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2017版高考数学一轮复习第十章计数原理概率随机变量10.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理课时提升作业理


分类加法计数原理与分步乘法计数原理
(25 分钟 一、选择题(每小题 5 分,共 35 分) 1.(2016·东莞模拟)教学大楼共有五层,每层均有两个楼梯,由一层到五层的走法有 ( A.10 种 B.2 种
5

50 分)

)

C.5 种

2

D.2 种
4

4

【解析】选 D.每相邻的两层之间各有 2 种走法,共分 4 步,由分步乘法计数原理,共有 2 种不同的走法. 2.(2016·三明模拟)设集合 A={1,2,3,4},m,n∈A,则方程错误!未找到引用源。+错误!未找到引用源。=1 表示焦点位于 x 轴上的椭圆有 ( A.6 个 B.8 个 ) C.12 个 D.16 个

【解析】选 A.分三类,当 n=1 时,有 m=2,3,4,共 3 个; 当 n=2 时,有 m=3,4,共 2 个; 当 n=3 时,有 m=4,共 1 个. 由分类加法计数原理得共有 3+2+1=6(个). 【加固训练】(2016·漯河模拟)椭圆错误!未找到引用源。+错误!未找到引用源。=1 的焦点在 y 轴上, 且 m∈{1,2,3,4,5},n∈{1,2,3,4,5,6,7},则这样的椭圆的个数为 【解析】以 m 的值为标准分类,分为五类. 第 1 类:当 m=1 时,使 n>m 的 n 有 6 种选择; 第 2 类:当 m=2 时,使 n>m 的 n 有 5 种选择; 第 3 类:当 m=3 时,使 n>m 的 n 有 4 种选择; 第 4 类:当 m=4 时,使 n>m 的 n 有 3 种选择; 第 5 类:当 m=5 时,使 n>m 的 n 有 2 种选择. 由分类加法计数原理,符合条件的椭圆共有 20 个. 答案:20 3.(2016·开封模拟)甲、乙、丙三个人踢毽子,互相传递,每人每次只能踢一下,由甲开始踢,经过 4 次传递 后,毽子又被踢回给甲,则不同的传递方式共有 ( A.4 种 B.6 种 C.10 种 D.16 种 ) .

【解题提示】按甲先传给乙,先传给丙两种情况分类计数. 【解析】选 B.第一类:甲先传给乙,如图所示.
-1-

,有 3 种传法. 第二类:甲先传给丙时也有 3 种传法,由分类加法计数原理,共有 3+3=6(种)传递方法. 4.(2016· 蚌埠模拟)集合 P={x,1},Q={y,1,2},其中 x,y∈{1,2,3,?,9},且 P? Q.把满足上述条件的一个有 序整数对(x,y)作为一个点的坐标,则这样的点的个数是 A.9 B.14 C.15 D.21 ( )

【解析】选 B.当 x=2 时,x≠y,点的个数为 1×7=7(个);当 x≠2 时,x=y,点的个数为 7×1=7(个),则共有 14 个点. 5.(2016·石家庄模拟)如果一个三位正整数如“a1a2a3”满足 a1<a2,且 a2>a3,则称这样的三位数为凸数(如 120,343,275 等),那么所有凸数的个数为 ( A.240 B.204 C.729 ) D.920

【解题提示】按 a2 取 2,3,4,?,9 分 8 类计数. 【解析】选 A.若 a2=2,则“凸数”为 120 与 121,共 2 个,若 a2=3,则“凸数”有 2×3=6(个),若 a2=4,满足条 件的“凸数”有 3×4=12(个),?,若 a2=9,满足条件的“凸数”有 8×9=72(个), 所以所有凸数有 2+6+12+20+30+42+56+72=240(个). 6.(2016·雅安模拟)用 4 种不同的颜色填涂如图所示的 1,2,3,4,5 五个区域,要求一区一色,邻区异色,则 不同的填涂方法种数是 ( )

