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湖北省武汉市吴家山中学高一数学必修四同步辅导 2.5平面向量应用举例

第五节
学点:探究与梳理

平面向量应用举例

自主探究
探究问题一:物理中哪些量为向量? 探究问题二 :平行四边形两条对角线与四条边具有什么样的关系? 探究问题三:向量在物理中哪些方面有广泛的应用?

重点把握
1.向量在平面几何中的应用 ( 1)证 明 线 段 平 行 问 题 (包 括 相 似 问 题) 常 用 向量 平 行 ( 共 线 ) 的 等 价条 件 : ,

a / /b(b ? 0) ? a ? ?b ? x1 y2 ? x2 y1 ? 0 .
(2)证明垂直问题,如证明四边形是矩形,正方形等,常用向量垂直的等价条件:

a ? b ? a ? b ? 0 ? x1x2 ? y1 y2 ? 0 .
(3)求夹角问题,往往利用向量的夹角公式: cos ? ?

x1 x2 ? y1 y2 a?b . ? 2 2 2 | a |?| b | x1 ? y12 x2 ? y2

(4)求线段的长度或证明线段相等,可以利用向量的线性运算、向量模 的公式等. 2.向量方法在物理中的应用 (1)力、速度、加速度、位移都是向量;(2) 力、速度、加速度、位移的合成与分解就是 向量的加减运算, 运动的叠加亦用到向量的合成 ; (3)动量 mv 是数乘向量; (4)功即是力 F 与 所产生位移 s 的数量积.

题例:解析与点拨

b 例 1 设 a 、 b 、 c 是单位向量,且 a · =0,则
A. ?2 解析: B. 2 ? 2 C. ?1

? a ? c ? ? ?b ? c ? 的最小值为
D. 1 ? 2

(

)

? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? 2 ? ? ?? b c ? a, b, c 是单位向量? a ? c ? b ? c ? a? ? (a ? b)? ? c

? ? ? ? ? ? ? 1? | a ? b |? c |? 1 ? 2 cos ? a ? b, c ?? 1 ? 2 ,故选 D. |
b c 变式训练 1: a、 、 为同一平面内具有相同 起点的任意三个非零向量, 设 且满足 a 与

?

??

?

1

b 不共线, a ? c , | a |?| c | ,则 | b ? c | 的值一定等于(



A.以 a、 b 为邻边的平行四边形的面积 B.以 b 、 c 为两边的三角形面积 C.以 a、 b 为两边的三角形面积 例 2 D.以 b 、 c 为邻边的平行四边形的面积

已 知 ?A B C的 三 个 顶 点 A(0,-4),B(4,0),C(-6,2) , 点 D、 E、 F分 别 为 边

BC、CA、AB 的中点.(1)求直线 DE、EF、FD 的方程;(2)求 AB 边上的高线 CH 所在
的直线方程. 解析:由中点坐标公式,可得 D(-1,1)、E(-3,-1)、F(2,-2) ,设 P( x, y ) 为

DE 上任意一点, 求直线 DE 的方程即求 P 点的横坐标 x 与 P 点的纵坐标 y 之间的关系式. 由

??? ? ??? ? DP=(x ?1, y ?1),DE ? (?2, ?2) 共线可知,?2( x ? 1) ? 2( y ? 1) ,于是可求得直线 DE 的方
程为: x ? y ? 2 ? 0 ,同理可得直线 EF、FD 的方程分别为: x ? 5 y ? 8 ? 0, x ? y ? 0 . 点拨:直线方程可通过向量共线确定出来. 变式训练 2:设点 O 是三角形 ABC 所在平面内的一点,满足

???? ??? ??? ??? ??? ???? ? ? ? ? OA ? OB=OB ? OC=OC ? OA ,则 O 点是 ?ABC 的( )
A.三个内角角平分线的交点 C.三条中线的交点. B.三条边的垂直平分线的交点. D.三条高线的交点.

点拨:若两个非零向量的数量积为 0,则两向量互相垂直. 例 3 一质点受到平面上的三个力 F1 , F2 , F3 (单位:牛顿)的作用而处于平衡状态.已 知 F1 , F2 成 60 角,且 F1 , F2 的大小分别为 2 和 4,则 F3 的大小为( A.6 B.2 C. 2 5 D. 2 7
0

)

解析: F32 ? F12 ? F22 ? 2F1 F2 cos( 1800 ? 600 ) ? 28,所以 F3 ? 2 7 ,选 D. 变式训练 3: 在风速为 75 6 - 2) km/h 的西风中,飞机以 ( 150km/h 的航速向西北方向飞行,求没有风时飞机的航速和航向.

学业水平测试

巩固基础
1.共点力 F1 =(lg2,lg2),F2 =(lg5,lg2) 作用在物体 M 上,产生位移 s ? (2lg 5,1) ,则共
2

点力对物体做的功 W 为( ) A. lg 2 B. lg 5 C.1 D.2

2.用力 F 推动一物体水平运动 s m,设 F 与水平面的夹角为 ? ,则对物体所做的功为 ( ) A. F ? s B. F cos ? ? s C. F sin ? ? s D. F cos ? ? s

3.若 a ? (? , 2), b ? (?3,5) ,且 a 与 b 的夹角是钝角,则 ? 的取值范围是( )

A. (

10 ,+? ) 3

B. ?

?10 ? ,+? ? ?3 ?

