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高二数学 推理与证明 经典习题


1.已知

p 是 q 的充分不必要条件,则 ? q 是 ? p 的(

) (D) 既不充分也不必要条件

(A) 充分不必要条件

(B) 必要不充分条件(C) 充要条件

2.设 a、b、c 都是正数,则 a ? A、都大于 2 3.在△

1 1 1 , b ? , c ? 三个数( b c a

) D、至少有一个不小于 2 )

B、至少有一个大于 2

C、至少有一个不大于 2

ABC 中, A, B, C 所对的边分别为 a, b, c ,且
(B)

a b ? ,则△ ABC 一定是( cos A cos B
(D) 等腰直角三角形

(A) 等腰三角形 4.已知函数

直角三角形 (C)等边三角形

y ? f ( x ) 的定义域为 D ,若对于任意的 x1 , x2 ? D( x1 ? x2 ) ,都有

f(


x1 ? x2 f ( x1 ) ? f ( x2 ) )? ,则称 y ? f ( x ) 为 D 上的凹函数.由此可得下列函数中的凹函数为 2 2


(A)

y ? log 2 x

(B)

y? x

(C)

y ? x2

(D)

y ? x3

5.给定正整数 n(n≥2)按下图方式构成三角形数表;第一行依次写上数 1,2,3,?,n,在下面一行的每 相邻两个数的正中间上方写上这两个数之和,得到上面一行的数(比下一行少一个数) ,依次类推,最后一 行(第 n 行)只有一个数.例如 n=6 时数表如图所示,则当 n=2 007 时最后一行的数是( )

(A)251×22 007

(B)2 007×22 006

(C)251×22 008

(D)2 007×22 005

6.如图,坐标纸上的每个单元格的边长为 1,由下往上的六个点:1,2,3,4,5,6 的横、纵坐标分别对 应数列{an}(n∈N*)的前 12 项 (即横坐标为奇数项, 纵坐标为偶数项)按如此规律下去,则 a2 009+a2 010+a2 , 011 等于( )

(A)1 003

(B)1 005

(C)1 006

(D)2 011

7.对于等差数列

?an ?有如下命题:“若 ?an ?是等差数列, a1 ? 0 , s、t 是互不相等的正整数,则有

(s ? 1 at ? t ? 1 as ? 0 ”。类比此命题,给出等比数列 ?bn ? 相应的一个正确命题是: ) ( )
“________________________”。 8.如果△A1B1C1 的三个内角的余弦值分别等于△A2B2C2 的三个内角的正弦值,则△A1B 1C1 是 角形,△A2B2C2 是 三角形.(用“锐角”、“钝角”或“直角”填空) 三

9.在直角三角形 ABC 中,两直角边分别为 a、 b ,设 h 为斜 边上的高,则 三棱锥 S

1 1 1 ? 2 ? 2 2 h a b

,由此类比:

? ABC 的三个侧棱 SA、SB、SC 两两垂直,且长分别为 a、b、c ,设棱锥底面 ABC 上
.

的高为 h ,则 10.观察下表: 1, 2,3 4,5,6,7

8,9,10,11,12,13,14 ,15, ?? 问: (1)此表第 n 行的最后一个数是多少? (2)此表第 n 行的各个数之和是多少? (3)2010 是第几行的第几个数? (4)是否存在 n∈N*,使得第 n 行起的连续 10 行的所有数之和为 227-213-120?若存在,求出 n 的值;若 不存在,请说明理由. 11. 已知数列 , ?an ? :a1 ? 1,a2 ? 2 ,a3 ? r ,an?3 ? an ? 2( n 是正整数) 与数列 ?bn ? :b1 ? 1 ,

.记 b2 ? 0 , b3 ? ?1 , b4 ? 0 , bn?4 ? bn ( n 是正整数) Tn ? b1a1 ? b2a2 ? b3a3 ? ? ? bn an . (1)若 a1 ? a2 (3)已知 r (2)求证:当 n 是正整数时, T12 n ? ?4n ; ? a3 ? ? ? a12 ? 64 ,求 r 的值;

? 0 ,且存在正整数 m ,使得在 T12 m?1 , T12 m ? 2 ,? ,T12m?12 中有 4 项为 100.求 r 的值,

并指出哪 4 项为 100. 12.已知数列

?an ?, an ? 0 , a1 ? 0 , an?12 ? an?1 ? 1 ? an 2 (n ? N ? ) .记
1 1 1 ? ??? . 求 1 ? a1 (1 ? a1 )(1 ? a 2 ) (1 ? a1 )(1 ? a 2 ) ?(1 ? an )

T S n ? a1 ? a2 ? ? ? an . n ?
证:当 n ? N 时, (Ⅰ) a n
?

(Ⅱ) S n ? n ? 2 ; (Ⅲ) Tn ? 3 。 ? an?1 ;


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