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2018年北京市门头沟一模文科数学试题及答案


门头沟区 2018 年高三综合练习(一) 数 学 ( 文 )
项中,只有一项是符合题目要求的.) 1. 设全集 U ? A. {0,4} 2. 复数 z 满足 A. 3 ? 2i
2018.4

一、选择题(本大题共 8 个小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选

?0,1,2,3,4,5? ,集合 A ? {1,3}, B ? {3,5} ,则 CU ( A U B) =
B. {1,5}
z ? 2 ? 3i ,复数 z 是 i

C. {2,0,4}

D. {2,0,5}

B. ?3 ? 2i B. y ? sin x

C. ?3 ? 2i

D. 3 ? 2i

(0, ? ?) 3. 下列函数中,在区间 上为增函数的是
A. y ? x ? 1 C. y ? 2? x D. y ? log 1 ( x ? 1)
2

4.已知双曲线 C :
3 A. y ? ? x 4

x2 y 2 ? ? 1,它的渐近线的方程 16 9
4 B. y ? ? x 3

C. y ? ?

9 x 16

D. y ? ?

16 x 9

5.等差数列 {an } 中,前 n 项和为 Sn ,公差 d ? 0 ,且 S7 ? S11 ,若 a9 ? 6 ,则 a10 = A. 0 C. a10 的值不确定 B. ?6 D. a10 ? 6

6. 直线 l1 : ax ? (a ? 1) y ? 1 ? 0 , l2 : x ? ay ? 2 ? 0 ,则“ a ? ?2 ”是“ l1 ? l 2 ” A.充分不必要条件 C.充分必要条件 B. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件

7. 已知 a, b, c 分别为 ?ABC 三个内角 A, B, C 的对边,
2018 年高三综合练习(一)数学(文)试卷 1 / 12

且 (a ? b)(sin A ? sin B) ? (c ? b)sin C ,则 ?ABC 中 ? A 为 A.

?
6

B.

2? 3

C.

?
3

D.

5? 6

8. 某电力公司在工程招标中是根据技术、 商务、 报价三项评分标准进行综合评 分的,按照综合得分的高低进行综合排序,综合排序高者中标。 分值权重表如下: 总分 100% 技术 50% 商务 10% 报价 40%

技术标、商务标基本都是由公司的技术、资质、资信等实力来决定的。报价表 则相对灵活,报价标的评分方法是:基准价的基准分是 68 分,若报价每高于基 准价 1%,则在基准分的基础上扣 0.8 分,最低得分 48 分;若报价每低于基准 价 1%,则在基准分的基础上加 0.8 分,最高得分为 80 分。若报价低于基准价 15%以上(不含 15%)每再低 1%,在 80 分在基础上扣 0.8 分。 在某次招标中,若基准价为 1000(万元) 。甲、乙两公司综合得分如下表: 公司 甲 乙 技术 80 分 70 分 商务 90 分 100 分 报价

A甲 分
A乙 分

甲公司报价为 1100(万元) ,乙公司的报价为 800(万元)则甲,乙公司的综合 得分,分别是 A.73,75.4 B.73,80 C.74.6,76 D.74.6 ,75.4

二、填空题(本大题共 6 小题,每小题 5 分,满分 30 分. ) 9. 某高中校高一、高二、高三三个年级人数分别为 300,300, 400 通过分层抽样
2018 年高三综合练习(一)数学(文)试卷 2 / 12

从中抽取 40 人进行问卷调查,高三抽取的人数是
? ? ? ?


?
? ?

