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选修2-3教案2.4正态分布


§2.4

正态分布

教学目标 (1)通过实际问题,借助直观(如实际问题的直方图) ,了解什么是正态分布曲线和正 态分布; (2)认识正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义; (3) 会查标准正态分布表, 求满足标准正态分布的随机变量 X 在某一个范围内的概率. 教学重点,难点 (1) 认识正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义; (2) 求满足标准正态分布的随机变量 X 在某一个范围内的概率. 教学过程 一.问题情境 1.复习频率分布直方图、频率分布折线图的意义、作法; 回顾曲边梯形的面积 S ?

?

b

a

f ( x)dx 的意义.

2.从某中学男生中随机地选出 84 名,测量其身高,数据如下(单位: cm ) : 164 175 170 163 168 161 177 173 165 181 155 178 164 161 174 177 175 168 170 169 174 164 176 181 181 167 178 168 169 159 174 167 171 176 172 174 159 180 154 173 170 171 174 172 171 185 164 172 163 167 168 170 174 172 169 182 167 165 172 171 185 157 174 164 168 173 166 172 161 178 162 172 179 161 160 175 169 169 175 161 155 156 182 182 上述数据的分布有怎样的特点? 二.学生活动 为了研究身高的分布,可以先根据这些数据作出频率分布直方图. 第一步 对数据分组(取组距 d ? 4 ) ; 第二步 列出频数(或频率)分布表; 第三步 作出频率分布直方图,如图 2-6-2.

由图 2-6-2 可以看出,上述数据的分 布呈“中间高,两边底,左、右大致 对称”的特点. 可以设想,若数据无限增多且组距 无限缩小,那么频率直方图的顶边 无限缩小乃至形成一条光滑的曲线, 我们将此曲线称为概率密度曲线. 再观察此概率密度曲线的特征.

三.建构数学
? 1 e 1. 正态密度曲线: 函数 P ( x) ? 2?? ( x ? ? )2 2? 2

, x ? R 的图象为正态密度曲线, 其中 ? 和 ?

为参数(

.不同的 ? 和 ? 对应着不同的正态密度曲线. ? ? 0,??R)

2.正态密度曲线图象的性质特征: (1)当 x ? ? 时,曲线上升;当 x ? ? 时,曲线下降;当曲线向左右两边无限延伸时, 以 x 轴为渐进线; (2)正态曲线关于直线 x ? ? 对称; (3) ? 越大,正态曲线越扁平; ? 越小,正态曲线越尖陡; (4)在正态曲线下方和 x 轴上方范围内的区域面积为 1. 3.正态分布: 若 X 是一个随机变量,对任给区间 (a, b], P(a ? x ? b) 恰好是正态密度曲线下方和
2 我们就称随机变量 X 服从参数为 ? 和 ? 的正 X 轴上 (a, b] 上方所围成的图形的面积,

态分布,简记为 X ~ N ( ? , ? ) .
2

4. 正态总体在三个特殊区间内取得的概率值: 具体地,如图所示,随机变量 X 取值 (1)落在区间 ( ? ? ? , ? ? ? ) 上的概率约为

68.3 0 0 ,即 P(? ? ? ? X ? ? ? ? ) ? 0.683 ;
(2)落在区间 (? ? 2? , ? ? 2? ) 上的概率约为 95.4 0 0 ,即

P(? ? 2? ? X ? ? ? 2? ) ? 0.954 ;
(3)落在区间 (? ? 3? , ? ? 3? ) 上的概率约为 99.7 0 0 ,即

P(? ? 3? ? X ? ? ? 3? ) ? 0.997 .
5. 3? 原则: 服从于正态分布 N ( ? , ? ) 的随机变量 X 只取 (? ? 3? , ? ? 3? ) 之间的值,
2

并简称为 3? 原则. 6.标准正态分布: 事实上,? 就是随机变量 X 的均值, 就是随机变量 X 的方差, 它们分别反映 X ?
2

取值的平均大小和稳定程度.我们将正态分布 N (0,1) 称为标准正态分布.通过查标准正 态分布表(见附表 1)可以确定服从标准正态分布的随机变量的有关概率. 7.非标准正态分布转化为标准正态分布:

非标准正态分布 X ? N ( ? , ? ) 可通过 z ?
2

X ??