A.120

B.96

C.72

D.48

【解题提示】先涂区域 1 有 4 种方法,区域 2 有 3 种涂色方法,区域 3 有 2 种涂色方法,区域 4 有 2 种涂色 方法,区域 5 有 2 种涂色方法,根据分步乘法计数原理,问题得以解决. 【解析】选 B.先涂区域 1 有 4 种方法,区域 2 有 3 种涂色方法,区域 3 有 2 种涂色方法,区域 4 有 2 种涂色 方法,区域 5 有 2 种涂色方法,根据分步乘法计数原理,得到共有 4×3×2×2×2=96(种). 【加固训练】 用 1,3,5,7,9 五个数字中的三个替换直线方程 Ax+By+C=0 中的 A,B,C,若 A,B,C 的值互不相同, 则不同的直线共有 ( A.25 条 B.60 条 ) C.80 条 D.181 条

【解题提示】A,B,C 的值互不相同,用 1,3,5,7,9 五个数字来替换,是分步乘法计数原理. 【解析】选 B.用 1,3,5,7,9 五个数字中的三个来替换 A,B,C;A,B,C 的值互不相同,是分步乘法计数原理,
-2-

直线条数是 5×4×3=60. 7.(2016·福州模拟)设集合 I={1,2,3,4,5},选择 I 的两个非空子集 A 和 B,要使 B 中最小的数大于 A 中最 大的数,则不同的选择方法共有 ( A.50 种 B.49 种 ) C.48 种 D.47 种

【解题提示】以 A 中最大的数为标准,进行分类讨论,A 中最大的数可能为 1,2,3,4 共四种情况. 【解析】选 B.当 A 中最大的数为 1 时,B 可以是{2,3,4,5}的非空子集,即有 2 -1=15(种)方法; 当 A 中最大的数为 2 时,A 可以是{2},也可以是{1,2},B 可以是{3,4,5}的非空子集,即有 2×(2 -1)=14(种) 方法; 当 A 中最大的数为 3 时,A 可以是{3},{1,3},{2,3},{1,2,3},B 可以是{4,5}的非空子集,即有 4(2 -1)=12(种) 方法; 当 A 中最大的数为 4 时,A 可以是{4},{1,4},{2,4},{3,4},{1,2,4},{1,3,4}, {2,3,4},{1,2,3,4},B 可以是{5},有 8×1=8(种)方法,故共有 15+14+12+8=49(种)方法. 二、填空题(每小题 5 分,共 15 分) 8.若在正五棱柱中,不同在任何侧面且不同在任何底面的两顶点的连线称为它的对角线 ,则一个正五棱柱 对角线共有 条.
2 3 4

【解析】 如图,在正五棱柱 ABCDE-A1B1C1D1E1 中,从顶点 A 出发的对角线有两条:AC1,AD1,同理从 B,C,D,E 点出 发的对角线也有两条,共 2×5=10(条).

答案:10 【加固训练】(2014·安徽高考)从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对,其中所成的角为 60°的共 有 ( ) B.30 对 D.60 对

A.24 对 C.48 对

【解析】选 C.与正方体的一个面上的一条对角线成 60°角的对角线有 8 条,故共有 8 对,正方体的 12 条面 对角线共有 96 对,且每对均重复计算一次,故共有错误!未找到引用源。=48 对. 9.三边长均为正整数,且最大边长为 11 的三角形的个数为 .
-3-

【解析】由题意知本题是一个分类计数问题, 另外两边长用 x,y 表示,且不妨设 1≤x≤y≤11,要构成三角形,必须 x+y≥12. 当 y 取值 11 时,x=1,2,3,?,11,可有 11 个三角形; 当 y 取值 10 时,x=2,3,?,10,可有 9 个三角形; 当 y 取值分别为 9,8,7,6 时,x 取值个数分别是 7,5,3,1, 所以根据分类加法计数原理知所求三角形的个数为 11+9+7+5+3+1=36. 答案:36 10.(2016·孝感模拟)用红,黄,蓝,绿,黑这 5 种颜色给如图所示的四连圆涂色,要求相邻两个圆所涂颜色不 能相同,红色至少要涂两个圆,则不同的涂色方案种数为 .

