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广东省广州市仲元中学2018-2019学年高一上学期期中考试数学试题(含精品解析)

广东省广州市仲元中学 2018-2019 学年高一上期中考试数学试题

一、选择题(本大题共 12 小题,共 60.0 分)

1.若集合

,集合

,则 等于 ( )

A.

B.

C.

D.

【答案】A

【解析】

试题分析:由题意可知集合 包含三个实数-1,0,2,集合 包含三个元素 0,1,2,所以 这四个元素,故选 考点:集合的并集.

应该包括-1,0,1,2

2.设全集

,集合



,则右图中的阴影部分表示的集合为

A.

B.

C.

D.

【答案】B

【解析】

阴影部分表示的 集合为

3.下列各对函数中,图象完全相同的 是(  )

A. 与

B.



C. 与 【答案】C

D.



【解析】

【分析】

先判断两个函数的定义域是否是同一个集合,再判断两个函数的解析式是否可以化为一致.

【详解】解:对于 A、∵ 的定义域为 ,

的定义域为 .两个函数的对应法则不相同,∴不是

同一个函数. 对于 B、∵

的定义域

, 的定义域均为 .∴两个函数不是同一个函数.

对于 C、∵ 的定义域为 且 , 数.

的定义域为 且 .对应法则相同,∴两个函数是同一个函

对于 D、

的定义域是



故选:C.

的定义域是 ,定义域不相同,∴不是同一个函数.

【点睛】本题考查两个函数解析式是否表示同一个函数,需要两个条件:①两个函数的定义域是同一个集

合;②两个函数的解析式可以化为一致.这两个条件缺一不可,必须同时满足.

4.函数

的 定义域是(  )

A.

B.

C.

D.

【答案】B

【解析】

【分析】

由题意,分子根号下的式子大于或等于零,分母不为零,据此列出 的不等式组,求解即可.

【详解】解:要使原式有意义只需:

,解得 且 ,

故函数的定义域为



故选:B.

【点睛】求函数的定义域分两类,一是实际问题中函数的定义域,有变量的实际意义确定;二是一般函数

的定义域,由使式子有意的 的范围确定,一般是列出不等式组求解.注意结果要写成集合或区间的形

式.

5.下列函数中,是奇函数,又在定义域内为减函数的是(  )

A.

B.

C.

D.

【答案】C 【解析】
是非奇非偶函数,在定义域内为减函数;
是奇函数,在定义域内不单调; y=-x 3 是奇函数,又在定义域内为减函数;
是非奇非偶函数,在定义域内为减函数; 故选:C

6.若函数 A. 或 【答案】B 【解析】

的定义域和值域都为 ,则(  )

B.

C.

D. 不存在

由题意得,函数 f(x)为一次函数,则

,解得 ,故选 B.

7.已知 是 上的奇函数,且当 A. C. 【答案】D 【解析】

时,

,则当 时, 的解析式是( ) B. D.

令 ,则

,所以

,又 是 上的奇函数,所以



故选 D.

8.若函数

的一个正数零点附近的函数值用二分法计算,其参考数据如下:

那么方程

的一个近似根(精确到 0.1)为(  )

A. 1.2

B. 1.3

C. 1.4

D. 1.5

【答案】C

【解析】

【分析】

由图中参考数据可得



,又因为题中要求精确到 0.1 可得答案.

【详解】解:由图中参考数据可得



,又因为题中要求精确到 0.1,

所以近似根为 1.4

故选:C.

【点睛】本题主要考查用二分法求区间根的问题,属于基础题型.在利用二分法求区间根的问题上,如果

题中有根的精确度的限制,在解题时就一定要计算到满足要求才能结束.

9.若函数

( 且 )的图象不经过第一象限,则有( )

A. 且

B. 且

C.



D.



【答案】C

【解析】

函数图象不经过第一象限,则指数函数 单调递减,即



且当 时,

,求解不等式可得: ,

综上可得:

且.

本题选择 C 选项.

10.已知





,则(  )

A.

B.

C.

D.

【答案】D

【解析】

【分析】

利用指数函数与对数函数的单调性即可得出.

【详解】解:















故选:D.

【点睛】本题考查了指数函数与对数函数的单调性,考查了推理能力与计算能力,属于基础题.

11.函数

()

【答案】A 【解析】 由于函数为偶函数又过(0,0)所以直接选 A. 【考点定位】对图像的考查其实是对性质的考查,注意函数的特征即可,属于简单题.

12.已知定义在 上的奇函数 满足当 时,



)的所有零点之和为(  )

,则关于 的函数



A.

B.

C.

D.

【答案】B

【解析】

【分析】

作函数 与 的图象,从而可得函数

有 5 个零点,设 5 个零点分别为



从而结合图象解得.

【详解】解:作函数 与 的图象如下,

结合图象可知,

函数 与 的图象共有 5 个交点,

故函数

有 5 个零点,

设 5 个零点分别为













,即







故选:B.

【点睛】本题考查了函数的零点与函数的图象的关系应用及数形结合的思想应用,属于常考题型.

二、填空题(本大题共 4 小题,共 20.0 分)

13.函数

且 的图象恒过定点________.