10. 已知两个单位向量 a , b 的夹角为 60°, c ? t a ? (1 ? t ) b ,若 b ? c ? 0 , 则t = 。

11.某几何体三视图如图 1?1 所示,则该几 何体的体积为 。

12.右图是抛物线形拱桥,当水面在 l 时,拱顶离水面 2 米, 水面宽 4 米,水位下降 1 米后,水面宽 米。

13.无穷数列 ?an ?由 k 个不同的数组成, Sn 为 ?an ?的前 n 项和.若对任意
n ? N? Sn ??2,3?,则称这个数列为“有限和数列” ,试写出一个“ k 最大的

有限和数列”



14. 已知函数 f ( x) ? 2sin(? x) ,其中常数 ? ? 0 ;若 y ? f ( x) 在 [? 增,则 ? 的取值范围 。

? 2?
4 , 3

] 上单调递

三、解答题: (本大题共 6 小题,满分 80 分.) 15. (本小题满分 13 分) 已知函数 f ( x) ? 2 3 sin x cos x ?1 ? 2 cos2 x 。
2018 年高三综合练习(一)数学(文)试卷 3 / 12

(1)求 f ( x) 的最小正周期:
? ? ?? (2)求 f ( x) 在区间 ? ? , ? 上的最大值和最小值。 ? 6 4?

16. (本小题满分 13 分) 2022 年第 24 届冬奥会将在北京举行。 为了推动我国冰雪运动的发展,京西某区 兴建了“腾越”冰雪运动基地。通过对来“腾越”参加冰雪运动的 100 员运动 员随机抽样调查,他们的身份分布如下: 注:将表中频率视为概率。 身份 人数 小学生 40 初中生 20 高中生 10 大学生 20 职工 10 合计 100

对 10 名高中生又进行了详细分类如下表: 年级 人数 高一 4 高二 4 高三 2 合计 10

(1)求来“腾越”参加冰雪运动的人员中高中生的概率; (2)根据统计,春节当天来“腾越”参加冰雪运动的人员中,小学生是 340 人, 估计高中生是多少人? (3)在上表 10 名高中生中,从高二,高三 6 名学生中随机选出 2 人进行情况 调查,至少有一名高三学生的概率是多少?

17.(本小题满分 13 分)在四棱锥 P ? ABCD 中,
AB / /CD, AB ? 2CD ? 2 BC ? 2 AD ? 4, ?DAB ? 600 , AE ? BE

P

C D

?PAD 为正三角形,且 平面PAD ? 平面ABCD 。
A E B

2018 年高三综合练习(一)数学(文)试卷 4 / 12

(1)求证: EC / / 平面PAD ; (2)求四棱锥 P ? ABCD 的体积; (3)是否存在线段 PC (端点 P, C 除外)上一点 M ,使得 DE ? AM , 若存在,指出点 M 的位置,若不存在,请明理由。

18. (本题满分 13 分)在等差数列 {an } 中, Sn 为其前 n 和,若 S6 ? 51, a5 ? 13 。 (1)求数列 {an } 的通项公式 an 及前前 n 和 Sn ; (2)若数列 {bn } 中 bn ?
1 ,求数列 {bn } 的前 n 和 Tn ; an an ?1

n为奇数 ? an , ? (3)设函数 f (n) ? ? n , cn ? f (2n ? 4)(n ? N * ) ,求数列 ?cn ? 的前 f ( ), n为偶数 ? ? 2
。 n 和 M n (只需写出结论)

x2 y 2 19. ( 本 题 满 分 14 分 ) 已 知 椭 圆 C : 2 ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) , 三 点 a b
3 P 1( 1 , 2 ) P2, 1 ? ( 2
1 3 3 C 上,且离心率为 e ? 。 , P3 ? ) , ? ( 中恰有二点在椭圆 1, ) 2 2 2

(1)求椭圆 C 的方程; (2)设 P 为椭圆 C 上任一点, A1, A2 为椭圆 C 的左右顶点, M 为 PA2 中点,
2018 年高三综合练习(一)数学(文)试卷 5 / 12

求证:直线 PA2 与直线 OM 它们的斜率之积为定值; (3)若椭圆 C 的右焦点为 F ,过 B(4, 0) 的直线 l 与椭圆 C 交于 D, E , 求证:直线 FD 与直线 FE 斜率之和为定值。
y

G A1 O

P M A2 x

20.(本题满分 14 分)已知 f ( x) ? bex ? a ln x 在 (1, f (1)) 处的切线 方程为 y ? (e ? 1) x ? 1。 (1)求 y ? f ( x) 的解析式; (2)求 y ? f ( x) 的导函数 y ? f / ( x) 的零点个数; (3)求证: f ( x) ? 2 。