【解析】根据题意,红色至少要涂两个圆,而且相邻两个圆所涂颜色不能相同,则红色只能涂第一、三个圆、 第二、四个圆或第一、四个圆, 分 3 种情况讨论: ①用红色涂第一、三个圆, 此时第 2 个圆不能为红色,有 4 种涂色方法,第 4 个圆也不能为红色,有 4 种涂色方法, 则此时共有 4×4=16(种)涂色方案; ②同理,当用红色涂第二、四个圆也有 16 种涂色方案; ③用红色涂第一、四个圆, 此时需要在剩下的 4 种颜色中,任取 2 种,涂在第二、 三个圆中,有错误! 未找到引用源。 =12(种)涂色方案; 则一共有 16+16+12=44(种)不同的涂色方案. 答案:44 (20 分钟 40 分)

1.(5 分)(2016·厦门模拟)某体育彩票规定:从 01 至 36 共 36 个号中抽出 7 个号为一注,每注 2 元.某人想 从 01 至 10 中选 3 个连续的号,从 11 至 20 中选 2 个连续的号,从 21 至 30 中选 1 个号,从 31 至 36 中选 1 个号组成一注,则这人把这种特殊要求的号买全,至少要花 ( A.3360 元 C.4320 元 B.6720 元 D.8640 元 )

【解题提示】根据题意,依次计算“01 至 10 中三个连号的个数” 、 “11 至 20 中两个连号的个数” 、 “21 至 30 中单选号的个数” 、 “31 至 36 中单选号的个数”,进而由分步乘法计数原理计算可得答案.
-4-

【解析】选 D.从 01 至 10 中选 3 个连续的号共有 8 种选法;从 11 至 20 中选 2 个连续的号共有 9 种选法; 从 21 至 30 中选 1 个号有 10 种选法;从 31 至 36 中选一个号有 6 种选法,由分步乘法计数原理知共有 8×9 ×10×6=4320(种)选法,至少需花 4320×2=8640(元). 2.(5 分)如图所示,在 A,B 间有四个焊接点 1,2,3,4,若焊接点脱落导致断路,则电路不通.今发现 A,B 之间 电路不通,则焊接点脱落的不同情况有 ( )

A.9 种

B.11 种

C.13 种

D.15 种

【解析】选 C.按照焊接点脱落的个数进行分类:第 1 类,脱落 1 个,有 1,4,共 2 种;第 2 类,脱落 2 个,有 (1,4),(2,3),(1,2),(1,3),(4,2),(4,3),共 6 种;第 3 类,脱落 3 个,有(1,2,3),(1,2,4),(2,3,4),(1,3,4), 共 4 种;第 4 类,脱落 4 个,有(1,2,3,4),共 1 种.根据分类加法计数原理,共有 2+6+4+1=13 种焊接点脱落的 情况. 3.(5 分)(2016· 成都模拟)设三位数 n=错误! 未找到引用源。 (即 n=100a+10b+c,其中 a,b,c∈N ),若以 a,b,c 为三条边的长可以构成一个等腰(含等边)三角形,则这样的三位数 n 有 ( A.45 个 B.81 个 C.165 个 D.216 个 )
*

