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2018版高中数学第一章立体几何初步1.1.6棱柱棱锥棱台和球的表面积课件


阶 段 一

阶 段 三

1.1.6
阶 段 二

棱柱、棱锥、棱台和球的表面积
学 业 分 层 测 评

1.理解棱柱、棱锥、棱台和球的表面积的概念,了解它们的侧面展开图.(重 点) 2.掌握直棱柱、正棱锥、正棱台的表面积公式,并会求它们的表面积.(重点) 3.了解球的表面积公式,会运用公式求球的表面积.(重点) 4.组合体的表面积计算.(难点)

[基础· 初探] 教材整理 1 棱柱、棱锥、棱台的表面积

阅读教材 P25~P26“倒数第 5 行”以上内容,完成下列问题. 棱柱、棱锥、棱台是由多个平面图形围成的多面体,它们的表面积就是各 个面的面积和 .

判断(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)多面体的表面积等于各个面的面积之和.( ) ) )

(2)棱台的侧面展开图是由若干个等腰梯形组成的.(

(3)沿不同的棱将多面体展开,得到的展开图相同,表面积相等.(

【解析】 (1)正确.多面体的表面积等于侧面积与底面积之和. (2)错误.棱台的侧面展开图是由若干个梯形组成的,不一定是等腰梯形. (3)错误.由于剪开的棱不同,同一个几何体的表面展开图可能不是全等形 . 但是,不论怎么剪,同一个多面体表面展开图的面积是一样的.

【答案】 (1)√ (2)× (3)×

教材整理 2

圆柱、圆锥、圆台和球的表面积

阅读教材 P26“倒数第 3 行”~P27“例 1”以上内容,完成下列问题. 1.圆柱、圆锥、圆台的表面积公式 几何体 侧面展开图 表面积公式 S 圆柱=2πr(r+l), 圆柱 r 为 底面半径 , l 为 侧面母线长

S 圆锥=πr(r+l), 圆锥 r 为 底面半径, l 为侧面母线长 S 圆台=π(r′2+r2+r′l+rl), 圆台 r′为上底面半径, r 为下底面半径 , l 为侧面母线长

2.球的表面积
2 球的表面积公式 S 球= 4πR

.

1.将边长为 1 的正方形以其一边所在直线为旋转轴旋转一周, 所得几何体的 侧面积是( A.4π C.2π ) B.3π D.π

【解析】 所得旋转体为圆柱,圆柱的底面圆半径为 1,高为 1,侧面积 S =2πrh=2π×1×1=2π.故选 C.
【答案】 C

2.已知两个球的半径之比为 1∶2,则这两个球的表面积之比为( A.1∶2 C.1∶6 B.1∶4 D.1∶8

)

?R1?2 ?1?2 1 S1 4πR2 1 【解析】 S =4πR2=?R ? =?2? =4. ? 2? ? ? 2 2

【答案】 B

[小组合作型]
求棱柱、棱锥、棱台的表面积
已知正四棱锥底面边长为 4,高与斜高夹角为 30° .求它的侧面积和 表面积.

【精彩点拨】

根据多面体的侧面积公式,可以先求出相应多面体的底面

边长和各侧面的斜高,进而由公式求解.

【自主解答】

如图所示,设正四棱锥的高为 PO,斜高为 PE,底面边心

距为 OE,它们组成一个直角三角形 POE. 4 ∵OE=2=2,∠OPE=30° ,

2 OE ∴PE=sin 30° =1=4. 2 1 1 ∴S 正四棱锥侧=2ch′=2×(4×4)×4=32, S 表面积=42+32=48. 即该正四棱锥的侧面积是 32,表面积是 48.

1.要求锥体的侧面积及表面积,要利用已知条件寻求公式中所需的条件,一 般用锥体的高、斜高、底面边心距等量组成的直角三角形求解相应的量. 2.空间几何体的表面积运算,一般是转化为平面几何图形的运算,往往通过 解三角形来完成.

