2)证: DF ? (0, 2, 2) , DA ? (2, 0, 0) 设平面 FAD 的法向量 n = (x,y,z),则 2, 2) ? 0 ?( x,y,z ) ? (0, ?2 y ? 2 z ? 0 ? ? ?( x,y,z ) ? (2, 0 , 0) ? 0 ? ?2 x ? 0 令 y = 1,得 n = (0,1,-1) ??? ? ???? FE ? (0, ? 2, 2),AE ? (?2, 0, 4) 设平面 FAE 的法向量 m = (x,y,z),则 ? 2, 2) ? 0 ?( x,y,z ) ? (0, ??2 y ? 2 z ? 0 ? ? ?( x,y,z ) ? (?2, 0 , 4) ? 0 ? ??2 x ? 4 z ? 0 令 z = 1,得 m = (2,1,1) ∵m·n = (0,1,-1)·(2,1,1) = 0 ∴m⊥n,故平面 FAD⊥平面 FAE. 分 (3)解:由(2)知平面 FAE 的法向量 m = (2,1,1) ???? 平面 ABCD 的法向量 DE ? (0, 0, 4) ???? ???? m ? DE 6 ∴ | cos ? m, DE ?|?| ???? |? 6 | m || DE | ∴平面 FAE 与平面 ABCD 所成锐二面的余弦值为 分 21.(1)解:双曲线 x2-y2 = 2 的焦点为(±2,0),离心率为 2 c 2 由题意,c = 2, ? ,解得: a ? 2 2 a 2 ∴b2 = a2-c2 = 45 y2 x2 ? ?1 ∴椭圆方程为 8 4 (2)解:当直线 AB 斜率不存在时,不符合题意 当 AB 斜率存在且不为 0 时,设直线 AB 的方程为 y = kx + 2,直线 CD 的方程为 y ? ? 圆心(0,0)到直线 AB 的距离为 d ?
2 k ?1
2

4分 2分

4分

6分

8分 10

6 6

12

2分

4分

1 x?2 k
5分

∴直线 AB 被圆 C2 所截得的弦长 | AB | ? 2 8 ? d 2 ?

4 2k 2 ? 1 k2 ? 1

6分

? x2 ? ? ? 由? 8 ?y ? ? ? ?

y2 ?1 4 得: (k 2 ? 2) x2 ? 8kx ? 0 1 x?2 k 8k 1 8k 2k 2 ? 4 ∴ xD ? 2 ,yD ? ? ? 2 ?2? 2 k k ?2 k ?2 k ?2

7分 8分 9分

故 | CD |? ( ∴ S?ABD ?

8k 2 2k 2 ? 4 8 k2 ?1 2 ) ? ( ? 2) ? k2 ? 2 k2 ? 2 k2 ? 2

1 4 2k 2 ? 1 8 k 2 ? 1 16 2k 2 ? 1 ? ? 2 ? 2 k ?2 k2 ? 2 k2 ? 1 t2 ? 1 2 令 t ? 2k 2 ? 1 ,则 k 2 ? (t ? 1) 2 16t 32t 32 32 16 3 故 S?ABD ? 2 ? 2 ? ≤ ? 3 3 t ?1 t ?3 2 3 t? ?2 t 2 分 3 当且仅当 t ? ,即 t ? 3 时,等号成立 t
此时 2k 2 ? 1 ? 3 ? k ? ?1 分 当直线 AB 斜率为 0,即 AB∥x 轴时, S ?ABD ? 8 ? ∴△ABD 面积的最大值为 分 22.(1)解:当 a = 2 时, f ?( x) ? 函数 y = f (x)在[ 所以 f ( x)max
16 3 3

11

12

16 3 ,这时直线 AB 的方程为 y ? ? x ? 1 . 3

13

2 2 ? 2 x2 ? 2x ? x x
3分 4分

1 ,1]是增函数,在[1,2]是减函数 2 ? f (1) ? 2 ln x ? 1 =-1

a 5分 ? 2x ? a x ∵g (x)因为在区间(0,3)上不是单调函数,∴ g ?( x) ? 0 在(0,3)上有实数解,且无重根
(2)解:∵ g ( x) ? a ln x ? x2 ? ax ,∴ g ?( x) ?

2 x2 1 9 ? 2( x ? 1 ? ) ? 4 ? (0, ) ,x∈(0,3) x ?1 x ?1 2 又当 a =-8 时, g ?( x) ? 0 有重根 x =-2;a = 0 时, g ?( x) ? 0 有重根 x = 0 9 综上,a 的取值范围是 (0, ) . 2
由 g ?( x) ? 0 得:2x2-ax-a = 0,有 a ?

6分 7分 8分

2 ? 2x ? m x ∵h (x) = f (x)-mx 的图象与 x 轴交于两点 A(x1,0),B(x2,0) ∴f (x)-mx = 0 有两个实根 x1、x2,
(3)解:当 a = 2 时, h( x) ? 2ln x ? x 2 ? mx , h?( x) ?
?2 ln x1 ? x12 ? mx1 ? 0 2 ∴? ,两式相减得: 2(ln x1 ? ln x2 ) ? ( x12 ? x2 ) ? m( x1 ? x2 ) 2 ?2 ln x2 ? x2 ? mx2 ? 0

∴m?

2(ln x1 ? ln x2 ) ? ( x1 ? x2 ) x1 ? x2 2(ln x1 ? ln x2 ) 2 ? 2(? x1 ? ? x2 ) ? ? ( x1 ? x2 ) ? x1 ? ? x2 x1 ? x2

9分

于是 h ?(? x1 ? ? x2 ) ?
?

2(ln x1 ? ln x2 ) 2 ? ? (2? ? 1)( x2 ? x1 ) ? x1 ? ? x2 x1 ? x2

10

分 ? ≤ ? , 2? ≤1 ? (2? ? 1)( x2 ? x1 ) ≤ 0 ∵ ? ? ? ? 1, 要证: h ?(? x1 ? ? x2 ) ? 0 ,只需证: 只需证: 分
x1 1? t ? ln t ? 0 (0 < t < 1),(*)化为 ?t ? ? x2 1? t 1 1 令 u (t ) ? ln t ? ,则 u ?(t ) ? ? t (? t ? ? ) 2 ?t ? ? x1 ? x2 2(ln x1 ? ln x2 ) 2 ? ?0 ? x1 ? ? x2 x1 ? x2

? x1 ? ? x2

? ln

x1 ? 0 (*) x2

11

令t ?

? t ? ? ? 1 ? (1 ? t )? ≥1 ?
分 ∴

1? t 1? t ? ≥ t ,即 (? t ? ? )2 ? t 2 2

12

1 1 1 1 ? ? u ?(t ) ? ? ?0 2 t (? t ? ? ) t (? t ? ? ) 2

13

分 ∵u (t)在(0,1)上单调递增,u (t) < u (1) = 0 x ? x2 x 1? t ? 0 ,即 1 ? ln 1 ? 0 ∴ ln t ? ?t ? ? ? x1 ? ? x2 x2 ? h ( ? x ? ? x ) ? 0 ∴ 1 2 分

14


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