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北京市朝阳外国语学校2017届高三9月月考数学试卷(解析版).doc


2016-2017 学年北京市朝阳外国语学校高三(上)9 月月考 数学试卷(文科) 参考答案与试题解析
一、选择题(共 8 小题,每小题 5 分,满分 40 分) 1.已知集合 A={1,2,3},B={x|x2<9},则 A∩B=( A.{﹣2,﹣1,0,1,2,3} C.{1,2,3} 【考点】交集及其运算. 【分析】先求出集合 A 和 B,由此利用交集的定义能求出 A∩B 的值. 【解答】解:∵集合 A={1,2,3},B={x|x <9}={x|﹣3<x<3}, ∴A∩B={1,2}. 故选:D.
2



B.{﹣2,﹣1,0,1,2}

D.{1,2}

2.若 z=4+3i,则 A.1

=(

) B.﹣1 C. + i D. ﹣ i

【考点】复数代数形式的乘除运算. 【分析】利用复数的除法以及复数的模化简求解即可. 【解答】解:z=4+3i,则 故选:D. = = = ﹣ i.

3.设 x>0,y∈R,则“x>y”是“x>|y|”的 ( A.充要条件 C.必要而不充分条件 B.充分不必要条件



D.既不充分也不必要条件

【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断. 【分析】直接根据必要性和充分判断即可. 【解答】解:设 x>0,y∈R,当 x=0,y=﹣1 时,满足 x>y 但不满足 x>|y|,故由 x>0,y ∈R,则“x>y”推不出“x>|y|”,

而“x>|y|”? “x>y”, 故“x>y”是“x>|y|”的必要不充分条件, 故选:C.

4.若 a>b>0,0<c<1,则( A.logac<logbc

) C.ac<bc D.ca>cb

B.logca<logcb

【考点】对数函数图象与性质的综合应用;对数值大小的比较. 【分析】根据指数函数,对数函数,幂函数的单调性结合换底公式,逐一分析四个结论的真 假,可得答案. 【解答】解:∵a>b>0,0<c<1, ∴logca<logcb<0,故 B 正确; ∴0>logac>logbc,故 A 错误; ac>bc,故 C 错误; ca<cb,故 D 错误; 故选:B

5.函数 y=Asin(ωx+φ)的部分图象如图所示,则(



A.

B. D.

C.

【考点】由 y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式. 【分析】首先,根据图形,得到振幅 A=2,然后,根据周期公式,得到 ω=2,从而得到 f(x) =2sin(2x+φ) ,然后,将点( 【解答】解:据图,A=2, ∴T=π, ,2)代入,解得 φ,最后,得到 f(x) . ,

∵T= ∴ω=2,



∴f(x)=2sin(2x+φ) , 将点( φ=﹣ ,2)代入上式,得 , ) ;

∴f(x)=2sin(2x﹣ 故选 A.

6.为美化环境,从红、黄、白、紫 4 种颜色的花中任选 2 种花种在一个花坛中,余下的 2 种花种在另一个花坛中,则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是( A. B. C. D. )

【考点】古典概型及其概率计算公式. 【分析】确定基本事件的个数,利用古典概型的概率公式,可得结论. 【解答】解:从红、黄、白、紫 4 种颜色的花中任选 2 种花种在一个花坛中,余下的 2 种花 种在另一个花坛中,有 =6 种方法,红色和紫色的花在同一花坛,有 2 种方法,红色和紫

色的花不在同一花坛,有 4 种方法,所以所求的概率为 = . 故选:C.

7.执行如图程序框图,如果输入的 a=4,b=6,那么输出的 n=(



A.3 【考点】程序框图.

B.4

C .5

D.6

【分析】模拟执行程序,根据赋值语句的功能依次写出每次循环得到的 a,b,s,n 的值, 当 s=20 时满足条件 s>16,退出循环,输出 n 的值为 4. 【解答】解:模拟执行程序,可得 a=4,b=6,n=0,s=0 执行循环体,a=2,b=4,a=6,s=6,n=1 不满足条件 s>16,执行循环体,a=﹣2,b=6,a=4,s=10,n=2 不满足条件 s>16,执行循环体,a=2,b=4,a=6,s=16,n=3 不满足条件 s>16,执行循环体,a=﹣2,b=6,a=4,s=20,n=4 满足条件 s>16,退出循环,输出 n 的值为 4. 故选:B.

