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专题2.6 指数与指数函数(教学案)-2014年高考数学(理)一轮复习精品资料(原卷版)


【重点知识梳理】 1. 单调性是指数函数的重要性质, 特别是函数图像的无限伸展性, x 轴是函数图像的渐近线. 当 0<a<1 时,x→+∞,y→0;当 a>1 时,x→-∞,y→0;当 a>1 时,a 的值越大,图像越靠近 y 轴, 递增的速度越快;当 0<a<1 时,a 的值越小,图像越靠近 y 轴,递减的速度越快. 1? 2.画指数函数 y=ax 的图像,应抓住三个关键点:(1,a)、(0,1)、? ?-1,a?. 1 ?x ?1?x 3.熟记指数函数 y=10x,y=2x,y=? ?10? ,y=?2? ,在同一坐标系中图像的相对位置,由此掌 握指数函数图像的位置与底数大小的关系. 4.在有关根式、分数指数幂的变形、求值过程中,要注意运用方程的观点处理问题,通过解 方程(组)来求值,或用换元法转化为方程来求解. 5.比较幂值大小时,要注意区分底数相同还是指数相同.是用指数函数的单调性,还是用幂 函数的单调性或指数函数的图像解决.要注意图像的应用,还应注意中间量 0、1 等的运用.指数 函数的图像在第一象限内底大图高(逆时针方向底数依次变大). 6. 指数幂的化简与求值 (1)化简原则:①化根式为分数指数幂;②化负指数幂为正指数幂;③化小数为分数;④注意运 算的先后顺序. 提醒:有理数指数幂的运算性质中,其底数都大于零,否则不能用性质来运算. (2)结果要求:①若题目以根式形式给出,则结果用根式表示;②若题目以分数指数幂的形式给 出,则结果用分数指数幂的形式表示;③结果不能同时含有根式和分数指数幂,也不能既有分母又 有负分数指数幂. 【高频考点突破】 考点一 指数函数的图象与性质及应用 例 1、(1)函数 y= A.(-∞,1] C.[-1,+∞)
x

1 - 32x 1- 的定义域是( 27 B.[1,+∞) D.(-∞,-1]

)

(2)设 f(x)=|3 -1|,c<b<a 且 f(c)>f(a)>f(b),则下列关系式中一定成立的是( A.3c>3b C.3c+3a>2 B.3b>3a D.3c+3a<2

)

【点评】第(1)题根据指数函数的单调性解题,注意单调性的正确使用;第(2)题利用图象比较指 数函数的函数值的大小,正确作出函数图象是解题的关键.

1? 【归纳总结】①画指数函数 y=ax(a>0,且 a≠1)的图象要抓住三点:(1,a),(0,1),? ?-1,a?. ②与指数函数有关的函数的图象问题的研究,往往利用相应指数函数的图象,通过平移、对称 变换得到其图象. ③一些指数方程、不等式问题的求解,往往结合相应的指数型函数图象利用数形结合求解. 【变式探究】(1)函数 y=4x+2x 1+1 的值域是________.


-x2+x+2 1 ? (2)函数 y=? 的单调递增区间是________. ?2? 考点二 指数幂的化简与求值 例 2、(1)若 a=(2+ 3) 1,b=(2- 3) 1,则(a+1) 2+(b+1)
- - - -2

的值是(

)

A.1

B.
2

1 4


C.

2 2 D. 2 3
1 1 1

(a3· b 1)-2· a-2· b3 (2)化简 1 a 6 C. (a>0,b>0)的结果是( a· b
5

)

A.a B.

a b

D.

1 ab

【点评】第(1)题先化简 a,b,再代入表达式化简求值,是常用的求值方法;第(2)题统一为指 数幂后再进行指数运算,是根式运算、指数幂运算的一般方法. 【归纳总结】指数幂的化简与求值的原则及结果要求: ①化简原则:(i)化负指数为正指数.(ii)化根式为分数指数幂.(iii)化小数为分数;(iv)注意运算 的先后顺序. ②关于结果的表示形式,如果题目是以根式的形式给出的,则结果用根式的形式表示;如果题 目以分数指数幂的形式给出的,则结果用分数指数幂的形式表示;如果题目中既有根式又有分数指 数幂,则结果用分数指数幂表示.结果不要同时含有根号和分数指数幂,也不要既有分母又含有负 指数幂. 考点三 指数幂大小的比较方法 2 3 2 3 2 2 5 5 ? ? ? ? ?5 例 3、设 a=? ?5? ,b=?5? ,c=?5? ,则 a,b,c 的大小关系是( A.a>c>b B.a>b>c C.c>a>b D.b>c>a 【特别提醒】比较指数幂值的大小时,要注意区分底数相同还是指数相等.是用指数函数的单 调性,还是用幂函数的单调性.要注意指数函数图象和幂函数的图象的应用,指数函数的图象在第 )

一象限内“底大图高(逆时针方向底数依次变大)”.还应注意中间量 0,1 等的运用. 999 119 【变式探究】 (1)已知 P= 99 ,Q= 90 ,那么 P,Q 的大小关系是( 9 9 A.P>Q C.P<Q B.P=Q D.无法确定 ) )