[再练一题]

1.某几何体的三视图如图 1188 所示,则该几何体的表面积为(

)

图 1188

A.180

B.200

C.220

D.240

【解析】

由三视图知识知该几何体是底面为等腰梯形的直四棱柱.

等腰梯形的上底长为 2,下底长为 8,高为 4,腰长为 5,直四棱柱的高为 1 10,所以 S 底=2×(8+2)×4×2=40,S 侧=10×8+10×2+2×10×5=200,S 表 =40+200=240,故选 D.
【答案】 D

求圆柱、圆锥、圆台的表面积 XXX

如图 1189 所示,已知直角梯形 ABCD,BC∥AD,∠ABC=90° , AB=5 cm,BC=16 cm,AD=4 cm.求以 AB 所在直线为轴旋转一周所得几何体 的表面积. 【导学号:45722026】

图 1189

【精彩点拨】

选择表面积公式 分析几何体的形状 ―――――――→ 求表面积

【自主解答】 以 AB 所在直线为轴旋转一周所得几何体是圆台,其上底半 径是 4 cm,下底半径是 16 cm,母线 DC= 52+?16-4?2=13 (cm). ∴该几何体的表面积为 π(4+16)×13+π×42+π×162=532π(cm2).

1.圆柱、圆锥、圆台的相关几何量都集中体现在轴截面上,因此准确把握轴 截面中的相关量是求解旋转体表面积的关键. 2.棱锥及棱台的表面积计算常借助斜高、侧棱及其在底面的射影与高、底面 边长等构成的直角三角形(或梯形)求解.

[再练一题] 2.在本例题题设条件不变的情况下,求以 BC 所在直线为轴旋转一周所得几 何体的表面积.

【解】 如图所示:

以 BC 所在直线为轴旋转一周所得几何体是圆柱和圆锥的组合体,

其中圆锥的高为 16-4=12(cm),圆柱的母线长为 AD=4 cm,故该几何体 的表面积为: 2π×5×4+π×52+π×5×13=130π(cm2).

球的表面积问题

有三个球,第一个球内切于正方体,第二个球与这个正方体各条棱 相切,第三个球过这个正方体的各个顶点,求这三个球的表面积之比.

【精彩点拨】

本题是求三个球的表面积之比,解题的关键是得出半径之

比,可在各几何体内做出截面,找到球心,易求半径.

【自主解答】

设正方体的棱长为 a.

(1)正方体的内切球球心是正方体的中心,切点是六个面正方形的中心,经 a 2 过四个切点及球心作截面,如图①,所以有 2r1=a,r1=2,所以 S1=4πr2 = π a . 1

(2)球与正方体的各棱的切点在每条棱的中点,过球心作正方体的对角面得 2 2 截面,如图②,2r2= 2a,r2= 2 a,所以 S2=4πr2 2=2πa . (3)正方体的各个顶点在球面上,过球心作正方体的对角面得截面,如图③, 3 2 所以有 2r3= 3a,r3= 2 a,所以 S3=4πr2 3=3πa .
综上可得 S1∶S2∶S3=1∶2∶3.

1.在处理球和长方体的组合问题时, 通常先作出过球心且过长方体对角面的 截面图,然后通过已知条件求解. 2.球的表面积的考查常以外接球的形式出现, 可利用几何体的结构特征构造 熟悉的正方体,长方体等,通过彼此关系建立关于球的半径的等式求解.

[再练一题] 3.一个三棱锥的三视图是三个直角三角形,如图 1190 所示,则该三棱锥的 外接球的表面积为( )

图 1190

A.29π

B.28π

C.25π

D.26π

【解析】 由三视图得直观图如图,三棱锥 OABC 中 OA,OB,OC 两两垂 直,OA=3,OC=4,OB=2,可看作是长方体从同一顶点出发的三条棱长,长 方体的对角线,即为球的直径,长为 32+42+22,

? 29?2 29 ? 故外接球半径为 2 ,外接球的表面积 S 球=4π? ? 2 ? =29π. ? ?

【答案】 A

[探究共研型]
与三视图有关的表面积
探究 1 一个几何体的三视图如图 1191 所示, 请说出该几何体的结构特征.