门头沟区 2018 年高三综合练习(一) 数 学 ( 文 ) 评 分 标 准
选项中,只有一项是符合题目要求的。 ) 题号 答案 1 C 2 D 3 A 4 A 5 B 6 A 7 C 8 A
2018.4

一、选择题(本大题共 8 个小题,每小题 5 分,共 40 分。在每小题给出的四个

2018 年高三综合练习(一)数学(文)试卷 6 / 12

二、填空题(本大题共 6 小题,每小题 5 分,满分 30 分. ) 题号 答案 9 16 10 2 11 12 13
2,1, ?1,0, 不是无穷数列不给分

14
3 (0, ] 4

8??

2 6

三、解答题: (本大题共 6 小题,满分 80 分.) 15. (本小题满分 13 分) 已知函数 f ( x) ? 2 3 sin x cos x ?1 ? 2 cos2 x 。 (1)求 f ( x) 的最小正周期:
? ? ?? (2)求 f ( x) 在区间 ? ? , ? 上的最大值和最小值。 ? 6 4?

? 2? ? ? ……5 分 解: (1) f ( x) ? 3 sin 2 x ? cos 2 x ? 2 sin( 2 x ? ) , T ? 6 2 ? ? ? ? ? ? 2? (2) ? ? x ? ? ? ? 2 x ? ? ? ? 2 x ? ? ,………8 分 6 4 3 2 6 6 3 ? 所以,当 x ? ? 时, f ( x) min ? ?1………………………………………10 分 6 ? ? ? 当 2 x ? ? ? x ? 时, f ( x) max ? 2 ………………………………13 分 6 2 6
16. (本小题满分 13 分) 2022 年第 24 届冬奥会将在北京举行。 为了推动我国冰雪运动的发展,京西某区 兴建了“腾越”冰雪运动基地。通过对来“腾越”参加冰雪运动的 100 员运动 员随机抽样调查,他们的身份分布如下: 身份 人数 小学生 40 初中生 20 高中生 10 大学生 20 职工 10

对 10 名高中生又进行了详细分类如下表: 年级 人数 高一 4 高二 4 高三 2

注:将频率视为概率。
2018 年高三综合练习(一)数学(文)试卷 7 / 12

(1)求来“腾越”参加冰雪运动的人员中高中生的概率; (2)根据统计,春节当天来“腾越”参加冰雪运动的人员中小学生是 340 人,估 计高中生是多少人? (3)在上表 10 名高中生中,从高二,高三 6 名学生中随机选出 2 人进行情况 调查,至少有一名高三学生的概率是多少? 解:(1)设来“腾越”参加冰雪运动的人员中高中生为事件 B ,
1 …………………………………………………………3 分 10 340 40 ? ? n ? 850 , (2)春节当天来“腾越”参加冰雪运动的人数设为 n , n 100 10 ? 85 人。………………………………………………7 分 高中生为: 850 ? 100

则 P( B) ?

(3)高二这 4 人分别记为 A1 , A2 , A3 , A4 ,高三这 2 人分别记为 B1, B2 , 任取 2 人共

A1 A2 , A1 A3 , A1 A4 , A1B1 , A1B2 , A2 A3 , A2 A4 , A2 B1 , A2 B2 , A3 A4 , A3 B1 , A3 B2 , A4 B1 , A4 B2 , B1B2

15 种情况,…10 分

设事件 C 为任取 2 人中至少有 1 名高三学生,则 P (C ) ?