8.在平面直角坐标中,O 为坐标原点,设向量 若

= ,

= ,其中 =(3,1) , =(1,3) , )

=λ +μ ,且 0≤λ≤μ≤1,C 点所有可能的位置区域用阴影表示正确的是(

A.

B.

C.

D.

【考点】平面向量的综合题. 【分析】由 =(3,1) , =(1,3) , =λ +μ ,知 =(3λ+μ,

λ+3μ) ,由 0≤λ≤μ≤1,0≤3λ+μ≤λ+3μ≤4,由此能得到正确答案. 【解答】解:∵向量 = , = ,

=(3,1) , =(1,3) , =λ +μ , ∴ =(3λ+μ,λ+3μ) , ∵0≤λ≤μ≤1, ∴0≤3λ+μ≤4, 0≤λ+3μ≤4, 且 3λ+μ≤λ+3μ. 故选 A.

二.填空题(本大题共 6 个小题,每小题 5 分,共 30 分.) 9.已知向量 =(1, ) , =( ,1) ,则 与 夹角的大小为 .

【考点】数量积表示两个向量的夹角. 【分析】根据已知中向量的坐标,代入向量夹角公式,可得答案. 【解答】解:∵向量 =(1, ∴ 与 夹角 θ 满足: cosθ= 又∵θ∈[0,π], ∴θ= , = = , ) , =( ,1) ,

故答案为:



10.若 x,y 满足约束条件

,则 z=x﹣2y 的最小值为 ﹣5 .

【考点】简单线性规划. 【分析】由约束条件作出可行域,化目标函数为直线方程的斜截式,数形结合得到最优解, 联立方程组求得最优解的坐标,把最优解的坐标代入目标函数得答案.

【解答】解:由约束条件

作出可行域如图,

联立

,解得 B(3,4) .

化目标函数 z=x﹣2y 为 y= x﹣ z, 由图可知,当直线 y= x﹣ z 过 B(3,4)时,直线在 y 轴上的截距最大,z 有最小值为: 3﹣2×4=﹣5. 故答案为:﹣5.

11.已知函数 f(x)是定义在 R 上的周期为 2 的奇函数,当 0<x<1 时,f(x)=4x,则 f (﹣ )+f(1)= ﹣2 .

【考点】函数奇偶性的性质. 【分析】根据 f(x)是周期为 2 的奇函数即可得到 f(﹣ )=f(﹣2﹣ )=f(﹣ )=﹣f ( ) ,利用当 0<x<1 时,f(x)=4 ,求出 f(﹣ ) ,再求出 f(1) ,即可求得答案. 【解答】解:∵f(x)是定义在 R 上周期为 2 的奇函数, ∴f(﹣ )=f(﹣2﹣ )=f(﹣ )=﹣f( )
x ∵x∈(0,1)时,f(x)=4 , x

∴f(﹣ )=﹣2, ∵f(x)是定义在 R 上周期为 2 的奇函数, ∴f(﹣1)=f(1) ,f(﹣1)=﹣f(1) , ∴f(1)=0, ∴f(﹣ )+f(1)=﹣2. 故答案为:﹣2

12.设锐角△ABC 的三内角 A,B,C,所对边的边长分别为 a,b,c,且 a=1,B=2A,则 b 的取值范围为 【考点】正弦定理. 【分析】由题意可得 0<2A< ,且 <3A<π,解得 A 的范围,可得 cosA 的范围,由 .

正弦定理求得 =b=2cosA,根据 cosA 的范围确定出 b 范围即可. 【解答】解:锐角△ABC 中,角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c,B=2A, ∴0<2A< ∴ ∴ ∴ ,且 B+A=3A,

<3A<π. <A< , ,

<cosA<

∵a=1,B=2A, ∴由正弦定理可得: ∴ <2cosA< , =b= =2cosA,

则 b 的取值范围为( 故答案为:

, .

) .

