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4.3空间直角坐标系


解析几何
4. 3空间直角坐标系 空间直角坐标系
江苏如东马塘中学 轻水长天

数轴上的点
B -2 -1 O 1 A 2 3 x

数轴上的点可以用 唯一的一个实数 一个实数表示 唯一的一个实数表示

平面坐标系中的点
y y P (x,y) 平面中的点可以用 有序实数对 实数对(x, 有序实数对 ,y) 来表示点

O

x

x

在教室里同学们的位置坐标
O
讲台

y

x

教室里某位同学的头所在的位置
z

y O

x

空间直角坐标系 —Oxyz
z
1

竖轴

纵轴

o
1

1

y
右手直角坐标系

x

横轴

空间中点的坐标
?? ? 空间的点 ←? → 有序数组 ( x , y , z ) 1? ?1

z
R

M ( x, y , z )

o x
P

Q

y

空间中点的坐标(方法二) 空间中点的坐标(方法二)
z
R (0, 0, z )
? M ( x, y , z )

y
o (0, 0, 0)
Q (0, y, 0)
A ( x, y , 0)

x

P ( x, 0, 0)

P147 例1
z
2 D '(0, 0, 2)

C'
B'
? 4, 2) (3,

A'

4

y

o
3

C (0, 4, 0)
B (3, 4, 0)

x A (3, 0, 0)

z

P147 例2

o
y
x

P147 例2
z

o
y
x

P148 练习 2.
z
3 D ' (1.5, 2,3)

C'
? 4,3) (3,

A'

P

B'
2
1.5

4

y

o
B

3

C (0, 4, 0)

x A

对称点
横坐标相反, 横坐标相反, 纵坐标不变。 纵坐标不变。

y y0 P (x0,y0) x0 x

P2 (-x0 ,y0)

-x0

O

P3 (-x0 , -y0) -y0
横坐标相反, 横坐标相反, 纵坐标相反。 纵坐标相反。

P1 (x0 , -y0)
横坐标不变, 横坐标不变, 纵坐标相反。 纵坐标相反。

空间对称点
P3 (?1, ?1,1)

z
P(1,1,1)

o
y
x

P2 (?1,1, ?1)
P (1, ?1, ?1) 1

对称点
一般的P(x , y , z) 关于: 一般的 关于: ( x, ? y , ? z ) 轴对称的点P (1)x轴对称的点 1为__________; ) 轴对称的点 ( ? x, y , ? z ) (2)y轴对称的点P2为__________; 2)y轴对称的点P 轴对称的点 ( ? x, ? y , z ) 轴对称的点P (3)z轴对称的点 3为__________; ) 轴对称的点

关于谁对称谁不变

空间点到原点的距离
z
| BP |=| z |
? P ( x, y , z )

| OB |= x 2 + y 2

y
o
x A
B

C

| OP |= x 2 + y 2 + z 2

两点间距离公式
平面: P P2 |= ( x1 ? x2 ) + ( y1 ? y2 ) | 1
2 2

类比

猜想

空间: P P2 |= ( x1 ? x2 ) + ( y1 ? y2 ) + ( z1 ? z2 ) | 1
2 2

2

练习
P150 练习 1.(只求距离) (只求距离)

(1) | AB |= 6 (2) | AB |= 70

1 证 M , ,) M ,, ) M , , ) 例 求 以 1(431 、 2(712 、 3(523 点 顶 的 角 是 个 腰 角 . 三 为 点 三 形 一 等 三 形
解 M 1 M 2 = (7 ? 4)2 + (1 ? 3)2 + ( 2 ? 1)2 = 14,
2

M 2 M 3 = (5 ? 7)2 + ( 2 ? 1)2 + ( 3 ? 2)2 = 6,
2

M 3 M1 =
2

(4 ? 5)2 + ( 3 ? 2)2 + (1 ? 3)2 = 6,
原结论成立. 原结论成立

∴ M 2 M 3 = M 3 M1 ,

轴上, , ) 例 2 设P x 在 轴上,它到 P(0 2 3 的距离 1 , 的坐标. 为到点 P(01? )的距离的两倍, 求点 P 的坐标 2 , , 1 的距离的两倍,
解 因为 P 在 x 轴上, P点坐标为 ( x ,0,0), 轴上, 点坐标为 设

PP1 = x 2 + ( 2 )2 + 3 2 = x 2 + 11, PP2 = x + (? 1) + 12 = x 2 + 2 ,
2 2

Q PP1 = 2 PP2 , ∴ x 2 + 11 = 2 x 2 + 2
? x = ±1,
所求点为 (1,0,0), ( ?1,0,0).



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