【解析】选 C.由题意知以 a,b,c 为三条边的长可以构成一个等腰(含等边)三角形, 先考虑等边三角形情况, 则 a=b=c=1,2,3,4,5,6,7,8,9,此时 n 有 9 个, 再考虑等腰三角形情况,若 a,b 是腰,则 a=b, 当 a=b=1 时,c<a+b=2,则 c=1,与等边三角形情况重复; 当 a=b=2 时,c<4,则 c=1,3(c=2 的情况等边三角形已经讨论了),此时 n 有 2 个; 当 a=b=3 时,c<6,则 c=1,2,4,5,此时 n 有 4 个; 当 a=b=4 时,c<8,则 c=1,2,3,5,6,7,有 6 个; 当 a=b=5 时,c<10,则 c=1,2,3,4,6,7,8,9,有 8 个; 当 a=b=6,7,8,9 时,c 各有 8 个. 由分类加法计数原理知 n 有 2+4+6+8+8+8+8+8=52(个), 同理,若 a,c 是腰时也有 52 个,b,c 是腰时也有 52 个, 所以 n 共有 9+3×52=165(个). 【加固训练】1.(2016·武汉模拟)将一个四棱锥 S-ABCD 的每个顶点染上一种颜色,并使同一条棱的两个端 点异色,如果只有 5 种颜色可供使用,那么不同的染色方法的总数是 .
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【解析】设想染色按 S-A-B-C-D 的顺序进行,对 S,A,B 染色,有 5×4×3=60(种)染色方法. 由于 C 点的颜色可能与 A 同色或不同色,这影响到 D 点颜色的选取方法数,故分类讨论: C 与 A 同色时(此时 C 对颜色的选取方法唯一),D 应与 A(C),S 不同色,有 3 种选择;C 与 A 不同色时,C 有 2 种可选择的颜色,D 也有 2 种颜色可供选择.从而对 C,D 染色有 1×3+2×2=7(种)染色方法. 由分步乘法计数原理,总的染色方法有 60×7=420(种). 答案:420 【一题多解】本题还可以用以下方法求解 根据所用颜色种数分类可分三类: 第一类:用三种颜色,此时 A 与 C,B 与 D 分别同色,问题相当于从 5 种颜色中选 3 种涂三个点.共错误!未找 到引用源。=60(种)涂法; 第二类:用 4 种颜色,此时 A 与 C,B 与 D 中有且只有一组同色,涂法种数为 2 错误! 未找到引用源。 =240(种); 第三类:用 5 种颜色,涂法种数共有错误!未找到引用源。=120(种). 综上可知,满足题意的染色方法总数为 60+240+120=420(种). 答案:420 2.用红、黄、蓝三种颜色去涂图中标号为 1,2,?,9 的 9 个小正方形(如图),使得任意相邻(有公共边)的小 正方形所涂颜色都不相同 , 且标号为 1,5,9 的小正方形涂相同的颜色 , 则符合条件的所有涂法共有 种.

1

2

3

4

5

6

7

8

9

【解析】把区域分为三部分,第一部分 1,5,9,有 3 种涂法.第二部分 4,7,8,当 5,7 同色时,4,8 各有 2 种涂 法,共 4 种涂法;当 5,7 异色时,7 有 2 种涂法,4,8 均只有 1 种涂法,故第二部分共 4+2=6 种涂法.第三部分 2,3,6 与第二部分一样,共 6 种涂法.由分步乘法计数原理,可得共有 3×6×6=108(种)涂法. 答案:108 4.(12 分)给程序命名,需要用 3 个字符,其中首字符要求用字母 A~G 或 U~Z,后两个要求用数字 1~9.问最
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多可以给多少个程序命名? 【解题提示】要给一个程序命名,可以分三个步骤:第 1 步,选首字符;第 2 步,选中间字符;第 3 步,选最后 一个字符.而首字符又可以分为两类. 【解析】先计算首字符的选法.由分类加法计数原理,首字符共有 7+6=13 种选法. 再计算可能的不同程序名称.由分步乘法计数原理,最多可以有 13×9×9=1053 个不同的名称,即最多可以 给 1053 个程序命名. 5.(13 分)(2016· 邵阳模拟)某小组有 10 人,每人至少会英语和法语中的一门,其中 8 人会英语,5 人会法语. (1)从中任选一个会外语的人,有多少种选法? (2)从中选出会英语与会法语的各 1 人并安排到相应工作岗位,有多少种不同的安排方法? 【解析】由于 8+5=13>10,所以 10 人中必有 3 人既会英语又会法语,5 人只会英语,2 人只会法语. (1)可分类完成此事:一类是只会英语,一类是既会英语也会法语,一类是只会法语,共有 5+3+2=10(种). (2)分 4 类,共有 N=5×2+5×3+2×3+3×2=37(种)方法.

-7-



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