13.若函数 f(x)=x3﹣3x+a 有 3 个不同的零点,则实数 a 取值范围是 (﹣2,2) . 【考点】函数的零点与方程根的关系. 【分析】分析:首先求导,令导数为零,求出函数的极大值和极小值,要使函数 f(x)=x
3

﹣3x+a 有 3 个不同的零点,只需函数的极大值大于零,且极小值小于零,解不等式组即可 求得结果. 【解答】解答:解:∵f′(x)=3x ﹣3=0 解得 x=1 或 x=﹣1, 当 x∈(﹣1,1)时,f′(x)<0,f(x)在(﹣1,1)上单调递减; 当 x∈(﹣∞,﹣1)∪(1,+∞)时,f′(x)>0,f(x)在(﹣∞,﹣1) 、 (1,+∞)上单 调递增, 故当 x=1 时,f(x)取极小值﹣2+a,当 x=﹣1 时,f(x)取极大值 2+a,
3 ∵f(x)=x ﹣3x+a 有三个不同零点, 2



,解得﹣2<a<2

∴实数 a 的取值范围是: (﹣2,2) . 故答案为: (﹣2,2)

14.已知函数 f(x)=kx3+3(k﹣1)x2﹣k2+1(k>0) . (1)若 f(x)的单调递减区间是(0,4) ,实数 k 的值为 ;

(2)若 f(x)在(0,4)上为减函数,则实数 k 的取值范围是 (﹣∞, ] . 【考点】利用导数研究函数的单调性. 【分析】 (1)求出函数的导数,得到关于 k 的方程,解出即可; (2)问题转化为 k≤ 在(0,4)成立,求出 k 的范围即可.

【解答】解: (1)对函数求导数,
2 得 f'(x)=3kx +6(k﹣1)x,

∵函数的单调递减区间是(0,4) ,

∴f'(x)<0 的解集是(0,4) , ∵k>0,
2 ∴3kx +6(k﹣1)x<0 等价于 3kx(x﹣4)<0,

得 6(k﹣1)=﹣12k,解之得 k= ; (2)若 f(x)在(0,4)上为减函数,
2 则 3kx +6(k﹣1)x≤0 在(0,4)恒成立,

即 k≤ 故 k≤ ;

在(0,4)成立,

故答案为: , (﹣∞, ].

三.解答题(本大题共 6 个小题,共 80 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 15.设函数 .

(1)写出函数 f(x)的最小正周期及单调递减区间; (2)当 时,函数 f(x)的最大值与最小值的和为 ,求 a 的值.

【考点】三角函数的恒等变换及化简求值;三角函数的周期性及其求法;正弦函数的定义域 和值域;正弦函数的单调性. 【分析】 (1)根据二倍角公式,和辅助角公式,我们易将函数的解析化简为正弦型函数的形 式,进而求出函数 f(x)的最小正周期及单调递减区间; (2)当 时,根据函数 f(x)的最大值与最小值的和为 ,我们可构造出

关于 a 的方程,解方程即可得到 a 的值. 【解答】解(1) ∴T=π. . 故函数 f(x)的单调递减区间是 (2)∵ ,∴ .∴ . . ,

当 a=0

时,原函数的最大值与最小值的和

= ,∴

16.已知函数 (1)求 m 的值:

是奇函数.

x+1 (2)设 g(x)=2 ﹣a.若函数与 g(x)的图象至少有一个公共点.求实数 a 的取值范围.

【考点】函数奇偶性的性质. 【分析】 (1)根据函数是奇函数建立条件关系即可求出 m 的值. (2)根据函数和方程之间的关系,结合指数函数的图象和性质即可得到结论. 【解答】解: (1)由函 f(x)是奇函数可知:f(0)=1+m=0, 解得 m=﹣1. (2)函数 f(x)与 g(x)的图象至少有一个公共点 即方程 =2x+1﹣a 至少有一个实根,

x x 即方程 4 ﹣a?2 +1=0 至少有一个实根.