9 3 ? ……12 分 15 5

答:从高二,高三随机选出 2 人进行情况调查,至少有一名高三学生的概率是
3 ……13 分 5

17.(本小题满分 13 分)在四棱锥 P ? ABCD 中,
AB / /CD, AB ? 2CD ? 2 BC ? 2 AD ? 4, ?DAB ? 600 , AE ? BE

P

C D

?PAD 为正三角形,且 平面PAD ? 平面ABCD 。
A E B

(1)求证: EC / / 平面PAD ; (2)求四棱锥 P ? ABCD 的体积; (3)是否存在线段 PC (端点 P, C 除外)上一点 M ,使得 DE ? AM , 若存在,指出点 M 的位置,若不存在,请明理由。
2018 年高三综合练习(一)数学(文)试卷 8 / 12

? AE ? CD 解: (1)由题意可知, ? ,四边形 AECD 为平行四边形,…2 分 ? AE //CD
? EC / / AD ? ? EC ? 平面PAD ? EC / / 平面PAD ………………………………6 分 ? AD ? 平面PAD ?
?PAD 为正三角形, 平面PAD ? 平面ABCD , (2) 设 O 是 AD 中点, 则 PO ? AD ,

PO ? ABCD ,………………………………………………8 分
PO ? 3, S ABCD ?
1 (2 ? 4) ? 3 ? 3 3 , VP ? ABCD ? ? 3 3 ? 3 ? 3 ……10 分 3 2

(3)不存在,若 DE ? AM , 又DE ? AC ,则 DE ? PA ,又 DE ? PO , 则 DE ? PAO ? DE ? AD ,与 ?ADE ?

?
3

矛盾,故线段 PC (端点 P, C 除外)

上不存在点 M ,使得 DE ? AM ………………………13 分 如果只说出不存在,没有证明给 1 分。 18. (本题满分 13 分)在等差数列 {an } 中, Sn 为其前 n 和,若 S6 ? 51, a5 ? 13 。 (1)求数列 {an } 的通项公式 an 及前前 n 和 Sn ; (2)若数列 {bn } 中 bn ?
1 ,求数列 {bn } 的前 n 和 Tn ; an an ?1

n为奇数 ? an , ? (3)设函数 f (n) ? ? n , cn ? f (2n ? 4)(n ? N * ) ,求数列 ?cn ? 的前 f ( ), n为偶数 ? ? 2
。 n 和 M n (只需写出结论)

5? 6 d ? 2a1 ? 5d ? 17 解: (1)由题意可知, …………2 分 2 13 ? a1 ? 4d 25 ? 6a1 ?
得: a1 ? 1, d ? 3, ? an ? 3n ? 2, S n ?
3 2 n n ? ……………………6 分 2 2

2018 年高三综合练习(一)数学(文)试卷 9 / 12

(2) bn ?

1 1 1 1 ? ( ? ), (3n ? 2)(3n ? 1) 3 3n ? 2 3n ? 1
1 1 1 1 ? bn ? (1 ? ? ? ? 3 4 4 7 ? 1 1 n ? )? …………10 分 3n ? 2 3n ? 1 3n ? 1

Tn ? b1 ? b2 ?

(3) c1 ? f (2 ? 4) ? f (3) ? a3 , c2 ? f (8) ? f (1) ? a1, c3 ? f (23 ? 4) ? f (2 ?1) ? a3 ,

cn ? f (2n ? 4) ? f (2n?2 ?1) ? a2n?2 ?1 ,……,

M n ? c1 ? c2 ? c3 ?

? cn

当 n ? 1 时, M1 ? f (6) ? a3 ? 7 ,当 n ? 2, M 2 ? c1 ? c2 ? f (6) ? f (8) ? a3 ? a1 ? 8 当 n ? 3, M n ? c1 ? c2 ? c3 ?
? cn ? 8 ? 3? (2 ? 1) ? 2 ? 3? (22 ? 1) ? 2 ? 3(2n?2 ? 1) ? 2

? 8 ? 3(2 ? 22 ?


7 n ?1 ? … 13 ? 2n?2 ) ? n ? 2 ? n ? 3? 2n?1 , 所 以 M n ? ? n ?1 n?2 ?n ? 3 ? 2

x2 y 2 19. ( 本 题 满 分 14 分 ) 已 知 椭 圆 C : 2 ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) , 三 点 a b
3 P 1( 1 , 2 ) P2, 1 ? ( 2
1 3 3 C 上,且离心率为 e ? 。 , P3 ? ) , ? ( 中恰有二点在椭圆 1, ) 2 2 2