图 1191

【提示】 形.

由所给三视图可知该几何体为一个三棱柱,且底面为直角三角

探究 2 试根据图中数据求该几何体的表面积.
【提示】 三棱柱底面三角形的直角边长分别为 3 和 4,斜边长为 5,三棱 柱的高为 5,如图所示,所以表面积为
?1 ? 2?2×3×4?+(3+4+5)×5=72. ? ?

探究 3 已知几何体的三视图,如何求几何体的表面积?

【提示】

首先根据三视图确定几何体的形状及其结构特征,再根据相应

的表面积公式计算.

已知某几何体的三视图如图 1192(单位:cm). (1)画出这个几何体的直观图(不要求写画法); (2)求这个几何体的表面积. 【导学号:45722027】

图 1192

【精彩点拨】

由三视图确定几 选择表面积 → 何体的形状 公式求解

【自主解答】

(1)这个几何体的直观图如图所示.

(2)这个几何体可看成是正方体 AC1 及三棱柱 B1C1Q—A1D1P 的组合体. 由 PA1=PD1= 2,A1D1=AD=2, 可得 PA1⊥PD1. 故所求几何体的表面积 1 S=5×2 +2×2× 2× 2+2× 2×2=22+4 2(cm2).
2

1.由三视图转化为直观图在解题中起到关键作用, 在转化过程中注意图中各 个数据的对应关系. 2.在求几何体的表面积时,要搞清几何体的结构特征,注意分割、拼补的技 巧,注意转化与化归思想应用.

[再练一题] 4.某几何体的三视图如图 1193 所示,它的表面积为( )

A.32π

B.48π

图 1193 C.33π

D.24π

【解析】

由三视图可知,该几何体是一个半球和一个圆锥的组合体 S=

2π×32+π·3·5=33π.

【答案】 C

1.一个几何体的三视图如图 1194 所示,该几何体的表面积是(

)

A.372

B.360

图 1194 C.292 D.280

【解析】

该几何体由两个长方体组合而成,其表面积等于下面长方体的

全面积与上面长方体的四个侧面积之和. S=2(10×8+10×2+8×2)+2(6×8+8×2)=360.故选 B.

【答案】 B

2.一个圆柱的侧面展开图是一个正方形, 则这个圆柱的表面积与侧面积之比 为( ) 1+2π A. 2π 1+2π C. π 1+4π B. 4π 1+4π D. 2π

【解析】 设圆柱的底面半径为 r,高为 h,则有 h=2πr,所以表面积与侧 面积的比为 2π(r2+rh)∶2πrh=(r+h)∶h=(2π+1)∶2π.
【答案】 A

3.一个圆柱和一个圆锥的轴截面分别是边长为 a 的正方形和正三角形, 则它 们的表面积之比为________.

【解析】 S S

?a?2 ?a? 3 2 ? ? ? ? +2π· 2 · a=2πa , 圆柱=2·π 2 ? ? ? ?

?a?2 3 2 a ? ? +π·2· a=4πa ,∴S 圆锥=π 2 ? ?

圆柱

∶S 圆锥=2∶1.

【答案】 2∶1

4.如图 1195 所示, 圆台的上、 下底半径和高的比为 1∶4∶4, 母线长为 10, 则圆台的侧面积为________.

图 1195

【解析】 设圆台的上底半径为 r,则下底半径为 4r,高为 4r. 由母线长为 10 可知 10= ?3r?2+?4r?2=5r, ∴r=2. 故圆台的上、下底面半径和高分别为 2,8,8. 所以圆台的侧面积为 π(2+8)×10=100π.
【答案】 100π

5.已知一圆锥的侧面展开图为半圆,且面积为 S,求圆锥的底面面积. 【导学号:45722028】

【解】

如图,设圆锥底面半径为 r,母线长为 l, π2 ? ? l =S, 由题意得?2 ? ?πl=2πr.
解得 r= S 2π,
2

S S 所以底面积为 πr =π×2π=2. S ∴圆锥的底面面积为2.



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