令 t=2 >0,则方程 t ﹣at+1=0 至少有一个正根 方法一:由于 ∴a 的取值范围为[2,+∞) . 方法二:令 h(t)=t ﹣at+1, 由于 h(0)=1>0, ∴只须 解得 a≥2. ∴a 的取值范围为[2,+∞) ,即 ,
2

x

2

17.已知数列{an}的前 n 项和 Sn=3n2+8n,{bn}是等差数列,且 an=bn+bn+1. (Ⅰ)求数列{bn}的通项公式;

(Ⅱ)令 cn=

,求数列{cn}的前 n 项和 Tn.

【考点】数列的求和;数列递推式. 【分析】 (Ⅰ)求出数列{an}的通项公式,再求数列{bn}的通项公式; (Ⅱ)求出数列{cn}的通项,利用错位相减法求数列{cn}的前 n 项和 Tn.
2 【解答】解: (Ⅰ)Sn=3n +8n,

∴n≥2 时,an=Sn﹣Sn﹣1=6n+5, n=1 时,a1=S1=11,∴an=6n+5; ∵an=bn+bn+1, ∴an﹣1=bn﹣1+bn, ∴an﹣an﹣1=bn+1﹣bn﹣1. ∴2d=6, ∴d=3, ∵a1=b1+b2, ∴11=2b1+3, ∴b1=4, ∴bn=4+3(n﹣1)=3n+1; (Ⅱ)cn= = =6(n+1)?2n,

2 n ∴Tn=6[2?2+3?2 +…+(n+1)?2 ]①, 2 3 n n+1 ∴2Tn=6[2?2 +3?2 +…+n?2 +(n+1)?2 ]②,

①﹣②可得﹣Tn=6[2?2+22+23+…+2n﹣ ?2n+1]=12+6× (n+1) 6n)?2n+1=﹣3n?2n+2,
n+2 ∴Tn=3n?2 .

?2 ﹣6 (n+1)

n+1

= (﹣

18.我国是世界上严重缺水的国家.某市为了制定合理的节水方案,对居民用水情况进行了 调查,通过抽样,获得了某年 100 位居民每人的月均用水量(单位:吨) .将数据按照[0, 0.5) ,[0.5,1) ,…,[4,4.5]分成 9 组,制成了如图所示的频率分布直方图. (Ⅰ)求直方图中 a 的值;

(Ⅱ)设该市有 30 万居民,估计全市居民中月均用水量不低于 3 吨的人数,并说明理由; (Ⅲ)估计居民月均水量的中位数.

【考点】众数、中位数、平均数;频率分布直方图. 【分析】 (I)先根据频率分布直方图中的频率等于纵坐标乘以组距求出 9 个矩形的面积即频 率,再根据直方图的总频率为 1 求出 a 的值; (II)根据已知中的频率分布直方图先求出月均用水量不低于 3 吨的频率,结合样本容量为 30 万,进而得解. (Ⅲ)根据频率分布直方图,求出使直方图中左右两边频率相等对应的横坐标的值. 【解答】解: (I)∵1=(0.08+0.16+a+0.40+0.52+a+0.12+0.08+0.04)×0.5, 整理可得:2=1.4+2a, ∴解得:a=0.3. (II)估计全市居民中月均用水量不低于 3 吨的人数为 3.6 万,理由如下: 由已知中的频率分布直方图可得月均用水量不低于 3 吨的频率为(0.12+0.08+0.04)× 0.5=0.12, 又样本容量为 30 万, 则样本中月均用水量不低于 3 吨的户数为 30×0.12=3.6 万. (Ⅲ)根据频率分布直方图,得; 0.08×0.5+0.16×0.5+0.30×0.5+0.42×0.5=0.48<0.5, 0.48+0.5×0.52=0.74>0.5, ∴中位数应在(2,2.5]组内,设出未知数 x, 令 0.08×0.5+0.16×0.5+0.30×0.5+0.42×0.5+0.52×x=0.5, 解得 x=0.04; ∴中位数是 2+0.04=2.04.

19.已知函数 f(x)= x2+alnx. (1)若 a=﹣1,求函数 f(x)的极值,并指出极大值还是极小值; (2)若 a=1,求函数 f(x)在[1,e]上的最值;
3 (3)若 a=1,求证:在区间[1,+∞)上,函数 f(x)的图象在 g(x)= x 的图象下方.