(2)若 a=8131,b=2741,c=961,则 a,b,c 的大小关系为( A.a>b>c C.a<b<c B.a>c>b D.b>c>a

【经典考题精析】 (2013· 新课标全国卷Ⅱ) 若存在正数 x 使 2x(x-a)<1 成立,则 a 的取值范围是( A.(-∞,+∞) B.(-2,+∞) C.(0,+∞) D.(-1,+∞) )

(2012· 四川卷)函数 y=ax-a(a>0,且 a≠1)的图象可能是(

)

图 1-1 (2012· 山东卷)若函数 f(x)=ax(a>0,a≠1)在[-1,2]上的最大值为 4,最小值为 m,且函数 g(x) =(1-4m) x在[0,+∞)上是增函数,则 a=________. 1?-0.8 (2012· 天津卷)已知 a=21.2,b? ?2? ,c=2 log52,则 a,b,c 的大小关系为( A.c<b<a B.c<a<b C.b<a<c D.b<c<a (2012· 上海卷)方程 4x-2x 1-3=0 的解是________.


)

1 (2012· 课标全国卷)当 0<x≤ 时,4x<logax,则 a 的取值范围是( 2 A.?0,

)

?

2? 2?

B.?

2 ? ? 2 ,1?

C.(1, 2) D.( 2,2) 1 1?x (2012· 北京卷)函数 f(x)=x -? 的零点个数为( 2 ?2? A.0 B.1 C.2 D.3

)

(2012· 湖南卷) 设 a>b>1,c<0,给出下列三个结论: c c ① > ;②ac<bc;③logb(a-c)>loga(b-c). a b 其中所有的正确结论的序号是( A.① B.①② C.②③ D.①②③ ( 2012· 重庆卷)设函数 f(x) = x2 - 4x + 3 , g(x) = 3x - 2 ,集合 M = {x∈R|f(g(x))>0|,则 N = {x∈R|g(x)<2},则 M∩N 为( A.(1,+∞) B.(0,1) C.(-1,1) D.(-∞,1) ) )

【随堂巩固】 1 2 1.已知 a< ,则化简 4 的结果是( (4a-1) 4 A. 4a-1 C. 1-4a 1?-1.5 2.(文)设 y1=40.9,y2=80.48,y3=? ?2? ,则( A.y3>y1>y2 C.y1>y2>y3 3.设函数 f(x)=a
-|x|

) B.- 4a-1 D.- 1-4a ) B.y2>y1>y3 D.y1>y3>y2

(a>0,且 a≠1),f(2)=4,则(

)

A.f(-2)>f(-1) C.f(1)>f(2)

B.f(-1)>f(-2) D.f(-2)>f(2) )

aπ 4.若点(a,9)在函数 y=3x 的图像上,则 tan 的值为( 6

A.0 C. 1 5.函数 y=a -a(a>0,且 a≠1)的图像可能是(
x

B. D.

3 3 3 )

6.给出下列结论: 3 2

①当 a<0 时,(a2)

=a3;

n ② an=|a|(n>1,n∈N+,n 为偶数); 1 2 7 -(3x-7)0 的定义域是{x|x≥2 且 x≠ }; 3

③函数 f(x)=(x-2)

1 ④若 2x=16,3y= ,则 x+y=7. 27 其中正确的是( A.①② C.③④ ) B.②③ D.②④ )

7.函数 y=ax 在[0,1]上的最大值与最小值的和为 3,则 a 的值为( 1 A. 2 C.4 B .2 1 D. 4

8.设 a>0 且 a≠1,则“函数 f(x)=ax 在 R 上是减函数”是“函数 g(x)=(2-a)x3 在 R 上是增函数” 的( ) A.充分不必要条件 C.充分必要条件 B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

9.若函数 y=4x-3· 2x+3 的定义域为集合 A,值域为[1,7],集合 B=(-∞,0]∪[1,2],则集合 A 与集合 B 的关系为( A.A ? B C.B ? A ) B.A=B D.A? B

10.已知集合 P={(x,y)|y=m},Q={(x,y)|y=ax+1,a>0,a≠1},如果 P∩Q 有且只有一个 元素,那么实数 m 的取值范围是________. 11.若直线 y=2a 与函数 y=|ax-1|(a>0 且 a≠1)的图像有两个公共点, 则 a 的取值范围是________. 12.已知 2x
2
+x

1?x-2 -x x ≤? ?4? ,则函数 y=2 -2 的值域是________.

14.若函数 f(x)=ax-1(a>0 且 a≠1)的定义域和值域都是[0,2],则 a=________. 15.设 a 是实数,f(x)=a- 2 (x∈R). 2x+1

(1)证明:对于任意实数 a,f(x)在 R 上为增函数; (2)试确定 a 的值,使 f(x)为奇函数. ex a 16.设 a>0,f(x)= + x是 R 上的偶函数. a e (1)求 a 的值; (2)证明 f(x)在(0,+∞)上是增函数; (3)解方程 f(x)=2. 17.求下列函数的定义域、值域.

-2x+b 18.已知定义域为 R 的函数 f(x)= x+1 是奇函数. 2 +a (1)求 a,b 的值; (2)若对任意的 t∈R,不等式 f(t2-2t)+f(2t2-k)<0 恒成立,求 k 的取值范围. 19.已知 f(x)=3x,并且 f(a+2)=18,g(x)=3ax-4x 的定义域为[-1,1]. (1)求函数 g(x)的解析式; (2)判断 g(x)的单调性; (3)若方程 g(x)=m 有解,求 m 的取值范围.


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