C. (-?, )

10 3

D. ? -?, ?

? ?

10 ? 3?

4.已知 | p |? 2 2,| q |? 3 , p , q 夹角为 行四边形的一条对角线长为( ) A. 15 B. 15

? ,则以 a ? 5p ? 2q ,b ? p ? 3q 为邻边的平 4

C. 14

D. 16

5.在 ?ABC 中, AB=2,AC=3 , D 是边 BC 的中点,则 AD ? BC= __________. 6.已知向量 a ? (1,1), b ? (2, ?3) ,若 ka ? 2b 与 a 垂直,则实数 k ? _________.

???? ??? ?

能力提升
7.若 O 是 ?ABC 所在平面内一点,且 |OB-OC|=|OB+OC-2OA| 满足,则 ?ABC 的形 状是( ) A.等腰非直角三角形 C.等腰直角三角形 B.直角非等腰三角形 D.等边三角形

??? ??? ??? ??? ???? ? ? ? ?

8.已知点 A( 3,1),B(0,0),C( 3,0) ?BAC 的平分线 AE 与 BC 相交于 E ,若 ,设

??? ? ??? ? BC=? CE,则 ? 等于( )
1 3 ??? ??? ? ? ??? ??? ? ? ? ??? ??? ? ? AB AC ??? AB AC 1 ? ? ? ? 9.已知非零向量 AB 与 AC 满足 ??? + ??? )BC=0 且 ??? ? ??? = ,则 ?ABC 为 ( ? |AB| |AC| |AB| |AC| 2
A. 2 B. C.-3 D. ? ( ) A.等边三角形 C.等腰非等边三角形 B.直角三角形 D.三边均不相等的非直角三角形

1 2

3

10 . 已 知 平 面 上 三 点 A、B、C 满 足 | A B | = 3 , | B C, = 4 , | C A | = 5 | 则

? ? ??

? ? ??

? ? ??

? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? 的值等于______________. A B B C + B C C? A + C A A B ? ?
11.设平面上四个互异的点 A、B、C、D ,已知 DB+DC-2DA ? (AB-AC)=0 ,则 ( )

??? ??? ???? ? ?

??? ??? ? ?

?ABC 的形状一定是_____________.

拓展创新
12.设函数 f ( x) ? a ? (b ? c) ,其中向量 a ? (sin x, ? cos x) , b ? (sin x, ?3cos x)

c ? (? cos x,sin x) , x ? R . (Ⅰ)求函数 f ( x ) 的最小正周期和最大值;
(Ⅱ)将函数 f ( x ) 的图像按向量 d 平移,使平移后得到的图像关于坐标原 点成中心对称, 求长度最小的 d . 13. 如图,在 Rt△ABC 中,已知 BC= a ,若长为 2a 的线段 PQ 以点 A 为中点,问 PQ BC 的夹角 θ 取何值时 BP? CQ 的值最大?并 与 求出这个最大值.

自主发展
本节内容主 要是利用向量的方法解决平面几何中的平行、垂直、夹 角与距离问题以及 解决平面解析几何中有关直线问题的过程, 体会解析法与向量法的区别与联系, 培养应用所 学知识灵活解决问题的能力.

4

第五节答案
自主探究: 1.力,速度,加速度,位移等. 2.平行四边形两条对角线平方和等于四条边平方和,可以通过向量的方法得以证明. 3.在物理中涉及到力,速度,加速度,位移的合成与分解,以及动量,功都可以通过 平面向量的运算解决. 变式训练: 1.A;2.D;3.没有风时飞机的航速为 150 2km / h ,航向 为北偏西 60 . 学业水平测试: 1.D;2.D;3.A;4.A;5. 11.等腰三角形; 12. (Ⅰ)f(x)= 2+ 2 sin(2x+ (Ⅱ) d =(-
0

5 ;6. -1 ;7.B;8.C;9.A;10.-25; 2

? ,-2) . 8
????

3? ).f(x)的最小正周期是 ? ,最大值为 2+ 2 . 4

13.解 析:? AB ? AC,? AB ? AC ? 0 ,
??? ? ???? ??? ??? ??? ??? ???? ???? ? ? ? ? ? AP ? ? AQ, BP ? AP ? AB, CQ ? AQ ? AC , ??? ??? ? ? ??? ??? ???? ???? ? ? ??? ???? ??? ???? ??? ???? ??? ???? ? ? ? ? ? BP ? CQ ? ( AP ? AB) ? ( AQ ? AC ) ? AP ? AQ ? AP ? AC ? AB ? AQ ? AB ? AC

??? ?

??? ???? ?

??? ???? ??? ??? ? ? ? ??? ??? ???? ? ? ? ? 1 ??? ??? ? ?a3 ? AP ? AC ? AB ? AP ? ?a 2 ? AP ? ( AB ? AC ) ? ?a 2 ? PQ ? BC ? ?a 2 ? a 2 cos? . 2 ???? ???? ? ? ???? ???? ? 故当cos? ? 1,即? ? 0(PQ与BC方向相同)时, BP ? CQ最大其最大值为0 . .

自主发展:向量法是解决几何问题的一种重要方法.

5


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