【考点】利用导数求闭区间上函数的最值;利用导数研究函数的单调性;利用导数研究函数 的极值. 【分析】 (1)代入 a=﹣1,从而化简 f(x)并求其定义域,再求导判断函数的单调性及极值 即可; (2)代入 a=1,从而化简 f(x)并求其定义域,再求导判断函数的单调性及求函数的最值;
3 2 (3)代入 a=1,令 F(x)=g(x)﹣f(x)= x ﹣ x ﹣lnx,从而化在区间[1,+∞)上,

3 函数 f(x)的图象在 g(x)= x 的图象下方为 F(x)>0 在[1,+∞)上恒成立,再化为函

数的最值问题即可.
2 【解答】解: (1)当 a=﹣1 时,f(x)= x ﹣lnx 的定义域为(0,+∞) ,

f′(x)=x﹣ =



故 f(x)在(0,1)上是减函数,在(1,+∞)上是增函数, 故 f(x)在 x=1 处取得极小值 f(1)= ;
2 (2)当 a=1 时,f(x)= x +lnx 的定义域为(0,+∞) ,

f′(x)=x+ >0; 故 f(x)在[1,e]上是增函数,
2 故 fmin(x)=f(1)= ,fmax(x)=f(e)= e +1; 3 2 (3)证明:令 F(x)=g(x)﹣f(x)= x ﹣ x ﹣lnx;

2 则 F′(x)=2x ﹣x﹣ =



∵x∈[1,+∞) ,

∴F′(x)=

≥0,

∴F(x)在[1,+∞)上是增函数, 故 F(x)≥F(1)= ﹣ = >0;
3 故在区间[1,+∞)上,函数 f(x)的图象在 g(x)= x 的图象下方.

20.设 f(x)=xlnx﹣ax2+(2a﹣1)x,a∈R. (Ⅰ)令 g(x)=f′(x) ,求 g(x)的单调区间; (Ⅱ)已知 f(x)在 x=1 处取得极大值,求实数 a 的取值范围. 【考点】利用导数研究函数的单调性;利用导数研究函数的极值. 【分析】 (Ⅰ)先求出 g(x)=f′(x)的解析式,然后求函数的导数 g′(x) ,利用函数单调 性和导数之间的关系即可求 g(x)的单调区间; (Ⅱ)分别讨论 a 的取值范围,根据函数极值的定义,进行验证即可得到结论.
2 【解答】解: (Ⅰ)∵f(x)=xlnx﹣ax +(2a﹣1)x,

∴g(x)=f′(x)=lnx﹣2ax+2a,x>0, g′(x)= ﹣2a= ,

当 a≤0,g′(x)>0 恒成立,即可 g(x)的单调增区间是(0,+∞) ; 当 a>0,当 x> 当 0<x< 时,g′(x)<0,函数为减函数,

,g′(x)>0,函数为增函数,

∴当 a≤0 时,g(x)的单调增区间是(0,+∞) ; 当 a>0 时,g(x)的单调增区间是(0, ) ,单调减区间是( ,+∞) ;

(Ⅱ)∵f(x)在 x=1 处取得极大值,∴f′(1)=0, ①当 a≤0 时,f′(x)单调递增, 则当 0<x<1 时,f′(x)<0,f(x)单调递减, 当 x>1 时,f′(x)>0,f(x)单调递增,∴f(x)在 x=1 处取得极小值,不合题意, ②当 0<a< 时, >1,由(1)知,f′(x)在(0, )内单调递增,

当 0<x<1 时,f′(x)<0,当 1<x<

时,f′(x)>0,

∴f(x)在(0,1)内单调递减,在(1, 不合题意. ③当 a= 时,

)内单调递增,即 f(x)在 x=1 处取得极小值,

=1,f′(x)在(0,1)内单调递增,在(1,+∞)上单调递减,

则当 x>0 时,f′(x)≤0,f(x)单调递减,不合题意. ④当 a> 时,0< 当 <1,

<x<1 时,f′(x)>0,f(x)单调递增,当 x>1 时,f′(x)<0,f(x)单调递减,

∴当 x=1 时,f(x)取得极大值,满足条件. 综上实数 a 的取值范围是 a> .

2016 年 12 月 25 日


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