?

转化为标准正态分布 z ? N (0,1) .

四.数学运用 1.例题: 例 1.一台机床生产一种尺寸为 10mm 的零件,现在从中抽测 10 个,它们的尺寸分别 如下(单位:mm) :10.2,10.1,10,9.8,9.9,10.3,9.7,10,9.9,10.1,如果机床 生产零件的尺寸 Y 服从正态分布,求正态分布的概率密度函数式. 解:由题意得 ? ?

1 (10.2 ? 10.1 ? 10 ? 9.8 ? 9.9 ? 10.3 ? 9.7 ? 10 ? 9.9 ? 10.1) ? 10 , 10

?2 ?

1 [(10.2 ? 10)2 ? (10.1 ? 10)2 ? (10 ? 10)2 ? (9.8 ? 10)2 ? (9.9 ? 10)2 ? (10.3 ? 10)2 10
(1 0 2 1? ) ? 0 ?9 . 9 ?1 0 ) ? (21 0 . ? ,即 ? ? 10 ,.? 23? 0.03 . ( 2 1 10) ] 0 0
50( x ?10)2 3

?( 9 . 7 120 ) ? ?

10 ? e 所以 Y 的概率密度函数为 P ( x) ? 6?

,x?R .

例 2.若随机变量 Z ~ N (0,1) ,查标准正态分布表,求: (1) P( Z ? 1.52) ; (2) P( Z ? 1.52) ; (3) P(0.57 ? x ? 2.3) ; (4) P( Z ? ?1.49) . 解: (1) P(Z ? 1.52) ? 0.9357 . (2) P( Z ? 1.52) ? 1 ? P( Z ? 1.52) ? 1 ? 0.9357 ? 0.0643 . (3) P(0.57 ? x ? 2.3) ? P(Z ? 2.3) ? P(Z ? 0.57) ? 0.9893 ? 0.7157 ? 0.2736 ; (4)

P(Z ? ?1.49) ? P(Z ? 1.49)

? 1 ? P( Z ? 1.49) ? 1 ? 0.9319

? 0.0681 .
例 3.在某次数学考试中,考生的成绩 X 服从一个正态分布,即 X ? N (90,100) .试 求考试成绩 X 位于区间 (70,110) 上的概率是多少? 解: 法一(将非标准正态分布转化为标准正态分布) :

P(70 ? X ? 110) ? P(

70 ? 90 X ? 90 110 ? 90 ? ? ) ? P(?2 ? Z ? 2) ? P( Z ? 2) ? P( Z ? ?2) 10 10 10

? P( Z ? 2 ) ? 1 ?P (Z ? ?2 ) ? P Z ? 2 ? ? 2 ( ) 1 ?

? 0 . 9 7?7 2? 1 2

0 . 9 .4 4 ?5

0.954

法二( 3? 原则) :因为 X ? N (90,100) ,所以 ? ? 90, ? ? 100 ? 10 . 由于正态变量在区间 (? ? 2? , ? ? 2? ) 内取值的概率是 0.954 ,而该正态分布

? ? 2? ? 90 ? 2 ?10 ? 70 , ? ? 2? ? 90 ? 2 ?10 ? 110 ,
所以考试成绩 X 位于区间 (70,110) 上的概率就是 0.954 . 2.练习:课本 P77 练习 第 1,2 题. 五.回顾小结: 1.正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义; 2.正态总体在三个特殊区间内取得的概率值; 3.求满足标准正态分布的随机变量 X 在某一个范围内的概率的方法.


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