(1)求椭圆 C 的方程; (2)设 P 为椭圆 C 上任一点, A1, A2 为椭圆 C 的左右顶点, M 为 PA2 中点, 求证:直线 PA2 与直线 OM 它们的斜率之积为定值; (3)若椭圆 C 的右焦点为 F ,过 B(4, 0) 的直线 l 与椭圆 C 交于 D, E , 求证:直线 FD 与直线 FE 斜率之和为定值。 3 3 解: (1)由椭圆性质得: P 1 (1, ), P 3 ( ?1, ? ) 2 2 在椭圆上,
1 9 1 c2 1 ? ? 1(1) e ? ? ? (2) a 2 4b2 2 a2 4
A1

y

G O

P M A2 x

2018 年高三综合练习(一)数学(文)试卷 10 / 12

x2 y 2 ? 1 …4 分 得: a ? 4, b ? 3, c ? 1 ? ? 4 3
2 2 2

A , 1A O ? ( 2 ) 设 P( x0 , y0 ) 为 椭 圆 上 任 一 点 , P M ? M 2
kPA2 ? y0 y0 , kOM ? kPA1 ? x0 ? 2 x0 ? 2

O ? 2A

O /M / 1 PA ,

得: kPA2 ? kOM ?

y 20 3 ? ? ………………………………………………8 分 2 x 0 ?4 4
y

(3)设直线 l : y ? k ( x ? 4) ,设 D( x1 , y1 ), E( x2 , y2 ) 联立得:
D A1

G O F

E A2 x

? y ? k ( x ? 4) ? 2 ? (3 ? 4k 2 ) x 2 ? 32k 2 x ? 64k 2 ? 12 ? 0 ?x y2 ?1 ? ? 3 ? 4

? 32k 2 x ? x ? ? y y k[2 x1 x2 ? 5( x1 ? x2 ) ? 8] ? 1 2 3 ? 4k 2 , kFD ? kFE ? 1 ? 2 ? …10 分 ? 2 x ? 1 x ? 1 ( x ? 1)( x ? 1) 64 k ? 12 1 2 1 2 ?x x ? ? 1 2 3 ? 4k 2 ?
代入得, kFD ? kFE ?
y1 y k[2 x1 x2 ? 5( x1 ? x2 ) ? 8] ? 2 ? ? 0 …………14 分 x1 ? 1 x2 ? 1 ( x1 ? 1)( x2 ? 1)

20.(本题满分 14 分)已知 f ( x) ? bex ? a ln x 在 (1, f (1)) 处的切线 方程为 y ? (e ? 1) x ? 1。 (1)求 y ? f ( x) 的解析式; (2)求 y ? f ( x) 的导函数 y ? f / ( x) 的零点个数; (3)求证: f ( x) ? 2 解: (1) f ( x) ? be x ? a ln x ? f / ( x) ? be x ?
1 ? f / (1) ? be ? a ? e ? 1 x

f (1) ? be ? e ? b ? 1, a ? 1, f ( x) ? e x ? ln x ………………………4 分
2018 年高三综合练习(一)数学(文)试卷 11 / 12

1 1 ,设 g ( x) ? e x ? , x x 1 1 则 g / ( x) ? e x ? 2 ? 0 , g ( x) ? f / ( x) ? e x ? 在 (0, ??) 上递增, x x

(2) f ( x) ? e x ? ln x ? f / ( x) ? e x ?

1 1 1 f / (1) ? e ? 1 ? 0, f / ( ) ? e ? 2 ? 0 ,存在 ? x0 ? 1, f / ( x0 ) ? 0 ? e x0 ? ? 0 , 2 2 x0

y ? f ( x) 的导函数 y ? f / ( x) 的零点个数为 1 个。………………………8 分

(3)由(2)可知, y ? f ( x) 在 (0, x0 ) 上递减,在 ( x0 , ??) 上递增,
f ( x)min ? f ( x0 ) ? e x0 ? ln x0 ? 1 1 ? x0 ? 2 ( ? x0 ? 1) ,所以, f ( x) ? 2 …14 分 x0 2

2018 年高三综合练习(一)数学(文)试卷 12 / 12


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