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高考数学(理)热点《函数与导数》 (2)


函数与导数 热点一 利用导数研究函数的性质 利用导数研究函数的单调性、极值、最值是高考的热点问题之一,每年必考,一般 考查两类题型:(1)讨论函数的单调性、极值、最值,(2)利用单调性、极值、最值求 参数的取值范围. 【例 1】已知函数 f(x)=ln x+a(1-x). (1)讨论 f(x)的单调性; (2)当 f(x)有最大值,且最大值大于 2a-2 时,求实数 a 的取值范围. 解 1 (1)f(x)的定义域为(0,+∞),f′(x)= x-a. 若 a≤0,则 f′(x)>0,所以 f(x)在(0,+∞)上单调递增. 1? ? 若 a>0,则当 x∈?0,a?时,f′(x)>0; ? ? ?1 ? 当 x∈?a,+∞?时,f′(x)<0, ? ? 1? ? ?1 ? 所以 f(x)在?0,a?上单调递增,在?a,+∞?上单调递减. ? ? ? ? 综上,知当 a≤0 时,f(x)在(0,+∞)上单调递增; 1? ? ?1 ? 当 a>0 时,f(x)在?0,a?上单调递增,在?a,+∞?上单调递减. ? ? ? ? (2)由(1)知,当 a≤0 时,f(x)在(0,+∞)上无最大值; 1 当 a>0 时,f(x)在 x=a处取得最大值, 1? 1 ?1? ? 最大值为 f?a?=ln a+a?1-a?=-ln a+a-1. ? ? ? ? ?1? 因此 f?a?>2a-2 等价于 ln a+a-1<0. ? ? 令 g(a)=ln a+a-1,则 g(a)在(0,+∞)上单调递增,g(1)=0. 于是,当 0<a<1 时,g(a)<0; 当 a>1 时,g(a)>0. 因此,实数 a 的取值范围是(0,1). 【类题通法】(1)研究函数的性质通常转化为对函数单调性的讨论,讨论单调性要先 求函数定义域,再讨论导数在定义域内的符号来判断函数的单调性. (2)由函数的性质求参数的取值范围,通常根据函数的性质得到参数的不等式,再解 出参数的范围.若不等式是初等的一次、二次、指数或对数不等式,则可以直接解不 等式得参数的取值范围;若不等式是一个不能直接解出的超越型不等式时,如求解 ln a+a-1<0,则需要构造函数来解. 【对点训练】 已知 a∈R,函数 f(x)=(-x2+ax)ex(x∈R,e 为自然对数的底数). (1)当 a=2 时,求函数 f(x)的单调递增区间; (2)若函数 f(x)在(-1,1)上单调递增,求实数 a 的取值范围. 解 (1)当 a=2 时,f(x)=(-x2+2x)ex, 所以 f′(x)=(-2x+2)ex+(-x2+2x)ex =(-x2+2)ex. 令 f′(x)>0,即(-x2+2)ex>0,因为 ex>0, 所以-x2+2>0,解得- 2<x< 2. 所以函数 f(x)的单调递增区间是(- 2, 2). (2)因为函数 f(x)在(-1,1)上单调递增, 所以 f′(x)≥0 对 x∈(-1,1)都成立, 因为 f′(x)=(-2x+a)ex+(-x2+ax)ex =[-x2+(a-2)x+a]ex, 所以[-x2+(a-2)x+a]ex≥0 对 x∈(-1,1)都成立. 因为 ex>0,所以-x2+(a-2)x+a≥0 对 x∈(-1,1)都成立, 即 a≥ x2+2x (x+1)2-1 = x+1 x+1 1 对 x∈(-1,1)都成立. x+1 =(x+1)- 令 y=(x+1)- 1 1 ,则 y′=1+ >0. x+1 (x+1)2 1 在(-1,1)上单调递增, x+1 所

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