【答案】

【解析】

令 x=1,则 y= ,所以函数



的图象恒过定点

.

14.已知集合 =

=

【答案】

【解析】

,则 =_______.

= 所以 =

=

=

.

=

,

15.方程

的解是______.

【答案】x=log23

【解析】

∵4x-2x+1-3=0∴(2x)2-2×2x-3=0∴(2x-3)(2x+1)=0∵2x>0∴2x-3=0∴x=log23

故答案为 x=log23

16.已知
【答案】 【解析】

是 上的减函数,则 的取值范围是______.

因为数 =

在 上是减函数,所以

,求解可得

,故答案为 .

点睛:已知函数的单调性确定参数的值或范围要注意以下两点:(1)若函数在区间 上单调,则该函数在

此区间的任意子区间上也是单调的;(2)分段函数的单调性,除注意各段的单调性外,还要注意衔接点的

取值;(3)复合函数的单调性,不仅要注意内外函数单调性对应关系,而且要注意内外函数对应自变量

取值范围.

三、解答题(本大题共 6 小题,共 70.0 分)
17.计算下列各式:

(1)
(2) 【答案】(1)0.09;(2)3. 【解析】 【分析】 (1)进行分数指数幂的运算即可;

(2)进行对数式的运算即可.

【详解】解:(1)原式



(2)原式

. 【点睛】考查分数指数幂和对数的运算,熟记运算法则即可,属于基础题型.

18.已知集合 =

=

=

.

(1)求 .

(2)若

,求实数 的取值范围.

【答案】(1)

;(2)

.

【解析】

试题分析:(1)根据数轴求集合交集(2)由

得 ,先考虑空集的情况,再结合数轴列对应不等

式关系,最后根据并集求实数 的取值范围.

试题解析:(1) =

=

,

(2)① 当 时,

.
, 即.

②当 时, .
综上所述, 的取值范围是

,即

.

19.已知函数 是定义在 上的偶函数,当 时,

(1)求函数 的解析式,并画出函数 的图象. (2)根据图象写出的单调区间和值域.

【答案】(1) (2) 函数 的单调递增区间为

单调递减区间为 【解析】 试题分析:解:(1)由 又函数 为偶函数,

,函数 的值域为



,当



—————————————3’

故函数的解析式为

—————————————4’

(2)由函数的图像可知,函数 的单调递增区间为

单调递减区间为

,函数 的值域为

——————12’

考点:函数奇偶性和函数单调性的运用

点评:解决该试题的关键是利用对称性作图,并能加以结合单调性的性质来求解最值。属于基础题。

20.已知函数

是定义在 上的函数.

(1)用定义法证明函数 在 上是增函数;

(2)解不等式



【答案】(1)详见解析;(2) . 【解析】 【分析】

(1)利用函数的分析式结合函数的单调性的定义证明函数单调递增即可; (2)由函数的奇偶性结合(1)的结论得到关于实数 的不等式组,求解不等式组即可求得最终结果.

【详解】解:(1)证明:对于任意的

,且

,则:





,∴



,∴





,即



∴函数在

上是增函数.

(2)由函数的分析式及(1)知, 是奇函数且在

,即:



结合函数的定义域和单调性可得关于实数 的不等式:

上递增,

,求解关于实数 的不等式组可得:



则不等式的解集为 . 【点睛】本题考查了函数奇偶性的判断,函数单调性的判断,抽象函数的解法等,属于中档题.

21.已知函数



(1)求函数 的定义域,并判断函数 的奇偶性;

(2)对于



【答案】(1)

恒成立,求实数 的取值范围.

,奇函数;(2)

.

【解析】 【分析】

(1)对数函数的指数大于 0,从而求解定义域.根据函数的奇偶性进行判断即可.

(2)利用对数函数的性质化简不等式,转化为二次函数的问题求解 m 的取值范围.

【详解】(1)由

,解得

∴函数 的定义域为



时,

或, ,





是奇函数.

(2)由于

时,

恒成立,





,∴

>0,



上恒成立.

令 由二次函数的性质可知,

时函数

, 单调递增,

时函数 单调递减,



时,

,所以

.

【点睛】本题考查了对数函数的性质的运用能力和化简计算能力.属于基础题.

22.已知函数 (1)求函数

的值域;

(2)若

时,函数 的最小值为 ,求 的值和函数 的最大值.

【答案】(1)(-∞,1)(2) 【解析】

试题分析:(1)解本小题的关键是利用

,把原函数转化为关于 t 的二次函数



的值域问题.(2)在(1)的基础上可确定



小值为-7,建立关于 a 的方程求出 a 值,从而得到函数 f(x)的最大值.



(1)对称轴



上是减函数

所以值域为

----------------------------------------- 6

上是减函数,然后根据 f(x)的最

(2)∵ 所以



在 上是减函数



(不合题意舍去)------------------------11



时 有最大值,



-----------------------------------------------13

考点:本小题考查了复合函数的值域问题,同时考查了换元法.

点评:解决此类复合函数问题,最好采用换元法转化为常见函数来解决.易错点是容易忽视新变量的范围.


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